例3求解初值问题:x+2 y+x y 解:分离变量得, 1+y 1+x 两端积分得 yay 2 1+x →ln(1+y2)=ln(1+x2)+C1 →1+y2=e(1+x2)=C(1+x2)(C=e) 代入初始条件,得:C=2 所求特解为:1+y2=2(1+x2)
2 2 1 1 x xdx y ydy + = + 例3 求解初值问题: , y|x=0=1 y x y x xy y 2 2 + + = 解: 分离变量,得 两端积分,得 + = + 2 2 1 1 x xdx y ydy ln(1+y 2 )=ln(1+x 2 )+C1 1 (1 ) 2 1 2 y e x C + = + =C(1+x 2 ) ( ) C1 C = e 代入初始条件,得: C=2 所求特解为: 1+y 2=2(1+x 2 )
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含 量M成比例已知M0=M0,求衰变过程中 铀含量M(O)随时间变化的规律 解:由题意有: 由子当个时,M 衰变速度女日团M故表变速度为负 (x>0,衰变系数) →=-→aM=-「at M M →mM=-+C1→M=eMC=Cen 代入初始条件得:M=Ce0=C(C=c) °M=Mne-n 衰变规律
例3 衰变问题: 衰变速度与未衰变原子含 量M成比例,已知M| t=0=M0 ,求衰变过程中 铀含量M(t)随时间t变化的规律 解: 由题意有: M dt dM = − 衰变速度 (>0,衰变系数) dt M dM = − = − dt M dM lnM= −t+C1 C1 t M e − + = =Ce−t ( ) C1 C = e M0=Ce 代入初始条件 0 ,得: =C ∴ M=M0 e −t 衰变规律 由于当t时, M, 故衰变速度为负
§22可化为变量分离方程的方程 类型1形如=∫(ax+b)的方程其中 a,b是常数 令=ax+by→a=a+dx 将原式代入→=a+b(m) 变量分离方程
的方程,其中 a,b是常数 §2.2 可化为变量分离方程的方程 类型1 形如 f (ax by) dx dy = + 令u=ax+by dx dy a b dx du = + a bf (u) dx du = + 变量分离方程 将原式代入