最小方差控制原理1.1.2连续时间信号设y(t)是一平稳随机过程，其自相关函数为R,(t一s)=Ry(t),t =t-s, 即(1.3)Ry(t,s) = Ey(t)y(s) = Ey(t)y(t + t) = R,(t)那么e-jtwRy(t) dt(1.4)Sy(w) =定义为该平稳随机过程的功率谱密度，简称为谱密度。（有的资料给出的定义差一个比例常数二。2元6OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 6 连续时间信号 设𝑦(𝑡)是一平稳随机过程，其自相关函数为𝑅𝑦 (𝑡 − 𝑠) = 𝑅𝑦 (𝜏)，𝜏 = 𝑡 − 𝑠, 即 𝑅𝑦 (𝑡, 𝑠) = 𝐸𝑦(𝑡)𝑦(𝑠) = 𝐸𝑦(𝑡)𝑦(𝑡 + 𝜏) = 𝑅𝑦 (𝜏) (1.3) 那么 𝑆𝑦 (𝜔) = ∫ 𝑒 −𝑗𝜏𝜔𝑅𝑦 (𝜏) ∞ −∞ 𝑑𝜏 (1.4) 定义为该平稳随机过程的功率谱密度，简称为谱密度。（有 的资料给出的定义差一个比例常数 1 2𝜋 。）
最小方差控制原理如果R(t)=RS(t)，那么S(w)=R，则称随机过程y(t)为白噪声过程。OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 7 如果𝑅𝑦 (𝜏) = 𝑅𝛿(𝜏)，那么𝑆𝑦 (𝜔) = 𝑅，则称随机过程𝑦(𝑡) 为白噪声过程
最小方差控制原理【例】设平稳随机过程y(t)的自相关函数为r(t) =β2e-αltl,α > 0试求功率谱密度S,(w)【解】根据定义（注意差异：）T+811β?e-αltl-jwtdtry(t)e-jwtdt :S(w2元2元β22α2元2+α2OCAIYUANLIX
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 8 【例】设平稳随机过程𝑦(𝑡)的自相关函数为 𝑟𝑦 (𝜏) = 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝜏| , 𝛼 > 0 试求功率谱密度𝑆𝑦 (𝜔)。 【解】根据定义（注意差异： 1 2𝜋 ） 𝑆𝑦 (𝜔) = 1 2𝜋 ∫ 𝑟𝑦 (𝜏)𝑒 −𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 +∞ −∞ = 1 2𝜋 ∫ 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝜏|−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 +∞ −∞ = 𝛽 2 2𝜋 2𝛼 𝜔2 + 𝛼 2
最小方差控制原理连续时间LTI系统1.2设连续时间LTI（线性时不变）系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的单位冲击响应为(t)，那么h(t - t)x(t)dty(t) = (t) * x(t) =o0-t(1.5)h(t -t)x(t)dt由上式不难验证，如果输入x(t)是平稳随机过程，输出CAIYUANLI9
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 9 连续时间 LTI 系统 设连续时间 LTI（线性时不变）系统的输入为𝑥(𝑡)，输 出为𝑦(𝑡)，系统的单位冲击响应为ℎ(𝑡)，那么 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑥(𝜏)𝑑𝜏 +∞ −∞ = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑥(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.5) 由上式不难验证，如果输入𝑥(𝑡)是平稳随机过程，输出
最小方差控制原理y(t)也是平稳随机过程。由系统单位冲击响应可得系统的传递函数H(s) = α[(t)] = /h(t)e-st dt(1.6)T进一步地Ry(t) = h(t) * Rxy(t)+o0h(t - t)Rxy(t)dto((1.7)h(t - t)Rxy(t)dt10OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 10 𝑦(𝑡)也是平稳随机过程。 由系统单位冲击响应可得系统的传递函数 𝐻(𝑠) = 𝔏[ℎ(𝑡)] = ∫ ℎ(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ (1.6) 进一步地 𝑅𝑦 (𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑅𝑥𝑦(𝑡) = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑅𝑥𝑦(𝜏)𝑑𝜏 +∞ −∞ = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑅𝑥𝑦(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.7)