又因为r=a-a'与面元ds反向，且：d2=4元:dsr故A=-μoJ由此可得磁场旋度V×B=V(V.A)-V?A=μoJ【讨论】局域性：某点邻城上的磁感强度的旋度只和该点上的电流密度有关。空间中存在的磁感应强度（电场强度），尽管场强是服从叠加原理的，尽管可能都有不为零的磁场环量（电通量），但是磁场（电场）的旋度（散度）只存在于有电流分布（电荷存在）的地方，而在周围空间中的磁场是无旋（源）的。被笑酵象们了解问观修来上式仅在静磁场下才成立。82.8小结电荷守恒定律精确成立；稳恒电流激发恒定磁场，磁感应强度的大小和方向由毕奥一萨伐尔定律给出：恒定磁场旋度和该点处电流密度成正比：>磁场是无源的。【习题】Page46：4,5第三节麦克斯韦（Maxwell)方程组静电场和静磁场的方程组83.1V·E=PE0V×E=0V.B=0V×B=μJ【推广】变化的电、磁场可以互相激发：■变化磁场激发电场(法拉第电磁感应定律)：变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。11
又因为r = x − x0与面元dS0反向，且： I S r r 3 · dS = I dΩ = 4π 故 ∇2A = −µ0J I 由此可得磁场旋度 ∇ × B = ∇(∇ · A) − ∇2A = µ0J 【讨论】 I 局域性：某点邻城上的磁感强度的旋度只和该点上的电流密度有关。 I 空间中存在的磁感应强度（电场强度），尽管场强是服从叠加原理的，尽管可能都有 不为零的磁场环量（电通量），但是磁场（电场）的旋度（散度）只存在于有电流分 布（电荷存在）的地方，而在周围空间中的磁场是无旋（源）的。 该性质对我们了解问题带来 很大的帮助。 I 上式仅在静磁场下才成立。 § 2.8 小结 I 电荷守恒定律精确成立； I 稳恒电流激发恒定磁场，磁感应强度的大小和方向由毕奥|萨伐尔定律给出； I 恒定磁场旋度和该点处电流密度成正比； I 磁场是无源的。 【习题】 Page 46：4,5 第三节 麦克斯韦(Maxwell)方程组 § 3.1 静电场和静磁场的方程组 ∇ · E = ρ ε0 ∇ × E = 0 ∇ · B = 0 ∇ × B = µ0J 【推广】 变化的电、磁场可以互相激发： I 变化磁场激发电场(法拉第电磁感应定律)； I 变化电场激发磁场(麦克斯韦位移电流假设)。 11
法拉第电磁感应定律8 3.2瑞现度。一般情况下的也闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向选取：阻是实验定律碍磁通量变化。dB.ds8-dt.SadΦE.dl-8=B.dSB.ds-dtJOtJLSs￥-+0.aB详细可见《经典电动力V×E=李》F233at【讨论】变化的磁场产生有旋的电场，这是和闭合回路的选取没有关系：P开在积分等外，合2，，：最在积分号内，含，，二运算过程中是变到%需要回路L固定不变。7最包括两部分：微积面致高受化以及积分区城的党位移电流83.3一般情况下的磁场就度已知静磁场下誉老恶出来的、热后诉从实V×B=μoJap0=V.(VxB)=μoV.J==?-poat方程右端仅在稳恒状态下才等于零。免萄案辣爵变精壳禁酵使不松手也会“流动从两方面入手进行推广维线电话：学中：一#数饮大微说：·当最→0时，方程右端应该回到稳态情况。故可以猜测形式如下：afV×B=μoJ+Ot。用电荷守恒定律确定f的形式af0=V- (V×B)=V. (μoJ +Ota%(uo -.f)-a(0 .E-V.f)=aEf=HOEOEJD=e0ot.并非严格推出V× B = μo(J+ Jp)12
