组织教学研究与实践研讨：《张量分析与微分几何基础》课程 教学研究与实践 阶段总结性报告

复旦大学开设《张量分析与微分几何基础》基本知识体系 1.张量定义及其基本代数性质§11多重线性函数§12张量表示形式§13基 本代数运算 2.有限维 Euclid空间上张量场场论§21曲线坐标系§23.1基本理论§232 应用事例§2.2张量场可微性§2.3场论恒等式§23.1基本理论§232应用 事例§24积分关系式§24.1面积分与体积分之间的关系式§242动量导数 矩关系式§2.5曲线上张量场场论§2.5.1 Frenet标架及其运动方程§252曲 线上张量场微分学§26非完整基理论§23.1基本理论§232应用事例理论 发展:当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 3.三维 Euclid空间中光滑曲面上张量场场论§31曲面基本几何性质S311 基本形式§312曲率§3.12曲面上标架及其运动方程§32曲面上张量场场 论§32.1 Riemann- Christoffel张量§322曲面上张量场微分学§3.3积分 关系式§3.3.1线积分与面积分之间的关系式§3.3.2应用事例理论发展:几何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论 4.张量代数性质§41置换算子§42外积运算§43仿射量特征问题§44仿 射量分解§4.5曲面仿射量基本性质 5.张量映照的微分学§51范数与极限§52可微性与导数§53隐映照定理与 逆映照定理 6.微分流形上的张量场§61微分流形§62张量丛§63微分运算

1. 张量定义及其基本代数性质 §1.1 多重线性函数 §1.2 张量表示形式 §1.3 基 本代数运算 2. 有限维Euclid空间上张量场场论 §2.1 曲线坐标系 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用事例 §2.2 张量场可微性 §2.3 场论恒等式 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用 事例 §2.4 积分关系式 §2.4.1 面积分与体积分之间的关系式 §2.4.2 动量导数 矩关系式 §2.5 曲线上张量场场论 §2.5.1 Frenet标架及其运动方程 §2.5.2曲 线上张量场微分学 §2.6 非完整基理论 §2.3.1 基本理论 §2.3.2 应用事例 理论 发展：当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 3. 三维Euclid空间中光滑曲面上张量场场论 §3.1 曲面基本几何性质 §3.1.1 基本形式 §3.1.2 曲率 §3.1.2 曲面上标架及其运动方程 §3.2 曲面上张量场场 论 §3.2.1 Riemann-Christoffel张量 §3.2.2 曲面上张量场微分学 §3.3 积分 关系式 §3.3.1 线积分与面积分之间的关系式 §3.3.2 应用事例 理论发展：几何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论 4. 张量代数性质 §4.1 置换算子 §4.2 外积运算 §4.3 仿射量特征问题 §4.4 仿 射量分解 §4.5 曲面仿射量基本性质 5. 张量映照的微分学 §5.1 范数与极限 §5.2 可微性与导数 §5.3 隐映照定理与 逆映照定理 6. 微分流形上的张量场 §6.1 微分流形 §6.2 张量丛 §6.3 微分运算 复旦大学开设《张量分析与微分几何基础》 基本知识体系

《张量分析与微分几何基础》知识体系传授基本理念 基本理念 ①“正本清源”表现为澄清知识体系的来龙去脉,按内在逻辑关系厘 清体系以此替代对具体结论的“形式上记忆”。 ②“温故而知新”表现为主要基于微积分及线性代数知识体系发展张量 分析与微分几何基础知识体系。本科三年级学生就可修读。 ③“理论联系实际”表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、 弹性力学等课程,使得学生充分体会由抽象至具体的过程,帮助理解并提高 兴趣;同时直接服务于专业学习

《张量分析与微分几何基础》知识体系传授 基本理念 基本理念 ①“正本清源” 表现为澄清知识体系的来龙去脉，按内在逻辑关系厘 清体系以此替代对具体结论的“形式上记忆”。 ②“温故而知新” 表现为主要基于微积分及线性代数知识体系发展张量 分析与微分几何基础知识体系。本科三年级学生就可修读。 ③“理论联系实际” 表现为将相关理论直接联系于理论力学、流体力学、 弹性力学等课程，使得学生充分体会由抽象至具体的过程，帮助理解并提高 兴趣；同时直接服务于专业学习

