最小方差控制原理同时(1.8)Rx(-t)h (t -t)dtRrRx(a -t)h (t -t)dt(1.9)Rxv(a-t) =Rx(-t)h (t -t)dt(1.10)R1一t)=由此可知11CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 11 同时 𝑅𝑥𝑦(−𝑡) = ∫ 𝑅𝑥 (−𝜏)ℎ 𝑇 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.8) 𝑅𝑥𝑦(𝜆 − 𝑡) = ∫ 𝑅𝑥 (𝜆 − 𝜏)ℎ 𝑇 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.9) 𝑅𝑥𝑦(−𝑡) = ∫ 𝑅𝑥 (−𝜏)ℎ 𝑇 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.10) 由此可知
最小方差控制原理Rx(-t)h(-t - t)dtRxT(t)h (-t - t)dt= RxT(-t)* h(-t) = Rx(t)* h(-t)(1.11)因此 (将(1.11)代入(1.7))Ry(t) = h(t) * Rx(t) * h (-t)(1.11)注意到(1.12)H(s)ls=jw = H(jw)12CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 12 𝑅𝑥𝑦(𝑡) = ∫ 𝑅𝑥 (−𝜏)ℎ 𝑇 (−𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 −𝑡 0 = ∫ 𝑅𝑥 𝑇 (𝜏)ℎ 𝑇 (−𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 −𝑡 0 = 𝑅𝑥 𝑇 (−𝑡) ∗ ℎ 𝑇 (−𝑡) = 𝑅𝑥 (𝑡) ∗ ℎ 𝑇 (−𝑡) (1.11) 因此（将(1.11)代入(1.7)） 𝑅𝑦 (𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑅𝑥 (𝑡) ∗ ℎ 𝑇 (−𝑡) (1.11) 注意到 𝐻(𝑠)|𝑠=𝑗𝜔 = 𝐻(𝑗𝜔) (1.12)
最小方差控制原理另外（输入平稳随机过程的功率谱密度）Φx(w) = J Rx(t)e-jotdt(1.13)那么(1.14)Φy(w) = H(jw)Φx(w)HT(-jw)如果输入为单位白噪声，则有(1.15)Φy(w) = H(jw)HT(-jw)13@CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 13 另外（输入平稳随机过程的功率谱密度） 𝛷𝑥 (𝜔) = ∫ 𝑅𝑥 (𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ (1.13) 那么 𝛷𝑦 (𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔)𝛷𝑥 (𝜔)𝐻 𝑇(−𝑗𝜔) (1.14) 如果输入为单位白噪声，则有 𝛷𝑦 (𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔)𝐻 𝑇(−𝑗𝜔) (1.15)
最小方差控制原理对于 SISO 系统，即Φy(w) = [H(jw)/2 #(1.16)14OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 14 对于 SISO 系统，即 𝛷𝑦(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| 2 #(1.16)
最小方差控制原理1.3离散时间LTI系统设离散时间LTI系统的输入为x(k)，输出为y(k)，系统的单位脉冲响应为(k)，系统的z-传递函数为+0H(2) = 2(k)] =Zz-k h(k)(1.17)k=0类似离散时间系统，可导出Ry(n) = h(n) * Rx(n) * h (-n)(1.18)15OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 15 离散时间 LTI 系统 设离散时间 LTI 系统的输入为𝑥(𝑘)，输出为𝑦(𝑘)，系统 的单位脉冲响应为ℎ(𝑘)，系统的 z-传递函数为 𝐻(𝑧) = ℤ[ℎ(𝑘)] = ∑𝑧 −𝑘 +∞ 𝑘=0 ℎ(𝑘) (1.17) 类似离散时间系统，可导出 𝑅𝑦 (𝑛) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑅𝑥 (𝑛) ∗ ℎ 𝑇 (−𝑛) (1.18)