§ 3.2 法拉第电磁感应定律 1831年，一般情况下的电 场旋度 是实验定律 闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向选取：阻 碍磁通量变化。 E = − d dt Z S B · dS I L E · dl = E = − d dt Z S B · dS = − Z S ∂ ∂t B · dS d dt = ∂ ∂t + v · ∇ 详 细 可 见 《 经 典 电 动 力 ∇ × E = − 学》P233 ∂B ∂t 【讨论】 I 变化的磁场产生有旋的电场，这是和闭合回路的选取没有关系； d dt 在 积 分 号 外 ， 不 含x, y, z； ∂ ∂t 在 积 分 号 I 运算过程中 d 内，含x, y, z； dt变到 ∂ ∂t需要回路L固定不变。 d dt 包括两部分：被积函数 的变化以及积分区域的变 化； § 3.3 位移电流 一般情况下的磁场旋度 是先写出来的，然后再从实 验检验 I 已知静磁场下 ∇ × B = µ0J 0 = ∇ · (∇ × B) = µ0∇ · J = −µ0 ∂ρ ∂t =? 方程右端仅在稳恒状态下才等于零。 位移电流：介质中：手持鲜 花的集体操，时变情况下即 使不松手也会“流动” 位移电流：真空中：一样 有ρp = ∇ · P = 0， 故以太假说； I 从两方面入手进行推广 • 当 ∂ ∂t → 0时，方程右端应该回到稳态情况。故可以猜测形式如下： ∇ × B = µ0J + ∂f ∂t • 用电荷守恒定律确定f的形式 0 = ∇ · (∇ × B) = ∇ · (µ0J + ∂f ∂t ) = − ∂ ∂t (µ0 ρ − ∇ · f) = − ∂ ∂t (µ0ε0 ∇ · E − ∇ · f) f = µ0ε0E , JD = ε0 ∂E ∂t 并非严格推出 ∇ × B = µ0(J + JD) 12
83.4真空中Maxwell方程组1864每，20个标量方程：1900年G1bb5发表先量文V.E=P享，才是这个那式E0都设烫毛出游出院aBVxE=atV.B=0OEV×B= MoJ + H0c0 0t【讨论】一般情况下，不再有单独的电场，也不再有单独的磁场，总称为电磁场；-Pp、J为源项，可以激发电磁场；即使源项p、J为零，电磁场通过互相激发仍能存在；。首先在理论上预言了电磁波；。电磁场可以独立于电荷之外。麦克斯韦方程组的自由度8.3.5六个未知数，八个方程？从空间角度来看，两种不同的看法：?·麦克斯韦方程组中包含了电荷守恒定律●方程√.B=0也可被导出√具有失量特性，点乘描述一个方向，叉乘描述两个方向从时间角度而言，其中两个方程为边条件?8.3.6洛仑兹（Lorentz）力电荷、电流产生场，场对电荷体系有作用由库仑定律和安培定律可知：静止电荷分布与恒定电流元所受力为：每定律进化、板者与物质结构的带汽模型报导出来f=pE+J×B约电场的概念：事实上求的是平均效改洛仑兹力：普遍情况下带电粒子的受力情况现结特的原园：可能完全持用）f=eE+euxB话【讨论】洛伦兹力是在电子发现之前就写出来的：实践证实了洛伦慈公式对任意运动速度的带电粒子都是适用的：麦克斯韦方程组与洛仑兹力构成了电动力学的基本理论基础。13
§ 3.4 真空中Maxwell方程组 1864年，20个标量方程； 1900年Gibbs发 表 矢 量 文 章，才是这个形式 一般情况下电荷电流激发电 磁场以及电磁场内部运动规 律 ∇ · E = ρ ε0 ∇ × E = − ∂B ∂t ∇ · B = 0 ∇ × B = µ0J + µ0ε0 ∂E ∂t 【讨论】 I 一般情况下，不再有单独的电场，也不再有单独的磁场，总称为电磁场； I ρ、J为源项，可以激发电磁场； I 即使源项ρ、J为零，电磁场通过互相激发仍能存在； • 首先在理论上预言了电磁波； • 电磁场可以独立于电荷之外。 § 3.5 麦克斯韦方程组的自由度 I 六个未知数，八个方程？ I 从空间角度来看，两种不同的看法： • 麦克斯韦方程组中包含了电荷守恒定律 • 方程∇ · B = 0也可被导出 I ∇具有矢量特性，点乘描述一个方向，叉乘描述两个方向 I 从时间角度而言，其中两个方程为边条件 § 3.6 洛仑兹(Lorentz)力 电荷、电流产生场，场对电 荷体系有作用 欧姆定律或磁化、极化规律 可结合前者与物质结构的微 观模型推导出来。 平均电场的概念：事实上物 质由原子核和电子构成，宏 观模型求的是平均效应 不考虑微观结构的原因：其 一是不可能（数量巨大，且 不可能完全精确）其二是不 必要（宏观观测场与场的详 细性质无关） I 由库仑定律和安培定律可知：静止电荷分布与恒定电流元所受力为： f = ρE + J × B I 洛仑兹力：普遍情况下带电粒子的受力情况 f = eE + ev × B 【讨论】 I 洛伦兹力是在电子发现之前就写出来的； I 实践证实了洛伦兹公式对任意运动速度的带电粒子都是适用的； I 麦克斯韦方程组与洛仑兹力构成了电动力学的基本理论基础。 13
