电磁场的动量密度与动量流密度86.3健在健马#的的华和型养【已知】洛仑兹力公式f=pE+J×B【求解】形如用：场在空问中的流动29+.=-fat方程中g与可的场量表达式。【解】利用麦克斯韦方程组，将p、J的表达式代入洛仑兹力公式1V×B-0-EJ=P=EOVEf=pE+JxBotoOE+=(o0 E) +(*×B-00%)) ×Bμo1aaB=(eoV.E)E+1(V×B)×B-0-(E× B)+0(E×tOtoa(E×B)+e0(V.E)E+E0(V×E)×E-E00t11-(V×B)×B+=(V·B)BXμoo由于：1VE2(V×E) ×E= (E.V)E-2故：1VE2(V·E)E+(V×E) ×E=(V E)E+(E V)E -21V. (3E2)= V.(EE)-21← E2)-V.(EE-2其中用到张量计算公式：V. (fg) = g(V· f) + (f . V)gV.(3 E)- 3.VE? -VE?其中为单位张量具有性质7.0=0.3=v同理：1(V. B)B +(V× B) ×B = V. (BB -23B3)■故此可得：a1417(eE2 +1B2) =-fBB+(E×B)+V-E0EE-coa2μoμo21
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度 动（能）量的转化有两种 途径：场与带电粒子相互作 【已知】 洛仑兹力公式f = 用；场在空间中的流动 ρE + J × B 【求解】 形如 ∂g ∂t + ∇ · ←→T = −f 方程中g与 ←→T 的场量表达式。 【解】 利用麦克斯韦方程组，将ρ、J的表达式代入洛仑兹力公式： ρ = ε0∇ · E , J = 1 µ0 ∇ × B − ε0 ∂E ∂t , f = ρE + J × B f = (ε0∇ · E)E + ( 1 µ0 ∇ × B − ε0 ∂E ∂t ) × B = (ε0∇ · E)E + 1 µ0 (∇ × B) × B − ε0 ∂ ∂t (E × B) + ε0(E × ∂B ∂t ) = −ε0 ∂ ∂t (E × B) + ε0(∇ · E)E + ε0(∇ × E) × E + 1 µ0 (∇ × B) × B + 1 µ0 (∇ · B)B 由于： (∇ × E) × E = (E · ∇)E − 1 2 ∇E 2 故： (∇ · E)E + (∇ × E) × E = (∇ · E)E + (E · ∇)E − 1 2 ∇E 2 = ∇ · (EE) − 1 2 ∇ · ( ←→I E 2 ) = ∇ · (EE − 1 2 ←→I E 2 ) 其中用到张量计算公式： ∇ · (fg) = g(∇ · f) + (f · ∇)g ∇ · ( ←→I E 2 ) = ←→I · ∇E 2 = ∇E 2 其中←→I 为单位张量具有性质 ←→I · v = v · ←→I = v 同理： (∇ · B)B + (∇ × B) × B = ∇ · (BB − 1 2 ←→I B 2 ) I 故此可得： ε0 ∂ ∂t (E × B) + ∇ · [−ε0EE − 1 µ0 BB + 1 2 ←→I (ε0E 2 + 1 µ0 B 2 )] = −f 21
其中：电磁场动量密度g为g=ExB电磁场动量密度与能流密度间的关系：g=eoE×B=eoμoE×HC2电磁场动量流密度为F--EE-(eE2+-B)BB+2μoμo·电磁场动量流密度张量又称为麦克斯韦应力张量或张力张量。张量守的分量T，的意义是通过垂直于轴的单位面积流过的动量分量。电磁场动量守恒的积分形式α J]] gdV =-J]/ fdv - f da. 3例一同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电流I，两导线间的电压为U。(1)忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率：(2）计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。【解】（1）由安培环路定律可知，a<r<b处的磁场强度：1H=eg2元r设导线上线电荷密度为T，由高斯定理可知，α<r<b处的电场强度：TE=e,2TEr由导线间电压：b2元EUE.drIn→Ing2TEa故坡印亭矢量为：UI1S=ExH:2ln2e:总传输功率为UIUIPS2元rd2元rdr==dr=UI2元ln62Ing22
