Gauss顺序消去法(续 上面的方程记为A(k+)x=bk+ 其中 (k+1) (ij=k+1,,n) b(+1)=b()-Lb)(i=k+1…n) 按上述做法,做完n-1步,原方程可化为同解的上三角 方程组。 ax, t c22x2+…+a2mxn n6(n 记为A()x=bn) 2004-11-10 11
2004-11-10 11 Gauss顺序消去法（续） ( +1) ( +1) = k k A x br 上面的方程记为 r (i,j=k+1,…,n) ( 1) ( ) (k ) ik kj kij kij a = a − l a 其中 + bi(k+1) = bi(k ) − likbk(k ) （i=k+1,…,n） = …… +…+ = + +…+ = ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 2 (2) 22 (1) 1 (1) 2 1 (1) 1 12 (1) 11 n n n n nn n n n n a x b a x a x b a x a x a x b 按上述做法，做完n-1步，原方程可化为同解的上三角 方程组。 (n) (n) A x br r 记为 =
Gauss顺序消去法(续 最后,设am≠0,逐步回代得到原方程组的解: n i=i+1 (i=n-1,n-2,,2,1) 上面的求解过程称为Gaus顺序消去法。它通过一系列 消元过程与最后的一步回代过程来得到方程组的解 Remark1:在Gaus顺序消去法的消去过程中,可以将 右端列向量视为方程组A的第n+1列,直接对矩阵A (指现在的n行,n+1列的增广矩阵)进行行初等变换, 将其变换为上三角形矩阵,从而回代求解得到方程组 的解。 2004-11-10 12
2004-11-10 12 Gauss顺序消去法（续） 最后，设 0 ，逐步回代得到原方程组的解： ( ) ≠ n ann ( ) 1 ( ) ( ) ( ) i ii n j i i i ij i i i a b a x x ∑ = + − = ( ) ( ) n nn n n n a b x = （i=n-1,n-2,…,2,1） 上面的求解过程称为Gauss顺序消去法。它通过一系列 消元过程与最后的一步回代过程来得到方程组的解。 Remark1：在Gauss顺序消去法的消去过程中，可以将 右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A （指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变换， 将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方程组 的解
Gauss顺序消去法(续 Remark2:可以统计出,如果A为n阶方阵,则Gaus顺 序消去法消去过程所需的乘除运算次数为 ∑(n-k+(m-kn-k+1) nn 5n k=1 回代过程所需的乘除运算次数为∑k-1+1=m+ 故总的乘除运算次数为N=n+n2 ≈O(n3) 取n=20,则N=3060,与 Gramer法则相比,是天壤之别。 Remark3:在消去过程中,也可以采用 gauss- Jordan消 去法,将方程组化为对角形方程组,进而化为单位阵, 则右端列向量就化为方程组的解向量。该方法不需回 代过程,但总的计算量为n3/2+n2-n/2,比Gaus顺序消 去法有所增加。 2004-11-10 13
2004-11-10 13 Gauss顺序消去法（续） Remark2：可以统计出，如果A为n阶方阵，则Gauss顺 序消去法消去过程所需的乘除运算次数为 ( ) 65 3 2 ( )( 1) 1 3 2 1 n n n n k n k n k nk∑ − + − − + = + − −= 回代过程所需的乘除运算次数为 ( ) 2 ( 1) 1 1 1 + ∑ − + = = n n k nk 故总的乘除运算次数为 ( ) 3 3 2 3 3 O n n n n N = + − ≈ 取n＝20，则N＝3060，与Gramer法则相比，是天壤之别。 Remark3：在消去过程中，也可以采用Gauss-Jordan消 去法，将方程组化为对角形方程组，进而化为单位阵， 则右端列向量就化为方程组的解向量。该方法不需回 代过程，但总的计算量为n3/2+n2-n/2，比Gauss顺序消 去法有所增加
Gauss顺序消去法(续 Remark4:在消去过程中,消去过程能够进行的前提条 件是a≠0。当detA=△n≠0时方程组存在唯一解,但 未必能满足a≠0的条件。要使Gaus顺序消去法能够 求得方程组的解,应满足如下的定理: 定理:用高斯顺序消去法能够求解方程组Ax=b的解的 充要条件为A的各阶顺序主子式均不为零 证明: 引进记号△1=a1△2 △n=det(A),先证下列 22 命题a≠0i=12,…m的充要条件为: △≠0(k=1,2,n) 2004-11-10
2004-11-10 14 Gauss顺序消去法（续） 0 ∆n ≠ 0 ( ) ≠ kkk a Remark4：在消去过程中，消去过程能够进行的前提条 件是 。当detA= 时方程组存在唯一解，但 未必能满足 的条件。要使Gauss顺序消去法能够 求得方程组的解，应满足如下的定理： 0 ( ) ≠ kkk a 定理：用高斯顺序消去法能够求解方程组A 的解的 充要条件为A的各阶顺序主子式均不为零。 x b v v = 证明： ∆k ≠ 0 （k=1,2,…n）。 0( 1,2, ) ( ) a i n kkk ≠ = … 引进记号 ，先证下列 命题 ∆1 = a11 ∆2 = 21 22 11 12 a a a a det(A) ∆n = 的充要条件为：
Gauss顺序消去法(续 a o) In (2) (2) 22 n A=A)→A (k (k) 由高斯顺序消去法,仅对原增广矩阵作行变换,且有 (1) 1) 4 11 12 12 (1)(2) 21 22 2004-11-10 15
2004-11-10 15 Gauss顺序消去法（续） = → = (1) (k ) A A A ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 12 (1) 11 knn knn kkn kkk nn a a a a a a a a a L M O M L O O O M O O O L L L 由高斯顺序消去法，仅对原增广矩阵作行变换，且有 (1) ∆1 = a11 (2) 22 (1) (1) 11 22 (1) 12 (1) 11 21 22 11 12 2 a a a a a a a a a ∆ = = =