小结8 3.7静电场和静磁场的方程组：法拉第电磁感应定律：麦克斯韦位移电流假设；真空中Maxwell方程组；洛仑兹力公式：【习题】Page46:6,10第四节介质的电磁性质介质的极化8.4.1微观上：分子的电偶极矩/子电送板柜平均有一安取p=ql■宏观上：电极化强度矢量EpiP==npAV√束缚电荷密度dp.dsPpdV=-SPP=-V.P束缚电荷面密度?不均匀性通常的情况表现在两种介质的交界面上apdS=△Q=-(P -P)·dSOp=-n·(P2-P)【讨论】面电荷密度指在n方向上的体密度有跃变（与不均匀性密切相关）?面电荷密度仅是一种理想的简化模式14
§ 3.7 小结 I 静电场和静磁场的方程组； I 法拉第电磁感应定律； I 麦克斯韦位移电流假设； I 真空中Maxwell方程组； I 洛仑兹力公式； 【习题】 Page 46：6,10 第四节 介质的电磁性质 § 4.1 介质的极化 在外场作用下，或者分子 正负电中心被拉开，或者分 子电偶极矩平均有一定取向 性，形成宏观电偶极矩分布 I 微观上：分子的电偶极矩 p = ql I 宏观上：电极化强度矢量 P = Σ pi ∆V = n p I 束缚电荷密度 Z Z Z V ρP dV = − I S P · dS ρP = −∇ · P I 束缚电荷面密度 不均匀性通常的情况表现在两种介质的交界面上 σP dS = ∆Q = −(P2 − P1) · dS σP = −n · (P2 − P1) 【讨论】 I 面电荷密度指在n方向上的体密度有跃变（与不均匀性密切相关） I 面电荷密度仅是一种理想的简化模式 14
84.2极化电场童美家的责帮老奇想提卷的品pfpp产生电场V.Ef =V.E'=E=Ef+E'E0EO1V.E=PP=-V.P-(pf +pp)-E01V.E=(Pf-.P)V.(eoE+P)=Pf(Pf+pP)=E0EO引入电位移失量D=E0E+PV.D=Pf对于各向同性、线性介质极化强度P与E之间是简单的线性关系：P=XeeoE其中xe称为介质的极化率。故此D可线性地表示为：量纲是多少？D=eE寻体的=是多少！E=ETEOer=1+Xe1其中e称为介质的电容率，E为相对电容率。84.3介质的磁化控#的品5：免五安装微观上：分子的磁偶极矩（分子电流）磁化电洗密度m=ia■宏观上：磁化强度EmiM :=nm△V磁化电流密度JM·dS =IM=b nia dl =bnm.dl:M.dlJM=Vx M当电场变化时，有极化电流：apEeiaiLeiviP=Jp=AVAVat15
§ 4.2 极化电场 真空中的麦克斯韦方程组是 普适的：只要有电荷，就会 产生电场 ∇ · Ef = ρf ε0 , ∇ · E0 = ρP ε0 , E = Ef + E0 ∇ · E = 1 ε0 (ρf + ρP ) , ρP = −∇ · P ∇ · E = 1 ε0 (ρf + ρP ) = 1 ε0 (ρf − ∇ · P ) , ∇ · (ε0E + P ) = ρf I 引入电位移矢量 D = ε0E + P ∇ · D = ρf I 对于各向同性、线性介质极化强度P 与E之间是简单的线性关系： P = χeε0E 其中χe称为介质的极化率。 I 故此D可线性地表示为： 量纲是多少？ D = εE 导体的ε是多少？ ε = εrε0 , εr = 1 + χe 其中ε称为介质的电容率，εr为相对电容率。 § 4.3 介质的磁化 在外磁场作用下，分子电流 出现有规则取向，形成宏观 I 微观上：分子的磁偶极矩（分子电流） 磁化电流密度 m = ia I 宏观上：磁化强度 M = Σmi ∆V = nm I 磁化电流密度 Z Z S JM · dS = IM = I L nia · dl = I L nm · dl = I L M · dl JM = ∇ × M I 当电场变化时，有极化电流： P = Σeixi ∆V , JP = Σeivi ∆V = ∂P ∂t 15