故此PV.E=EO静电场无旋性的直接证明$1.8【已知】p(a')rdy'E(a)r34元E0X【求证】VxE=0【证明】p(a')(V×3dyVxE-4元E01p(a)v)xr+(V×r)]dv4元E013rp(a)[-+0a4元E0=0中间也可利用= 0Vx-VXVs小结$1.9连续电荷分布产生的静电场为：p(a')1rdvE(α) =r34元E0电场强度满足叠加性原理：信电场是有源场：V.E=品；静电场是无旋的：√×E=0；【习题】Page45:1,2,3第二节毕奥一萨伐尔定律与静磁场桃位电无羽笑：跑得端镜笔电流密度82.1流分布？电流密度的定义实健春康装验个社6
故此 ∇ · E = ρ ε0 § 1.8 静电场无旋性的直接证明 【已知】 E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 【求证】 ∇ × E = 0 【证明】 ∇ × E = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )(∇ × r r 3 )dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )[∇( 1 r 3 ) × r + 1 r 3 (∇ × r)]dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )[− 3r r 5 × r + 1 r 3 × 0]dV 0 = 0 中间也可利用 ∇ × r r 3 = −∇ × (∇ 1 r ) = 0 § 1.9 小结 I 连续电荷分布产生的静电场为： E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 I 电场强度满足叠加性原理； I 电场是有源场：∇ · E = ρ ε0 ； I 静电场是无旋的：∇ × E = 0； 【习题】 Page 45：1,2,3 第二节 毕奥{萨伐尔定律与静磁场 磁、电不可分。稳恒磁场与 稳恒电流相关。如何描述电 § 2.1 电流密度 流分布？ I 电流密度的定义 举例：直流电流均匀分布； 交流则有趋肤效应，I太粗 糙 6
dIdQJ=erel:ds cosadtdScos电流的分布（空网、时间）J.ds电流密度的微观解释J=pu=nqy多种成分的电流密度J=>Pivi=niqivi12电荷守恒定律82.2系统总电荷保持不变：。电荷是物质的基本属性之一什么是基本属性？有本在除范声量件也费。电荷守恒定律是一条精确、基本的实验定律：无论在化学反应还是原子核反应过程中，电荷守恒定律普遍成立；电荷守恒定律的描述方法：T。电流的连续性方程积分形式产生皮消天电话）：教此洗p入流出的量应该等于变化室dvJds洗续修方程违用振广：电Ots。电流的连续性方程微分形式OpbJ.ds=V.JdV:dvOtdp+V.J=0ot【讨论】全空间总电荷守恒从供微分到全微分的区到pdV=0dt稳恒电流下的情况动平衡，随时间的偏微分为ap=0→V.J=0稳保电流是无课的、也印ot是间合的7
J = dQ dt dS cos θ · eI = dI dS cos θ · eI 电流的分布（空间、时间） I = Z S J · dS I 电流密度的微观解释 J = ρv = nqv I 多种成分的电流密度 J = X i ρivi = X i niqivi § 2.2 电荷守恒定律 I 系统总电荷保持不变； • 电荷是物质的基本属性之一； 什么是基本属性？有基本作 用才成为基本属性，适当时 才能体现。质量、电荷、自 I 电荷守恒定律是一条精确、基本的实验定律； 旋 I 无论在化学反应还是原子核反应过程中，电荷守恒定律普遍成立； I 电荷守恒定律的描述方法： • 电流的连续性方程积分形式 任一闭合曲面，可以流进流 出，但由于没有源项（不能 产生或消灭电荷），故此流 入流出的量应该等于变化率 连续性方程适用很广：电 流、粒子流、能流 I S J · dS = − Z Z Z V ∂ρ ∂t dV • 电流的连续性方程微分形式 I S J · dS = Z Z Z V ∇ · J dV = − Z Z Z V ∂ρ ∂t dV ∂ρ ∂t + ∇ · J = 0 【讨论】 I 全空间总电荷守恒 从偏微分到全微分的区别 d dt Z Z Z ∞ ρ dV = 0 I 稳恒电流下的情况 动平衡，随时间的偏微分为 零 稳 恒 电 流 是无 源的 、 也 即 是闭合的 ∂ρ ∂t = 0 ⇒ ∇ · J = 0 7