I 其中：电磁场动量密度g为 g = ε0E × B I 电磁场动量密度与能流密度间的关系： g = ε0E × B = ε0µ0E × H = 1 c 2 S I 电磁场动量流密度 ←→T 为 ←→T = −ε0EE − 1 µ0 BB + 1 2 ←→I (ε0E 2 + 1 µ0 B 2 ) • 电磁场动量流密度张量又称为麦克斯韦应力张量或张力张量 • 张量←→T 的分量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量j分量。 I 电磁场动量守恒的积分形式 d dt Z Z Z gdV = − Z Z Z fdV − I dσ · ←→T 例一 同轴传输线内导体半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电 流I，两导线间的电压为U。 （1） 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率； （2） 计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线 的损耗功率。 【解】 （1）由安培环路定律可知，a < r < b处的磁场强度： H = I 2πr eθ 设导线上线电荷密度为τ，由高斯定理可知，a < r < b处的电场强度： E = τ 2πεr er 由导线间电压： U = Z b a E · dr = τ 2πε ln b a ⇒ τ = 2πεU ln b a 故坡印亭矢量为： S = E × H = UI 2π ln b a · 1 r 2 ez 总传输功率为 P = Z b a S 2πrdr = Z b a UI 2π ln b a r 2 2πrdr = UI ln b a Z b a 1 r dr = UI 22
（2）导体内部电场强度：J1E:Ta?gO由电场强度切向分量连续可知，a<r<b处的电场强度既有r分量又有z分量，其z分量为IE,lr=aTa2ge:故此能流S除了如前所述z方向分量外，还增加有e，×eg=-er方向分量：12S,=E,Helr=a=2元203g流进单位长度导线内部的功率为12.2元a0l=[2_81=1RS,-2元a8l=2元2a3gTa?a流进导体内部的能流转化为欧姆加热；能量传输不是从导体中通过，而是在导线周围的介质中传输。例二一平行板电容器由两个相距为d、半径为a的圆形板组成，该电容器由无电阻的长直导线供电，已知两板间电压为V=Vocoswt，并假定d<a<，即电场的边缘效应和推迟效应均可以忽略，试求解：（1）两板间的电磁场；（2）两板间的能量密度、能流密度；（3）长直导线中的电流以及板上的电流密度；【解】（1）板间的电场为：VVoE=coswtezed由Maxwell方程组aEaEVoVxB=oJ+EoO0OwsinwtezOtata利用位型的对称性进行积分：VoB.dlwsinwtezdsO0OdVoVo元r2B2元r=wsinwtB=-E-→ursinwtedHOEOd2d23
（2）导体内部电场强度： E = J σ = I πa2σ ez 由电场强度切向分量连续可知，a < r < b处的电场强度既有r分量又有z分量，其z分 量为 Ez|r=a = I πa2σ ez 故此能流S除了如前所述z方向分量外，还增加有ez × eθ = −er方向分量： Sr = EzHθ|r=a = I 2 2π2a 3σ 流进单位长度δl导线内部的功率为 Sr · 2πaδl = I 2 · 2πaδl 2π2a 3σ = I 2 δl πa2σ = I 2R I 流进导体内部的能流转化为欧姆加热； I 能量传输不是从导体中通过，而是在导线周围的介质中传输。 例二 一平行板电容器由两个相距为d、半径为a的圆形板组成，该电容器由无电阻的长直导 线供电，已知两板间电压为V = V0 cos ωt，并假定d ¿ a ¿ c ω，即电场的边缘效应和推迟 效应均可以忽略，试求解： (1) 两板间的电磁场； (2) 两板间的能量密度、能流密度； (3) 长直导线中的电流以及板上的电流密度； 【解】(1) 板间的电场为： E = V d ez = V0 d cos ωt ez 由Maxwell方程组 ∇ × B = µ0J + µ0ε0 ∂E ∂t = µ0ε0 ∂E ∂t = −µ0ε0 V0 d ω sin ωt ez 利用位型的对称性进行积分： I B · dl = Z Z −µ0ε0 V0 d ω sin ωt ez · dS B 2πr = − µ µ0ε0 V0 d ω sin ωt¶ · πr2 ⇒ B = −µ0ε0 V0 2d ωr sin ωt eφ 23
