第二章静电场营免布店市的情况手品林求解静电缆，内容提要21静电场的标势21.1静电标势的引入31.2电场强度与电势31.3关于电势的讨论31.4连续分布电荷的电势41.5静电势的微分方程和边值关系1.64导体的静电条件51.7静电场的能量61.8小结62静电场的唯一性定理62.1唯一性定理的表述2.26关于唯一性定理的讨论72.3唯一性定理的证明82.4有导体存在时的唯一性定理2.58第一类型问题的证明2.69第二类型问题的证明2.710小结103分离变量法103.1拉普拉斯（(Laplace）方程113.2球坐标下的分离变量法3.311拉普拉斯方程的通解3.412勒让德函数3.512例一3.615例二3.7小结16镜象法164164.1镜象法求解静电边值问题4.217例4.317例二184.4例三4.5例四194.619边界条件小结204.7小结1
第二章 静电场 在给定的自由电荷分布以及 空间介质和导体分布的情况 下怎样求解静电场。 内 容 提 要 1 静电场的标势 2 1.1 静电标势的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 电场强度与电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 关于电势的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 连续分布电荷的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 静电势的微分方程和边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 导体的静电条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 静电场的能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 静电场的唯一性定理 6 2.1 唯一性定理的表述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 关于唯一性定理的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 唯一性定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 有导体存在时的唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 第一类型问题的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 第二类型问题的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 分离变量法 10 3.1 拉普拉斯(Laplace)方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 球坐标下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 拉普拉斯方程的通解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 勒让德函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 例一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.6 例二 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.7 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 镜象法 16 4.1 镜象法求解静电边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 例一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 例二 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4 例三 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.5 例四 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.6 边界条件小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.7 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
格林（Green）函数205205.1函数的性质205.2格林函数的定义5.321特定区域的格林函数例子225.4格林公式：225.5由格林公式求解第一类边值问题5.623对格林函数法的讨论235.7例245.8小结电多极矩246246.1电的多极展开256.2电多极矩6.3电偶极矩26276.4电四极矩276.5将电四极矩化为无迹对称张量286.6电荷体系在外电场中的能量296.7关于电多极矩的讨论306.8小结第一节静电场的标势副杂型的处：的来，未堂81.1静电标势的引入静电场的麦克斯韦方程组：V.D=pVxE=-0静电场是无旋的一可以用一个标势来描述静电场。电场沿任一闭合回路的环量积分等于零：E.dl=0。电荷由P移至P2时电场所作的功与路径无关，而只和两端点有关。E.dl-E.d=0 →E.dl=E·dlC1C2CC。把单位正电荷由P移至P2，电场所作的功定义为P至P2的电势差：电场对电荐作正动财电势下降这是电势定义的积分形式E.dl(p(P2) - ((P) =P,2