毕奥—萨伐尔(Biot—Savart)定律82.3电流之间的作用力一一电流激发磁场一一磁场的特征性质一磁感应强度实验定律dF=Idl × B恒定的体电流激发的磁感应强度大小和2成及比J(a)xrpio-dvB(α) =r34元其中μo为真空磁导率线电流激发的磁感应强度要求性致的情况，贴适场的#务场康汉#皮示驾1Jdv'= J (ds.dl) = (J dSn)dl = Idl5场网关系：微分形式/Idl ×rμoB(a) = r34元／82.4磁场的环量和旋度安培（Ampere）环路定律。载流导线产生的磁场，沿任意闭合曲线的环量与通过该闭合曲线所围曲面的电流成正比忘样的抽面？B.dl = μoI。不通过闭合曲线所围曲面的电流对环量没有贡献。写英您选赶助的带除其绝地方流过的电流连续电流分布的环量定律生彩响B-dl =J.ds磁场的旋度从吾路的住意遗取，以及Stokes定理，可得出×B=μoJ82.5磁场的散度磁力线是闭合曲线，磁感应强度是无源场磁场无源性的积分形式：B.dS=0S上式对任意闭合曲面都成立。磁场无源性的微分形式：V.B=0【讨论】磁场的无源性是普适的2原因就是磁单极子■寻找磁单极子：素存颜变方智购对舞瑞祛8
§ 2.3 毕奥|萨伐尔(Biot|Savart)定律 I 电流之间的作用力|电流激发磁场|磁场的特征性质|磁感应强度 实验定律 dF = Idl × B I 恒定的体电流激发的磁感应强度 大小和r 2成反比 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) × r r 3 dV 0 其中µ0为真空磁导率 I 线电流激发的磁感应强度 这是磁场分布的积分形式； 要求细致的情况，贴近场的 特点，需要了解电流元与邻 近磁场关系、邻近磁场与磁 场间关系：微分形式 JdV 0 = J (dS · dl) = (J dSn) dl = I dl B(x) = µ0 4π Z Idl × r r 3 § 2.4 磁场的环量和旋度 I 安培(Ampere)环路定律 • 载流导线产生的磁场，沿任意闭合曲线的环量与通过该闭合曲线所围曲面的电流 成正比 I 怎样的曲面？ L B · dl = µ0 I • 不通过闭合曲线所围曲面的电流对环量没有贡献。 安培定律可以用来导出电流 与其邻近磁场的环量关系， 排除其他地方流过的电流产 I 连续电流分布的环量定律 生影响。 I L B · dl = µ0 Z Z S J · dS I 磁场的旋度 从 回 路 的 任 意 选 取 ， 以 及Stokes定理，可得出 ∇ × B = µ0J § 2.5 磁场的散度 I 磁力线是闭合曲线，磁感应强度是无源场 I 磁场无源性的积分形式： I S B · dS = 0 上式对任意闭合曲面都成立。 I 磁场无源性的微分形式： ∇ · B = 0 【讨论】 I 磁场的无源性是普适的 原因就是磁单极子 I 寻找磁单极子： 麦克斯韦方程的对偶性、无 源时成立，有源时对偶性破 坏 8
磁场散度的证明82.6【已知】J(') ×rdv'B(α) =r34元【求证】V.B=0【证明】B(α) = 10[/ J(a) ×dvAT--, (a) ×()a-尝JJ(aav=J [(a)av[[[ (a av')= V×[04元1=VXA其中J(a)av'理oA=4元／r所以：V.B=V.(VxA)=082.7磁场旋度的证明【已知】学羊的生rHo丁积分号外A=dvB=V×A4元【求证】×B=μoJ【证明】由于V×B=V×(V×A)=V(V.A)-?A先求解√·A(advoV.V.A=4元/O/ J(a').v- dvi4元，由于r=[-r=V(-r)2 +(-y)2 +(z-2)29
§ 2.6 磁场散度的证明 【已知】 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) × r r 3 dV 0 【求证】 ∇ · B = 0 【证明】 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) × r r 3 dV 0 = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) × ∇( 1 r )dV 0 = µ0 4π Z Z Z ∇( 1 r ) × J(x 0 ) dV 0 = µ0 4π Z Z Z ∇ × [J(x 0 ) 1 r ]dV 0 = ∇ × [ µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 ] = ∇ × A 其中 A = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 所以： ∇ · B = ∇ · (∇ × A) = 0 § 2.7 磁场旋度的证明 【已知】 用A的好处是：比起biot定 律，积分号中的叉乘移动到 B 了积分号外。 = ∇ × A , A = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 【求证】 ∇ × B = µ0J 【证明】 由于 ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A I 先求解∇ · A ∇ · A = µ0 4π Z Z Z ∇ · [ J(x0 ) r ]dV 0 = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) · ∇ 1 r dV 0 由于 r = |x − x 0 | = q (x − x0) 2 + (y − y 0) 2 + (z − z 0) 2 9
因此对r的函数而言，对的微分与对的微分仅差一个负号，故而HO[ J(a') .vil dviV.A=-4元/JHo/{V"-[J(α')-] -=v".J())dv4元／v.J(a)-o J(aas+dv-：4元，4元JTs。由于积分区域V包含了整个电流区域，故以V为边界的闭合曲面S上，J（a）点点为零，故此上式中的第一项为零：。又因电流稳恒，故由电荷连续性方程可知：ap(a')V".J(a')=-2元0t故此上式中的第二项为零综上所述V.A=0■再来看√?A[ J(a') av']?A=4元reaavμo4元/／>Ho[[/ J(a) >?| dv"4元／-HO/J(a)v.dv4元／我们知道：当r0时有其实2是-4折5面数--()++(V-)=-(-(er )+=0故上述体积分只需对r=-<《1的小球进行，此时J(a)~J(a)由此可得：2A= -O J(n)dv14元r3TSEμo J(α)V'.ade4元TSE4μoJ(a) ddsr34元T=E10
因此对r的函数而言，对x的微分与对x0的微分仅差一个负号，故而 ∇ · A = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) · ∇0 1 r dV 0 = − µ0 4π Z Z Z {∇0 · [J(x 0 ) 1 r ] − 1 r ∇0 · J(x 0 )} dV 0 = − µ0 4π I S J(x 0 ) 1 r dS 0 + µ0 4π Z Z Z V ∇0 · J(x0 ) r dV 0 I • 由于积分区域V 包含了整个电流区域，故以V 为边界的闭合曲面S上，J(x0 )点点 为零，故此上式中的第一项为零； • 又因电流稳恒，故由电荷连续性方程可知： ∇0 · J(x 0 ) = − ∂ρ(x0 ) ∂t = 0 故此上式中的第二项为零； 综上所述 ∇ · A = 0 I 再来看∇2A ∇2A = ∇2 [ µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 ] = µ0 4π Z Z Z ∇2 J(x0 ) r dV 0 = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) ∇2 1 r dV 0 = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) ∇ · r r 3 dV 0 我们知道：当r 6= 0时有 其实∇2 1 r 是 −4πδ 函数 ∇ · r r 3 = ∇( 1 r 3 ) · r + 1 r 3 (∇ · r) = − 3 r 4 (er · r) + 3 r 3 = 0 故上述体积分只需对r = |x − x0 | ≤ ε ¿ 1的小球进行，此时 J(x 0 ) ≈ J(x) 由此可得： ∇2A = − µ0 4π J(x) Z Z Z r≤ε ∇ · r r 3 dV 0 = µ0 4π J(x) Z Z Z r≤ε ∇0 · r r 3 dV 0 = µ0 4π J(x) I r=ε r r 3 · dS0 10