（2）两板间电磁能量密度：11 B250E2+w=2 μo(Vo)Vo11cos?wt+(u02wr sinwt)200d2μo60[cos? wt + ( sin wt)22cE0(V)cos?wty2d能流密度：S=ExHVoVocoswt.Eowr sinwt (es x e:)=2dd2(Vo)wrsin2wterE04d.（3）下平行板上的面电荷密度：Vog=n·(D2- D)=e0E = e0%coswt单个板上的总电荷：Voads6=0-TacoswtQd长直导线中的电流：dQVoaw sinwtI==-E0-dtd由电荷守恒定律可知：ap=0V.J+at用柱坐标表述的板上的电流密度：10aJ21aJeOp=0-(rJ.) +++r000zrOrotOp)(1a(rJ.) +.dh = 0(rOrt由于o为电荷面密度，K,为电流面密度，即：α=p·dhKr=J-dh,18do-(rK.) += 0rratVo10-(rK,)= 60wsinwtrord24
(2) 两板间电磁能量密度： ω = 1 2 ε0E 2 + 1 2 B2 µ0 = 1 2 ε0 µ V0 d ¶2 cos2 ωt + 1 2 1 µ0 µ µ0ε0 V0 2d ωr sin ωt¶2 = ε0 2 µ V0 d ¶2 · cos2 ωt + ³ωr 2c sin ωt´2 ¸ ' ε0 2 µ V0 d ¶2 cos2 ωt 能流密度： S = E × H = V0 d cos ωt · ε0 V0 2d ωr sin ωt (eφ × ez) = − ωr 4 ε0 µ V0 d ¶2 sin 2ωt er (3) 下平行板上的面电荷密度： σ = n · (D2 − D1) = ε0E = ε0 V0 d cos ωt 单个板上的总电荷： Q = Z Z σ dS = ε0 V0 d πa2 cos ωt 长直导线中的电流： I = dQ dt = −ε0 V0 d πa2ω sin ωt 由电荷守恒定律可知： ∇ · J + ∂ρ ∂t = 0 用柱坐标表述的板上的电流密度： 1 r ∂ ∂r (rJr) + 1 r ∂Jθ ∂θ + ∂Jz ∂z + ∂ρ ∂t = 0 µ 1 r ∂ ∂r (rJr) + ∂ρ ∂t ¶ · dh = 0 由于σ为电荷面密度，Kr为电流面密度，即： σ = ρ · dh , Kr = Jr · dh 1 r ∂ ∂r (rKr) + ∂σ ∂t = 0 1 r ∂ ∂r (rKr) = ε0 V0 d ω sin ωt 24
可得：VoK, = 02 sinot由于边界条件：当r=a时K，=0，即可待定出常数b，由此可得板上的面电流密度为：VoK, owsint-86.4小结电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律：-能流密度（坡印亭矢量）S=E×H：各向同性线性介质中电磁场能量密度w=(E·D+H·B)；电磁场动量密度g=E0E×B：1电磁场动量流密度张量+(eE +B)1F=-0EE--BB+HoHo【习题】Page48:13,1425
可得： Kr = ε0 V0 2d ω sin ωt µ r + b r ¶ 由于边界条件：当r = a时Kr = 0，即可待定出常数b，由此可得板上的面电流密度 为： Kr = ε0 V0 2d ω sin ωt µ r − a 2 r ¶ § 6.4 小结 I 电磁场和带电物质间满足能量守恒、动量守恒定律； I 能流密度（坡印亭矢量）S = E × H； I 各向同性线性介质中电磁场能量密度ω = 1 2 (E · D + H · B)； I 电磁场动量密度g = ε0E × B； I 电磁场动量流密度张量 ←→T = −ε0EE − 1 µ0 BB + 1 2 ←→I (ε0E 2 + 1 µ0 B 2 ) 【习题】 Page 48：13,14 25