83(x) Curvilinear-coordiante 83(x) 分成温 X(r)ECP(D D,) 82(x) 胚 线 g1(xa 坐 标 故而知新 g2 gt 系 local Co var iant-Basis DY(x)=[81,82:3](x) 微 x Problem 1(Practices on Orthogonal Curvilinear Coordinates) To study the following curvilinear coordinate that sets up the diffeomorphism between a cube in the parametric space and a filled torus in the physical space (B+ srcos)cosφ 摘自2012 (x):另3x=0→叫=x2(,n)=(R+5rcos)sino 2013学年第 s·rsin 学期试卷 where2={5,0,v∈(0,1,0∈(0,2x,∈(.,2m)}, R and r are constants I. To Calculate the Fundamental Geometric Quantities 1. To calculate the jacobian matrin of the above vector valued mapping and to confirm that this is an orthogonal coordinates 2. To sketch the coordinate curves and the local vectors of variant basis

1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 温故而知新 —— “曲线坐标系” ～ 微 分同胚 摘自 2012－ 2013学年第一 学期试卷

=(x1)g,8g1g4(x2,1) 张量场分析 参数区域 x-曲线、3() =(2)818g88,) 映照观点 曲线 81(x2) (r xm一曲线 局部基,张 8(B, 1) 量场梯度基 xm一曲线 ∠曲线 曲线 于局部基的 物理区域 展开 x-曲线 曲线坐标X=X(x,) ↑R(2,)rx(xn D 2 X(x,)D3x=|0 X 4>F →X(x)=Xx2(x, X 当前物理构型 当前参数构型 R(0,p, ) - rsin 8.cos p (边界可变形) (边界始终固定) AR(9, 1)- rsin @sin p R(0,o, 1).rcos 0

1   , a g xt  1 x 曲线 2 x 曲线 m x 曲线 a b   , m a g xt  2   , a g xt  m x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x m x 曲线 物理区域 参数区域 X1 曲线坐标 , X X xt    m X 2 X o 1   , b g xt  1 x 曲线 2   , b g xt  2 x 曲线   , m b g xt  m x 曲线   , , ik j j a i ka xtg g g xt         , , ik j j b i kb xtg g g xt       张量场分析 — 映照观点 局部基，张 量场梯度基 于局部基的 展开 x z o  o r Dxyz D r R tr    , ,  y    1  2           1 2 3 X,: X, , , , sin cos , , sin sin , , cos r r xt D x X xt X xt X R tr R tr R tr                                                     X ,   x t 当前物理构型 （边界可变形） 当前参数构型 （边界始终固定）

正本清源 83(ra 可微性”~张 Curvilinear-coordiante 量场梯度 X(x)ECP(D: D,) 782(x local Co variant-Basis D()=18 张量场Φ(x)=;(x)g,8g8(x)∈7'(R) a V∴(x+△x)=VΦ;(x)+ a(x)Ax2+o(4x)∈R 多元函数可微性 g(x+A)=g1(x)+(x)△x2+0(Ax)=8(x)+(x)g1(x)△x+o(△)∈R 向量值映照可微性 g(x+Ax)=g(x)+8(x)△x+o(△x)=g(x)-r(x)g(x)△x+o(△x)∈R 567849-19:90000张量范数 c(x+△)=()+c:(8g8()+(△)∈r(")微分的梯度表示 =o(x)+Vc(x)g,8g′⑧g⑧g(x)[△xg1(x)]+o(△x)=o(x)+(8V)(x)△X+0(△x)

      1 i k ik ik s j lj lj s x x x xx ox x                  1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h   1 a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x   1 d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 正本清源 —— “可微性”～ 张 量场梯度 多元函数可微性                       i s t sm i i i si t s j j j s j jt s m s st g g x x g x x x o x g x xg x x o x x g g x x g x x x o x g x xg x x o x x                               向量值映照可微性     1 3 1 ; p m m m m pm p i i T T i i                      张量范数                              3 = = ik j l m lj i k ik j l q lj i k q x x x xg g g x x o x T x x g g g g x xg x o x x x X o x                                               3 : ik j m ji k      x xg g g x T  张量场   微分的梯度表示