Gauss顺序消去法(续 13 2)x(3) 22 23 ai don d 33 lk k1 显然,△≠0,a≠0.(k=1,2,…m)反之,a()≠0,△≠0 故△≠0(k=1,2…n),即a≠0 高斯顺序消去法能够进行下去,且可回代求解。 反之,能用高斯顺序消去法进行求解的充要条件为 a≠0 且 △,≠0 证毕 2004-11-10 16
2004-11-10 16 Gauss顺序消去法（续） (3) 33 (2) 22 (1) 11 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 a a a a a a a a a a a a ∆ = = M (2) ( ) 22 (1) 11 1 11 1 k kk k kk k k a a a a a a a L L M O M L ∆ = = 0, ( ) ≠ kkk a ∆ ≠ 0. 反之， k ∆ ≠ 0, k 0. ( ) ≠ kkk 显然， a （k=1,2, Ln） 故 ∆k ≠0（k=1,2,……n）,即 0 ( ) ≠ kkk a 高斯顺序消去法能够进行下去，且可回代求解。 反之，能用高斯顺序消去法进行求解的充要条件为 0 ( ) ≠ kkk a 且∆k ≠ 0 。 证毕
GauS顺序消去法(续) 说明:①当detA=0,am=0,此时高斯顺序 消去法能进行下去,但不能求出唯一解。 ②当 △k=aq}…a(k=1,2,…,n)均不为零时 高斯顺序消去法能进行下去,但当a≈0或相对于 a(i=k+1k+2.,n)比较小时,计算时产生的 舍入误差将导致计算结果误差增大 ③由于舍入误差的原因,GauS5顺序消去法不是 个实用的方法,实用中应该采用选主元的 Gaussi消去法。 2004-11-10 17
2004-11-10 17 Gauss顺序消去法（续） ，此时高斯顺序 消去法能进行下去，但不能求出唯一解。 0 ( ) a = n 说明：① 当 detA=0, nn ②当 (1) ( ) 11 k k kk ∆ = a La 高斯顺序消去法能进行下去，但当 或相对于 （k=1,2,…，n)均不为零时 0 ( ) ≈ kkk a （i=k+1,k+2…，n）比较小时，计算时产生的 舍入误差将导致计算结果误差增大。 (k ) ik a ③由于舍入误差的原因，Gauss顺序消去法不是 一个实用的方法，实用中应该采用选主元的 Gauss消去法
高斯主元消去法 a称为第步的主元 在计算过程中舍入误差增大迅速,造成计 算解与真解相差甚远,这一方法就是不稳定的 方法,反之,在计算过程中的舍入误差增大能 得到控制,该方法就是稳定的。小主元是不稳 定的根源,这就需要采用“选主元素”技术,即 选取绝对值最大的元素作为主元。 2004-11-10 18
2004-11-10 18 二 高斯主元消去法 (k ) akk 称为第k步的主元 在计算过程中舍入误差增大迅速，造成计 算解与真解相差甚远，这一方法就是不稳定的 方法，反之，在计算过程中的舍入误差增大能 得到控制，该方法就是稳定的。小主元是不稳 定的根源，这就需要采用“选主元素”技术，即 选取绝对值最大的元素作为主元
列主元消去法 种常用的方法是列主元消去法。设增广矩阵为 21 B b 在第一列中选取绝对值最大的元素,如若n=maal 调换第一行与第近行,这时的a就是原来的a1,再进 行消去法的第一步,即 2004-11-10 19
2004-11-10 19 列主元消去法 一种常用的方法是列主元消去法。设增广矩阵为 B= [ ] (1) (1) 1 2 ,1 ,2 , 21 22 2 2 11 12 1 1 1 1 1 1 A b a a a b a a a b a a a b a a a b n n nn n i i i n i n n r M L M M M M M L M M M M M L L = 在第一列中选取绝对值最大的元素,如若 = 调换第一行与第i行，这时的 ,1 1i a 1≤i≤n maxai1 (1) a11 ,1 1 ai 行消去法的第一步，即 就是原来的 ,再进
列主元消去法(续) 22 a2)b2) (2):(2) 再考虑A2右下角矩阵,选取绝对值最大的元素作为 主元素,经过行的对换把主元素移到a2, 再按消元公式计算a(i,j=3,n)。 然后每一步类似的都在右下角方阵中的第一列中选 主元,再经行对调,将主元素换到右下脚方阵中左 上角的位置。再按下一步计算(i,jk.n) 直至将方程组化成上三角方程组,再进行回代就可 求得解。 2004-11-10 20
2004-11-10 20 列主元消去法（续） [ ] (2) (2) (2) (2) 22 (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 22 (2) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 A b a a b a a b a a a b n n n n r M L M O M M L L = (2) 再考虑 A 右下角矩阵，选取绝对值最大的元素作为 主元素,经过行的对换把主元素移到 ， (2) 22 a 再按消元公式计算 aij (3 （) i,j=3, … n）。 直 至将方程组化成上三角方程组，再进行回代就可 求得解。 然 后 每 一 步 类 似 的 都 在 右 下 角 方阵中的第一列中选 主元，再经行对调, 将主元素换到右下脚方阵中左 上角的位置。再按下一步计算 （i,j=k …n) (k ) aij