最小方差控制原理Φy(w) = H(eja)Φx(w)HT(e-ja)(1.19)如果输入为单位白噪声，那么(1.20)dy(w) = H(eja)HT(e-ja)对于 SISO 系统，即d,(a) = [H(ejg)I2 #(1.21)16CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 16 𝛷𝑦 (𝜔) = 𝐻(𝑒 𝑗𝜔)𝛷𝑥 (𝜔)𝐻 𝑇 (𝑒 −𝑗𝜔) (1.19) 如果输入为单位白噪声，那么 𝛷𝑦 (𝜔) = 𝐻(𝑒 𝑗𝜔)𝐻 𝑇 (𝑒 −𝑗𝜔) (1.20) 对于 SISO 系统，即 𝛷𝑦(𝜔) = |𝐻(𝑒 𝑗𝜔)| 2 #(1.21)
最小方差控制原理2有理谱分解定理2.1平稳离散时间随机信号对于稳定的线性时不变系统H(z)=Zi=oz-ih(i),如果输入为平稳随机序列(w(k))，那么输出也为平稳随机序列，而且Sy(w) = H(eja)H(e-ja)Sw(w)17OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 17 2 有理谱分解定理 平稳离散时间随机信号 对于稳定的线性时不变系统𝐻(𝑧) = ∑ 𝑧 −𝑖ℎ(𝑖) ∞ 𝑖=0 ，如果输 入为平稳随机序列{𝑤(𝑘)}，那么输出也为平稳随机序列，而 且 𝑆𝑦 (𝜔) = 𝐻(𝑒 𝑗𝜔)𝐻(𝑒 −𝑗𝜔)𝑆𝑤(𝜔)
最小方差控制原理= [H(ej)/2Sw(w) #(2.1)[谱分解定理]设平稳随机序列的谱密度为ejo的有理分式函数，即S(a) eolne ko ≥ 0(2.2)ejnw+fiej(n-1)w+..+fn其中 n, m为偶数，且k=(n-m)，那么一定有S(w) = H(ejw)H(e-jw) = [H(ej)I2 #(2.3)CAIYUANLI18
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 18 = |𝐻(𝑒 𝑗𝜔)| 2𝑆𝑤(𝜔) #(2.1) [谱分解定理] 设平稳随机序列的谱密度为𝑒 𝑗𝜔的有理分式函数，即 𝑆(𝜔) = 𝑔0𝑒 𝑗𝑚𝜔+𝑔1𝑒 𝑗(𝑚−1)𝜔+⋯+𝑔𝑚 𝑒 𝑗𝑛𝜔+𝑓1𝑒 𝑗(𝑛−1)𝜔+⋯+𝑓𝑛 𝑒 𝑗𝑘𝜔 ≥ 0 (2.2) 其中 n, m 为偶数，且𝑘 = 1 2 (𝑛 − 𝑚)，那么一定有 𝑆(𝜔) = 𝐻(𝑒 𝑗𝜔)𝐻(𝑒 −𝑗𝜔) = |𝐻(𝑒 𝑗𝜔)| 2 #(2.3)
最小方差控制原理其中H（z）是一个所有极点在单位园内、所有零点在单位园内或单位园上的有理分式。[表现定理]对于满足错误！未找到引用源。的有理谱密度S(W），一定存在一个渐进稳定的线性时不变系统H(z)，当输入为离散白噪声时，其稳态输出序列的谱密度为S()。19OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 19 其中𝐻(𝑧)是一个所有极点在单位园内、所有零点在单位园 内或单位园上的有理分式。 [表现定理] 对于满足错误!未找到引用源。的有理谱密度𝑆(𝜔)，一定 存在一个渐进稳定的线性时不变系统𝐻(𝑧)，当输入为离散 白噪声时，其稳态输出序列的谱密度为𝑆(𝜔)
最小方差控制原理[例]对于如下有理谱密度(ej +0.5)(e-ja + 0.5)1.25 + cos wΦ(a) = 1.0625 + 0.5 cos w(ejw + 0.25)(e-jw + 0.25)有4种可能的分解，其中z + 0.5H(z) =z + 0.25具有最小相位。即在单位谱密度白噪声的作用下，稳定的LTI 系统H(z)的输出的功率谱密度为Φ(の)。[例] 设20OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 20 [例] 对于如下有理谱密度 𝛷(𝜔) = 1.25 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 1.0625 + 0.5 𝑐𝑜𝑠 𝜔 = (𝑒 𝑗𝜔 + 0.5)(𝑒 −𝑗𝜔 + 0.5) (𝑒 𝑗𝜔 + 0.25)(𝑒 −𝑗𝜔 + 0.25) 有 4 种可能的分解，其中 𝐻(𝑧) = 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.25 具有最小相位。即在单位谱密度白噪声的作用下，稳定的 LTI 系统 H z( ) 的输出的功率谱密度为 ( ) 。 [例]设