例7判定p级数 =1++…++…(P>0) 2 的敛散性 解(1)当p≤1时,因为n"≤m有 由于∑发散,则∑,发散 2)当图1时,设n-1x5m2,有 0< p-1(n-1) 令L 1-1且∑n的部分和是S P-1(n-1) H=2
6 例7 判定p级数 1 1 1 1 1 ( 0) 2 p p p n p n n = = + + + + 1 1 n n = 由于 的敛散性。 解 (1)当 p≤1 时, 因为 p n n ， 1 1 , p n n 有 1 1 p n n = 发散, 则 发散。 (2)当 p≤1 时, 设 n x n n − 1 2 , （ ）有 1 1 p p n x 1 1 n n 1 1 p p n n dx dx − − n x 1 0 p n = 1 1 1 1 1 [ ] 1 ( 1) p p p n n − − = − − − 1 1 2 1 1 1 [ ] , 1 ( 1) n n n p p n u u S p n n − − = = − − − 令 且 的部分和是
)+…+( p 3 (n+1) 1 P-1(n+1) 于是lims.=lin1 n→0 n→0 P (n+1) p-1 故∑n收敛,则 ∑ 收敛 重要结论:级数2在当p>1时收敛 当p≤1时发散
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( )] 1 2 2 3 ( 1) n p p p p p S p n n − − − − − = − + − + + − − + 1 1 1 [1 ] 1 ( 1) p p n − = − − + 1 1 1 lim lim [1 ] 1 ( 1) n p n n S p n → → − = − − + 于是 2 n n u = 故 收敛, 则 1 1 p n n = 收敛。 1 p 1 = − 重要结论: p级数 在当 p>1时收敛; 1 1 p n n = 当 p≤1 时发散