5 格林(Green)函数 20 5.1 δ函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 格林函数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3 特定区域的格林函数例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.4 格林公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.5 由格林公式求解第一类边值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.6 对格林函数法的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.7 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 电多极矩 24 6.1 电的多极展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 电多极矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.3 电偶极矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.4 电四极矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.5 将电四极矩化为无迹对称张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.6 电荷体系在外电场中的能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.7 关于电多极矩的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 第一节 静电场的标势 引入ϕ的好处：简单，矢量 到标量 § 1.1 静电标势的引入 I 静电场的麦克斯韦方程组： ∇ · D = ρ , ∇ × E = 0 I 静电场是无旋的⇒可以用一个标势来描述静电场； • 电场沿任一闭合回路的环量积分等于零： I E · dl = 0 • 电荷由P1移至P2时电场所作的功与路径无关，而只和两端点有关。 Z C1 E · dl − Z C2 E · dl = 0 ⇒ Z C1 E · dl = Z C2 E · dl • 把单位正电荷由P1移至P2，电场所作的功定义为P1至P2的电势差： 负号的指代电场对电荷作正 功则电势下降 这是电势定义的积分形式 ϕ(P2) − ϕ(P1) = − Z P2 P1 E · dl 2
8 1.2电场强度E与电势相距为dl的两点间电势差为：dp=-E.dl由于ada+d++odz=Vp.dldp=ar02Qy比较可知E=-V只有势的差值才有物理意义。一般参考点的选取无穷远或地（α）出型膜度E与电势中可以E.dp(P)81.3关于电势的讨论电势参考点的选择无穷远和地是统一的：·大地是半径无穷大的导体，故此大地也是无穷点：。用半径为无穷大导体模型可说明无穷远点和地电势相同：电势能否替代电场强度E？仅在警电情况下可以。在电荷密度为零的空间中不存在电势的极值：连续分布电荷的电势81.4点电荷的电场强度QrE=4元0r3点电荷的电势Q 16V4E0T电势同样满足叠加性原理，多个电荷的电势做年是线性？每个量我残性Qi17P(P) =4TEOTi连续分布电荷的电势p(ae')dvrp(a)4TEor对于实际情况，上式是不够的：。导体（或介质）中的感应电荷（束缚电荷）并不是明确可知的：。电势的微分形式有助于研究其性质；3
§ 1.2 电场强度E与电势ϕ I 相距为dl的两点间电势差为： dϕ = −E · dl 由于 dϕ = ∂ϕ ∂x dx + ∂ϕ ∂y dy + ∂ϕ ∂z dz = ∇ϕ · dl 比较可知 E = −∇ϕ I 只有势的差值才有物理意义。 I 一般参考点的选取无穷远或地（ϕ ∝ 1 r） 电场强度E与电势ϕ可以互 相求得 ϕ(P) = I ∞ P E · dl § 1.3 关于电势的讨论 I 电势参考点的选择无穷远和地是统一的； • 大地是半径无穷大的导体，故此大地也是无穷点； • 用半径为无穷大导体模型可说明无穷远点和地电势相同； I 电势ϕ能否替代电场强度E？ 仅在静电情况下可以。 I 在电荷密度为零的空间中不存在电势的极值； § 1.4 连续分布电荷的电势 I 点电荷的电场强度 E = Q 4πε0 r r 3 I 点电荷的电势 ϕ = Q 4πε0 1 r I 电势同样满足叠加性原理，多个电荷的电势 什么是线性？那个量是线性 的？ ϕ(P) = X i Qi 4πε0 1 ri I 连续分布电荷的电势 ϕ(x) = Z ρ(x0 ) dV 0 4πε0r I 对于实际情况，上式是不够的： • 导体（或介质）中的感应电荷（束缚电荷）并不是明确可知的； • 电势的微分形式有助于研究其性质； 3
