§12导数概念 、导数的定义 、导数的物理意义和几何意义 三、由定义求导数
§1.2 导数概念 一、导数的定义 二、导数的物理意义和几何意义 三、由定义求导数
导数的定义设函数y=x)在点x0的某一邻 域内有定义,当自变量x在点x处有增量△x 点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数有 增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果 △y io△>0 f(x0+△x)-f(x) m △ 存在则称该极限值为(x)在点x处的导数, 记作r(xo,或yk=或,2(x) X=x X=x 0
存在,则称该极限值为f(x)在点x0处的导数, 记作f (x0 ),或 设函数y=f(x)在点x0的某一邻 域内有定义, 当自变量x在点x0处有增量x (点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数有 增量y=f(x0+x)−f(x0 ), 如果 0 x x y = x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 或 0 x x dx dy = 导数的定义 或 0 ( ) x x dx df x =
如果fx)在点x处有导数,则称(x)在 点xo处可导否则称八x)在点x0不可导 其他形式 f(o)=lim f(o+h)-f(o) h f(ro=lim f(x)-f(x0) x→>xo x
如果f(x)在点x0处有导数,则称f(x)在 点x0处可导,否则称f(x)在点x0不可导 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 其他形式:
关于导数的说明: (1)△是自变量从x到x0+A时函数fx)的 平均变化速度,称为函数的平均变化率,而 导数f(x0)是函数在点x处的变化速度称 为函数(x)在点x处的瞬时变化率 可见,导数是平均变化率的极限 (2)如果函数y=x)在开区间(a,b)内的每 点处都可导,则称函数(x)在区间(a,5)内可 导
是自变量从x0到x0+x时函数f(x)的 平均变化速度,称为函数的平均变化率,而 导数f (x0 )是函数在点x0处的变化速度,称 为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率 关于导数的说明： (1) x y 可见,导数是平均变化率的极限 (2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一 点处都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可 导
此时,x∈(a,b都对应着fx)的一个确定 的导数,则f(x)是x的函数,称为函数f(x) 的导函数作y,f"(x),或“(x) 即y={imn ∫(x+△x)-f(x) 或∫(x)=加mf(x+h)-f(x) →>0 显然,f(x)=f(x)
此时,x(a,b),都对应着f(x)的一个确定 的导数,则f (x)是x的函数,称为函数f(x) 的导函数,记作y , f (x), dx dy 或 dx df (x) x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → 或 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = 显然 =