§6.6定积分的应用 定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经 济上的应用;并希望同学们通过本章的学习能熟练地的 运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法微元法 元素法) 一微元法的基本思想 如图:曲边梯形AmbB的面积为 定积分∫(x)而这个积分的被积 (x) 表达式f(x)dx,正好是区间[a,b]上 的任意小区间[x,x+△x上的窄曲边 Xx+△x 梯形DEFH面积AS的近似值,而
1 § 6.6 定积分的应用 定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经 济上的应用; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的 运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法—— 一.微元法的基本思想 o x y=ƒ(x) a b B A x x+Δx H C D E F 如图:曲边梯形 AabB 的面积为 定积分 ( ) , b a f x dx y 微元法. (元素法) 表达式 ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上 的任意小区间[ x, x + ∆ x] 上的窄曲边 梯形 而这个积分的被积 DEFH 面积ΔS 的近似值, 而
当△x=dx→0时,△S=f(x)dx+o(dx) y=f(x) B 根据微分的定义有f(x)dx=dS.即 F Ax b 求曲边梯形AmbB的面积S的方法为 (1)在[a,b上任取一个小区间[x,x+dx],并求出总量S的 微分dS=f(x)dx;(面积微元) (2)以微分表达式f(x)dx为被积表达式,在a,b上作定积分 (面积微元进行求和累加) s=lds= f(x)dx 即可
2 (2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 根据微分的定义有ƒ(x)dx = dS. 即 求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为: (1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 S 的 微分dS = ƒ(x)dx ; ( ) b b a a S dS f x dx = = 当∆x = dx→0时, ΔS=ƒ(x)dx + o(dx). o x y=ƒ(x) a b B A x x+Δx H C D E F y (面积微元) 即可。 (面积微元进行求和累加)
抛开S的具体含义,把这种思想加以抽象,就得到 微元法思想的表述 若总量与变量x的变化区间[a,b有关,且对区间具有 可加性(即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之 和); 在区间,x+dx]上对应分量的近似值为f(x)dx, 则有dA=八(x且总量为A=Jf(x)d 数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微 分dA=f(x)dx,称为总量A的积分微元
3 抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象, 就得到 微元法思想的表述: 数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微 分dA=ƒ(x)dx, 称为总量A 的积分微元. 则有dA=ƒ(x)dx且总量为 ( ) . b a A f x dx = 可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之 和); 若总量与变量 x 的变化区间[a, b]有关, 且对区间具有 在区间[x , x + d x ] 上对应分量的近似值为ƒ(x)dx
平面图形的面积 y=f(x) 求平面图形面积的步骤 g(x) (1)选取积分变量x (过点x作垂直于x轴的直线穿区域D,是一进一出) 或y(过点y作垂直于y轴的直线穿区域D是一进一出) 及积分区间 (2)写出面积微元dS dy 3)作定积分S=[f(x)hx xv(y) 注:在选择积分变量时,还要考虑图形特征
4 二.平面图形的面积 o y y=ƒ(x) a x x+dx b y=g(x) (2) 写出面积微元dS x 求平面图形面积的步骤: (1) 选取积分变量 x 或 y (3) 作定积分 ( ) b a S f x dx = 注: 在选择积分变量时, 还要考虑图形特征. (过点x作垂直于 x 轴的直线穿区域D, 是一进一出) (过点 y 作垂直于y 轴的直线穿区域D, 是一进一出) 及积分区间. o x=φ(y) c d y+dy y x=ψ(y) x y
1.若平面图形D被夹在直线x=a与x=b之间,且其 上下边界的方程分别为y=f(x)和y=g(x)则图形的面积为 S=l If(x)-g(x)ldx 分析:对任意的x∈[,b 作垂直于x轴的直线穿区域D =g(x) 是从g(x)进,从f(x)出; 则以dx为底,f(x)-g(x)为高的小窄矩形面积微元 ds=[f(x-g(x)]dx
5 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间, 且其 上下边界的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x) 则图形的面积为 [ ( ) ( )] b a S f x g x dx = − 则以dx为底, ƒ(x) – g(x)为高的小窄矩形面积微元 o y y=ƒ(x) a x x+dx b y=g(x) x 分析: 对任意的x∈[a , b], 作垂直于x轴的直线穿区域D, 是从 g(x) 进, 从ƒ(x)出; dS = [ƒ(x)–g(x)]dx