静电势的微分方程和边值关系$1.5在均匀各向同性线性介质中：如此限制介质有无必要？V0=-PE0称之为泊松（Poisson）方程除了方程，还需要有边界条需要几个这来件？电场的边值关系n× (E2-E1) = 0n (D2 - Di) = 0f静电标势的边值关系。由边界层电场强度有限，可知国不同电势导体域们技献料P1 = 42由D2=E2E=—E2V0可知电场过值关系的法向分量n.D2 =-E2(n.Vp)apa-ofE2E1an"an需要指出：1=2即是对应着电场边值关系的切向分量：(1)1=2→n×(E2-E)=0(2)n×(E2-Ei)=0?→01= (2对于(1)式证明如下：【证明】在介质边界两侧选两组点：P与P2，P/与P满足PP=OR=P设P与P，P与P相距△IPP-P=PP,-P→E1-1=E2-由于△的任意性可知：Ei = E2导体的静电条件$1.6导体的性质源自于其内部有自由电子；在静电条件下分析电子的受力平衡可知如下性质：两个不是费中场下的与生其一热联至房（有安）率），其二光子。导体内部电场为零：。导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上：。导体表面上电场必沿法线方向；。导体表面为等势面整个导体的电势相等。导体表面的边界条件=consta-ofan已知泊松方程、边值关系和边界条件，我们就可唯一地确定电场。4
§ 1.5 静电势的微分方程和边值关系 I 在均匀各向同性线性介质中： 如此限制介质有无必要？ ∇2ϕ = − ρ ε0 称之为泊松（Poisson）方程 除了方程，还需要有边界条 件 I 电场的边值关系 需要几个边条件？ n × (E2 − E1) = 0 n · (D2 − D1) = σf I 静电标势的边值关系 • 由边界层电场强度有限，可知 两不同电势导体近似接触特 例 ϕ1 = ϕ2 • 由D2 = ε2E = −ε2∇ϕ可知 电场边值关系的法向分量 n · D2 = −ε2(n · ∇ϕ) ε2 ∂ϕ ∂n − ε1 ∂ϕ ∂n = −σf 需要指出：ϕ1 = ϕ2即是对应着电场边值关系的切向分量： ϕ1 = ϕ2 ⇒ n × (E2 − E1) = 0 (1) n × (E2 − E1) = 0 ? ⇒ ϕ1 = ϕ2 (2) 对于(1)式证明如下： 【证明】 在介质边界两侧选两组点：P1与P2，P 0 1与P 0 2满足 ϕP1 = ϕP2 , ϕ0 P1 = ϕ 0 P2 设P1与P 0 1，P2与P 0 2相距∆l ϕ 0 P1 − ϕP1 = ϕ 0 P2 − ϕP2 ⇒ E1 · ∆l = E2 · ∆l 由于∆l的任意性可知： E1 = E2 § 1.6 导体的静电条件 I 导体的性质源自于其内部有自由电子； I 在静电条件下分析电子的受力平衡可知如下性质： 两个不是静电场下的导体例 子：其一趋肤深度（有电导 率），其二γ光子 • 导体内部电场为零； • 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； • 导体表面上电场必沿法线方向； • 导体表面为等势面整个导体的电势相等。 I 导体表面的边界条件 ϕ = const ε ∂ϕ ∂n = −σf I 已知泊松方程、边值关系和边界条件，我们就可唯一地确定电场。 4
静电场的能量8 1.7各向同性线性介质中能量密度：(E·D+H.B)W:静电场的能量：W-E.Ddv2.将E=-V，V.D=p带入可得：E.D=-V·D=-V.(oD)+VD=-V: (D)+pp故此W=/ (-V (βD) + pp) dV21ppdy/. (oD)dv2J2.o1/ppv-ppD.ds2.21因为α，Dα而面积αr，故此当r→时有D·dS→0，也即：1W-ppdv(3)2.自能？互能？连续电荷分布激发的静电场总能量：p(a) dvip(a) =4TErdvip(α)p(a')(4)W=8元Er【讨论】公式3及4仅是在静电场下才成立；电磁场的能量是分布在场中的，pp决不是能量密度；用能量密度可以计算某区域内的电磁场能量，pp必须进行全空间的积分；事实上Pp只不过是对静止的带电体产生的能量进行积分的结果。5
§ 1.7 静电场的能量 I 各向同性线性介质中能量密度： ω = 1 2 (E · D + H · B) I 静电场的能量： W = 1 2 Z ∞ E · D dV 将E = −∇ϕ，∇ · D = ρ带入可得： E · D = −∇ϕ · D = −∇ · (ϕD) + ϕ∇ · D = −∇ · (ϕD) + ρϕ 故此 W = 1 2 Z ∞ (−∇ · (ϕD) + ρϕ) dV = 1 2 Z ∞ ρϕ dV − 1 2 Z ∞ ∇ · (ϕD) dV = 1 2 Z ∞ ρϕ dV − 1 2 I ϕD · dS 因为ϕ ∝ 1 r，D ∝ 1 r 2 而面积∝ r 2，故此当r → ∞时有H ϕD · dS → 0，也即： W = 1 2 Z ∞ ρϕ dV (3) 自能？互能？ I 连续电荷分布激发的静电场总能量： ϕ(x) = Z ρ(x0 ) dV 0 4πεr W = 1 8πε Z ∞ dV Z dV 0 ρ(x)ρ(x0 ) r (4) 【讨论】 I 公式3及4仅是在静电场下才成立； I 电磁场的能量是分布在场中的，1 2 ρϕ决不是能量密度； I 用能量密度可以计算某区域内的电磁场能量，1 2 ρϕ必须进行全空间的积分； I 事实上1 2 ρϕ只不过是对静止的带电体产生的能量进行积分的结果。 5