高中数学含参数导数的解题策略

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其 中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常 作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技 能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 分高参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若a≥f(x)恒成立,只须求出 f(x),则a≥f(x):若a≤f(x)恒成立,只须求出f(x)=n,则a≤f(x)mn,转 化为函数求最值. 例1、已知函数f(x)=xhx.(1)求f(x)的最小值 (Ⅱ)若对所有x≥1都有∫(x)≥ax-1,求实数a的取值范围 二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点, 从而引起讨论 例2已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a) (I)若∫(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 (Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值 三、导函数为0是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程 问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关, 令△=0,求分点,从而引起讨论 例3、已知函数f(x)=x2-x+alnx,(a∈R)讨论f(x)在定义域上的单调性 四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根也落在 定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等 求分点,从而引起讨论 例4、已知m>0,讨论函数/()mx2+3(m+1)x+3m+6 的单调性

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常 作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技 能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x  ( ) 恒成立，只须求出 ( )max f x ，则 ( )max a f x  ；若 a f x  ( ) 恒成立，只须求出 ( )min f x ，则 ( )min a f x  ，转 化为函数求最值． 例 1、已知函数 f (x) = x ln x .（Ⅰ）求 f (x) 的最小值； （Ⅱ）若对所有 x 1 都有 f (x)  ax −1, 求实数 a 的取值范围. 二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论． 例 2.已知 a 是实数，函数 ( ) ) 2 f x = x（x − a . （Ⅰ）若 f (1) = 3,求 a 的值及曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）求 f (x) 在区间[0，2]上的最大值． 三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程 问题时，△与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令△=0，求分点，从而引起讨论． 例 3、已知函数 2 f x x x a x ( ) ln = − + ，( ) a R  ，讨论 f x( ) 在定义域上的单调性． 四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在 定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论． 例 4、已知 m  0 ，讨论函数 x e mx m x m f x 3( 1) 3 6 ( ) 2 + + + + = 的单调性．

练习 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论 、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内,从而引起讨论 、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根 也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论 08广东(理)设k∈R,函数f(x)=1-+<1 F(x)=f(x)-kx,x∈R 试讨论函数F(x)的单调性 2.(08浙江理)已知a是实数,函数f(x)=√x(x-a) (I)求函数∫(x)的单调区间 (Ⅱ)设g(a)为f(x)在区间[02]上的最小值。 (i)写出g(a的表达式:(i)求a的取值范围,使得-6≤g{(a)≤-2 ax 3(07天津理)已知函数∫(x) x+/(x∈R),其中a∈R。 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程 (Ⅱ)当a≠0时,求函数∫(x)的单调区间与极值。 4(07高考山东理改编)设函数f(x)=x2+bn(x+1),其中b≠0,求函数f(x)的极值

练习 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的 实根是否落在定义域内，从而引起讨论。 二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根 也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 三、 1．08 广东（理） 设 k R  ，函数 1 , 1 ( ) , ( ) ( ) , 1 1, 1 x f x F x f x kx x R x x x    = = −   −  − −  ， 试讨论函数 F x( ) 的单调性。 2． (08 浙江理)已知 a 是实数，函数 f x x x a ( ) = − ( ) （Ⅰ）求函数 f x( ) 的单调区间； （Ⅱ）设 g a( ) 为 f x( ) 在区间 0,2 上的最小值。 （ i ）写出 g a( ) 的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得 −   − 6 2 g a( ) 。 3（07 天津理）已知函数 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ax a f x x R x − + =  + ，其中 a R  。 （Ⅰ）当 a =1 时，求曲线 y f x = ( ) 在点 (2, 2 f ( )) 处的切线方程； （Ⅱ）当 a  0 时，求函数 f x( ) 的单调区间与极值。 4（07 高考山东理改编）设函数 ( ) ( ) 2 f x x b x = + + ln 1 ，其中 b  0 ，求函数 f x( ) 的极值 点

含参数导数的解题策略 例1、解:(Ⅰ)略 (Ⅱ)∵对所有x≥1都有f(x)≥ax-1, 对所有x≥1都有xhnx≥ax-1,即a≤hx+ 记g(x)=hx+-,(x>0),只需a≤g(x)mn 令g(x)=--2=0,解得x=1 g'(x)>0分x>1,g(x)<0今0<x<1 ∴当x=1时,g(x)取最小值g(l)=1 a≤1.即a的取值范围是{asl} 例2.解:(I)略 (I)令f(x)=0,解得x1=0,x2-3 当2≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2上单调递增,从而fm=f(2)=8-4a 当一≥2时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而∫m=f(0)=0 当0<2<2,即0<a<3,f(x)在0,2上单调递减,在 2|上单调递增 3 8-4a.0<a<2 从而Jm 2<a<3 综上所述,fm 0, a>2. 例3、解:由已知得f(x)=2-1×Q2x2-x+a (1)当△=1-8a≤0,a≥时,f(x)≥0恒成立,f(x)在(0,+∞)上为增函数 (2)当△=1-8a>0,a<时, 1)0<a<时,+√1-8 >0,f(x)在[

