西安交通大学：《信号与系统 Signals and Systems》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 拉普拉斯变换

卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 定义: X(s)= x(te sdt 称为x()的双边拉氏变换。其中S=+2 若a=0,S 入2则 X(jg2)=|x()epdt就是x()的傅里叶变换。 表明:连续时间傅里叶变换是拉氏变换在O=0, 或是在j2轴上的特例 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授

第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 一. 定义： ( ) ( ) st X s x t e dt      称为 x(t)的双边拉氏变换 。其中 s j 若  0 ，s  j则: ( ) ( ) j t X j x t e dt        就是x(t)的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 , 或是在 轴上的特例。 0 j

卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 由于 X(S)= ot-j9t小t三 x(te e Lx(te le Qt dt -FLx(te 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广,x(t)的拉 氏变换就是x(t)e的傅里叶变换。只要有合适的 存在,就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号, 在引入后騰足该条件。即有些信号的傅氏变换不 收敛而它的拉氏变换存在。因此,拉氏变换比傅里叶 变换有更广泛的适用性。 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授

第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 ( ) ( ) [ ( ) ] t j t t j t X s x t e e dt x t e e dt                 [ ( ) ] t x t e   F[ 由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉 氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号， 在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不 收敛而它的拉氏变换存在。因此，拉氏变换比傅里叶 变换有更广泛的适用性。 x(t) t e  ( ) t x t e  

卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 如果X(s)在s=j收敛,则有: X(2) x(te X(s)s2=X(2) 表明傅立叶变换就是拉氏变换在j2轴上的表现。 由傅立叶反变换有: x(t)e X(O+jQ2)e jEt 2丌 x(t X(o+jQ2eedQ2 2丌 X(sedQ2 2兀 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授

第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 如果 X (s) 在 s  j 收敛，则有： ( ) ( ) j t X j x t e dt        ( ) ( ) X s j s X j      表明傅立叶变换就是拉氏变换在 j 轴上的表现。 由傅立叶反变换有： 1 ( ) ( ) 2 t j t x t e X j e d             1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 t j t st x t X j e e d X s e d                 

卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 由=a+j2得ds=jd2 当g从-0→>+0时,S从a-j→>G+j O+10 xt X(se ds 2兀J 拉氏反变换 拉氏变换的物理含义: x(t)可以被分解成复振幅为 X(sds 2丌j 的复指数信号e”的线性组合 + X(s)=x(t)estdtx(t)= se as 2丌j 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:阎鸿森教授王霞副教授

第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 由s   j得 ds  jd  当  从    时, s从   j   j 1 ( ) ( ) 2 j st j x t X s e ds j           拉氏反变换 拉氏变换的物理含义： 可以被分解成复振幅为 的复指数信号 的线性组合。 x(t) 1 ( ) 2 X s ds  j st e    X s  x t e dt st ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 j st j x t X s e ds j         

卖交太学 络教育资源建设工程 信号与系统 62拉氏变换的收敛域( Region of Convergence 收敛域Roc: 使X(s)存在的s的取值范围称为X(s)的收敛域。 由于X(s)=F[x(t)e],ROC与σ有关,它就是 使x()e绝对可积的那些O的取值范围。这表明 Roc由Re[S]决定。 例1.x(t)=etu(t X(s)=Lees dt=le S+1)t Id t 0> s+1 第六章:拉普拉斯变换 主讲教师:消霖搜葭朝教奖

第六章：拉普拉斯变换 主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授 6.2 拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ): 一．收敛域ROC： 使X (s)存在的 s 的取值范围称为X (s)的收敛域。 由于 ( ) [ ( ) ], t X s F x t e    ROC与  有关，它就是 t x t e  使 ( ) 绝对可积的那些 的取值范围。这表明 ROC由Re[s]决定。  例1．x(t) e u(t) t  ( 1) 0 0 ( ) 1 1 t st s t X s e e dt e dt s             (  1) j