由以上讨论可以得出的结论是 1)Reλ<0,λ对应的所有运动模式收敛,即随着时 间趋于无穷而趋于零。 2)Reλ>0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间 趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散。 3)Reλ=0,分两种情况: 口若λ对应的约当块全是一阶子块,这时λ的代数 重数与几何重数一致,不会发生发散现象,运动 模式也不收敛,运动模式是有界的; PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
由以上讨论可以得出的结论是： 1) Re l < 0， l 对应的所有运动模式收敛，即随着时 间趋于无穷而趋于零。 2) Re l >0, l 对应的所有运动模式发散，即随着时间 趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散.。 3) Re l =0, 分两种情况： q 若 l 对应的约当块全是一阶子块，这时l 的代数 重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动 模式也不收敛，运动模式是有界的； PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
口当λ的几何重数小于代数重数,元对应的约当块 定有二阶或二阶以上的出现,这时运动模式发散 但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部 重根出现时,一定要研究它的几何重数后,才可对 运动模式的形态作出结论。 要将例题A-1中的特征值λ换为零,就可证实 以上结论: 000 00 A1=000→e=010 000 001 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn
q 当l 的几何重数小于代数重数，l 对应的约当块一 定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散， 但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部 重根出现时,一定要研究它的几何重数后，才可对 运动模式的形态作出结论。 只要将例题A-1中的特征值l换为零，就可证实 以上结论： A1 1 0 0 0 1 0 0 A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 t e é ù é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/
t 0 000 00 000 →e 00 10 000 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
8 3 2 A 3 1 1 0 1 0 2 A 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 é ù ê ú é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û t t t e t A 2 2 0 1 0 1 0 A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 é ù é ù ê ú ê ú = ® = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û t t e PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/
2.稳定性判据 定理8-4:系统dwd=Ax的稳定性有以下充分必要条件 1)(李氏)稳定:dets-A)实部为零的根对应的初等 因子是一次(或对应的约当块为一阶子块,或是最 小多项式的单根;几何重数等于代数重数。),且 其余根均具负实部。 2)渐近稳定:des-A)所有根均具负实部。 3)不稳定:dets-A)有正实部的根或实部为零的根 对应的初等因子不是一次 证明:根据定理8-2,我们只要讨论其状态转移矩阵 的性质就可以了 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建kw, fineprint,com,cn
定理8-4：系统dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件 1) (李氏)稳定： det(sI-A)实部为零的根对应的初等 因子是一次(或对应的约当块为一阶子块，或是最 小多项式的单根；几何重数等于代数重数。) ，且 其余根均具负实部。 2) 渐近稳定： det(sI-A)的所有根均具负实部。 3) 不稳定： det(sI-A)有正实部的根或实部为零的根 对应的初等因子不是一次。 证明：根据定理8-2，我们只要讨论其状态转移矩阵 的性质就可以了。 2. 稳定性判据 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 /www.fineprint.com.cn /
●设A的互异特征值分别是λ1,42…,m 将eA写成PeP1,这里 2显然,只要讨论e的 te 有界性和收敛性即可, 而这等价于讨论e的 每个元素的有界性和 收敛性。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v/ fineprint,com,cn
2 · A l l l L m; 设 的互异特征值分别是 1， ， ， •将e At 写成 Pe Jt P-1，这里 ( ) 1 1 2 1 1 1 ( 1)! i i ij i i i i ij i i i i i i i i i ij ir i m n t t t ij t t t t t t e te e n te e e te e l l l l l l l l l l l - é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú = Þ = Þ = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û é ù ê ú - Þ = ë û J J J J J J J J J J O O O O O 144424443 L L O O O 显然，只要讨论e Jt的 有界性和收敛性即可， 而这等价于讨论e Jt 的 每个元素的有界性和 收敛性。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn / ÿ/