含参数导数的解题策略 例 1、解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵ 对所有 x 1 都有 f (x)  ax −1， ∴ 对所有 x 1 都有 xln x  ax −1 ，即 . 1 ln x a  x + 记 ,( 0), 1 ( ) = ln + x  x g x x 只需 ( ) . min a  g x 令 0, 1 1 '( ) 2 = − = x x g x 解得 x =1. g'(x)  0  x  1, g'(x)  0  0  x  1. ∴ 当 x =1 时， g(x) 取最小值 g(1) = 1. ∴ a 1. 即 a 的取值范围是 a a 1. 例 2. 解：（I）略． （II）令 f x'( ) 0 = ，解得 1 2 2 0, 3 a x x = = ． 当 2 0 3 a  ，即 a  0 时， f x( ) 在[0，2]上单调递增，从而 max f f a = = − (2) 8 4 ． 当 2 2 3 a  时，即 a  3 时， f x( ) 在[0，2]上单调递减，从而 max f f = = (0) 0 ． 当 2 0 2 3 a   ，即 0 3  a ， f x( ) 在 2 0, 3   a     上单调递减，在 2 ,2 3   a     上单调递增， 从而 max 8 4 ,0 2. 0, 2 3. a a f a  −    =     综上所述， max 8 4 , 2. 0, 2. a a f a  −   =    例 3、 解：由已知得 2 2 ( ) 2 1 ,( 0) a x x a f x x x x x − +  = − + =  ， （1）当  = −  1 8 0 a ， 1 8 a  时， f x ( ) 0  恒成立， f x( ) 在 (0, ) + 上为增函数． （2）当  = −  1 8 0 a ， 1 8 a  时， 1) 1 0 8   a 时， 1 1 8 1 1 8 0 2 2 + − − − a a   ，f x( ) 在 1 1 8 1 1 8 [ , ] 2 2 − − + − a a

1-√1-8a,,1+√1-8a 上为减函数,f(x)在(0 +∞)上为增函数, )当a<0时, 故f(x)在[0, √1-8a ]上为减函数 f(x)在[+-8a +∞)上为增函数 综上,当 f(x)在(0,+∞)上为增函数 当0< 时,f(x) ]上为减函数 f(x)在(0, 1-√1-8a,1+√1-8 上为增函数 当a<0时,f(x)在(,1+8上为减函数,f(x)在[+8 +∞)上为增函数 -mx2-(m+3)x-3 设g(x)=-mx2-(m+3)x-3,令g(x)=0 得x x2 1)当0<m<3时,x<x2,在区间(-∞3 ),(-1,+∞)上g(x)<0,即f(x)<0 所以f(x)在区间(-3),(-1+)上是减函数 在区间(m-1),g(x)>0,即f(x)>0,所以f(x)在区间(3,1)上是增函数 2)当m=3时,x1=x2,在区间(-∞-1),(-1+∞)上g(x)<0,即f(x)<0,又f(x) 在x=1处连续,所以∫(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数; 3)当m>3时,x1>x2,在区间(-∞-1),(--,+∞)上g(x)<0,即f(x)<0 所以f(x)在区间(-∞,-1),(--,+∞)上是减函数 n 在区间(-1,-3)上,g(x)>0,即r(x)>0,所以f(x)在区间(-1,-3)上是增函

上为减函数， f x( ) 在 1 1 8 1 1 8 (0, ],[ , ) 2 2 − − + − a a + 上为增函数， 2）当 a  0 时， 1 1 8 0 2 − − a  ，故 f x( ) 在 1 1 8 [0, ] 2 + − a 上为减函数， f x( ) 在[ 1 1 8 2 + − a ，＋∞）上为增函数． 综上，当 1 8 a  时， f x( ) 在 (0, ) + 上为增函数． 当 1 0 8   a 时， f x( ) 在 1 1 8 1 1 8 [ , ] 2 2 − − + − a a 上为减函数， f x( ) 在 1 1 8 1 1 8 (0, ],[ , ) 2 2 − − + − a a + 上为增函数， 当 a  0 时， f x( ) 在（0， 1 1 8 2 + − a ]上为减函数， f x( ) 在[ 1 1 8 2 + − a ， ＋∞）上为增函数． 例 4、解： x e mx m x f x ( 3) 3 ( ) 2 − − + −  = ，设 ( ) ( 3) 3 2 g x = −mx − m + x − ，令 g(x) = 0 ， 得 m x 3 1 = − ， x2 = −1． 1)当 0  m  3 时， 1 2 x  x ，在区间 ) 3 ( , m − − ，(−1,+) 上 g(x)  0 ，即 f (x)  0 ， 所以 f (x) 在区间 ) 3 ( , m − − ，(−1,+) 上是减函数； 在区间 1) 3 (− ，− m ，g(x)  0 ，即 f (x)  0 ，所以 f (x) 在区间 1) 3 (− ，− m 上是增函数； 2）当 m = 3 时， 1 2 x = x ,在区间 (−,−1) ，(−1,+) 上 g(x)  0 ，即 f (x)  0 ，又 f (x) 在 x =1 处连续，所以 f (x) 在区间 (−,+) 上是减函数； 3）当 m  3 时， 1 2 x  x ,在区间 (−,−1) ， ) 3 (− ，+  m 上 g(x)  0 ，即 f (x)  0 ， 所以 f (x) 在区间 (−,−1) ， ) 3 (− ，+  m 上是减函数； 在区间 ) 3 ( 1 m − ，− 上， g(x)  0 ，即 f (x)  0 ，所以 f (x) 在区间 ) 3 ( 1 m − ，− 上是增函 数．

练习 解:F(x)=f(x)-kx={1-x -k,x<,F(x)=(-x)2,x1 考虑导函数F(x)=0是否有实根,从而需要对参数k的取值进行讨论。 (-)若x<1,则F(x)= 1-k(1-x) 。由于当k≤0时,F(x)=0无实根,而当k>0 时,F(x)=0有实根, 因此,对参数k分k≤0和k>0两种情况讨论 (1)当k≤0时,F(x)≥0在(-∞,1)上恒成立,所以函数F(x)在(-∞,1)上为增函 (2)当k>0时,F(x)=6(1-x)2-4x-1-1) √k 1+ √k 由F(x)=0,得x1= x2=|1+|,因为k>0,所以x<1<x。 由F(x)>0,得1-<x<1:由F(x)<0,得x<1-1 √k 因此,当k>0时,函数F(x)在(-,1-1=)上为减函数,在(、 √k √k” 1)上为 增函数。 1+2k√x-1 (二)若x>1,则F(x) 。由于当k≥0时,F(x)=0无实根,而 2 当k<0时,F(x)=0有实根,因此,对参数k分k≥0和k<0两种情况讨论 (1)当k≥0时,F(x)<0在[1,+∞)上恒成立,所以函数F(x)在[1,+∞)上为减函 数

练习 1． 解： ( ) ( ) 2 2 1 1 1 , 1 , 1, 1 ( ) ( ) , '( ) 1 1 2 1 1 , 1 , 1 2 1 k x x kx x x F x f x kx F x x k x x kx x x x  − −      −  − = − = =   −   − − −  + −  −   − 。 考虑导函数 F x'( ) 0 = 是否有实根，从而需要对参数 k 的取值进行讨论。 （一）若 x 1 ，则 ( ) ( ) 2 2 1 1 '( ) 1 k x F x x − − = − 。由于当 k  0 时， F x'( ) 0 = 无实根，而当 k  0 时， F x'( ) 0 = 有实根， 因此，对参数 k 分 k  0 和 k  0 两种情况讨论。 （1） 当 k  0 时， F x'( ) 0  在 ( ,1) − 上恒成立，所以函数 F x( ) 在 ( ,1) − 上为增函 数； （2） 当 k  0 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 '( ) 1 1 k x x k x k k F x x x         − − − − +         − −         = = − − 。 由 F x'( ) 0 = ，得 1 2 1 1 x x 1 , 1 k k     = − = +         ，因为 k  0 ，所以 1 2 x x  1 。 由 F x'( ) 0  ，得 1 1 1 x k −   ；由 F x'( ) 0  ，得 1 x 1 k  − 。 因此，当 k  0 时，函数 F x( ) 在 1 ( ,1 ) k − − 上为减函数，在 1 (1 ,1) k − 上为 增函数。 （二）若 x 1 ，则 1 2 1 '( ) 2 1 k x F x x + − = − − 。由于当 k  0 时， F x'( ) 0 = 无实根，而 当 k  0 时， F x'( ) 0 = 有实根，因此，对参数 k 分 k  0 和 k  0 两种情况讨论。 （1） 当 k  0 时， F x'( ) 0  在 1,+) 上恒成立，所以函数 F x( ) 在 1,+) 上为减函 数；