81 Euler公式 做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。 b △;∴:x 称为局部截断误差 显然,这个误差在逐 1、向前差商公式 步计算过程中会传播, 积累。因此还要估计 y(n+)-yn=y(n)+oy"(5n) h 这种积累 h y(n+d-y(n) n=f(x,y(x))+y(sn) y(x)=(*)+h(x,,y(*, )+y(5m 所以,可以构造差分方程 Mn+1=yn+ hf(xn, ymn)
8.1 Euler公式 做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。 i m b a x I i − : = 1、向前差商公式 ''( ) 2 '( ) ( ) ( ) 1 n n n n y h y x h y x y x = + + − ''( ) 2 ( , ( )) ( ) ( ) 1 n n n n n y h f x y x h y x y x = + + − ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) 2 n 1 n n n n y h y x + = y x + hf x y x + 所以，可以构造差分方程 ( , ) n 1 n n n y = y + hf x y + 称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累
定义在假设y=y(x),即第i步计算是精确的前提下,考虑 的截断误差R1=y(x1)-y1称为局部截断误差/loca truncation error*。 定义若某算法的局部截断误差为O(+),则称该算法有p 阶精度。 2、收敛性 考察局部误差的传播和积累 y(xn+)=y(xn)+hf(xn,y(xn)+y"(2n) ym1=yn+hf(n,yn) 记为h +1
定义 在假设 yi = y(xi )，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 的截断误差 Ri = y(xi+1 ) − yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义 若某算法的局部截断误差为O(h p+1 )，则称该算法有p 阶精度。 记为 2、收敛性 ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) 2 n 1 n n n n y h y x + = y x + hf x y x + ( , ) n 1 n n n y = y + hf x y + hTn+1 考察局部误差的传播和积累
en+=v(xn+1)=,u ly(n)-ynl+hf(rn,y(x, )-f(n,yn)+h n+1 en +hly(x,),+hTm+ ≤(1+M)en+hT,T=max (1+hL)(+hL)lem-+hr)+hT =(+hD)an+(+bD)+1)7 ≤(1+hL)3(1+hL)en2+h7)+(1+hL)+1)h7 +hD)n2+(1+1)2+(+h)+)k7
1 1 1 ( ) n+ = n+ − n+ e y x y 1 ( ) ( , ( )) ( , ) n − n + n n − n n + hTn+ y x y h f x y x f x y 1 ( ) n + n − n + hTn+ e hL y x y j j (1+ hL) en + hT , T = max T (1+ hL)((1+ hL) en−1 + hT)+ hT (1 hL) en 1 ((1 hL) 1)hT 2 = + − + + + (1 hL) ((1 hL) en 2 hT) ((1 hL) 1)hT 2 + + − + + + + (1 hL) en ((1 hL) (1 hL) 1)hT 2 2 3 = + − + + + + +
≤(1+My|2+(1+)y+…+(1+hD)+1 (1+hL)"*leo+ 1-(1+M) hT 1-(1+h) ≤(1+M)y|o+ (1+hL) hT hL (+ 0 (1+x)<e n+1hL I T e T=O(h) L 是1阶方法 称为整体截断误差 en=O(h)
hL e ( hL hL )hT n n (1 ) 0 (1 ) (1 ) 1 1 + + + + + + + + hT hL hL hL e n n 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 0 1 − + − + = + + + + hT hL hL hL e n n 1 0 1 (1 ) (1 ) + + + + + + + + L T hL e n 0 1 (1 ) + L T e (n 1)hL ( ) en+1 = O h ( ) (1 ) 0 0 T O h x e e n nx = + = 称为整体截断误差 是1阶方法
3、稳定性一误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况,即仅初值有误差,而其他计算步骤无误差。 设{=}是初值有误差后的计算值,则 yn=y,+hf(n,yn) n+1 二n+hf(xn2=n) 所以,我们有: en+=ym+ sle +hf(x,,ym,)-f(n,2n) <len +hLym -=n=len (+hL) ≤…≤lo(+bL)s lele(nth)hl 可以看出,向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小,以后各步的误差 也充分小
3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用 我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。 设 { }i z 是初值有误差后的计算值，则 ( , ) ( , ) 1 1 n n n n n n n n z z hf x z y y hf x y = + = + + + 所以，我们有： ( , ) ( , ) n 1 n 1 n 1 n n n n n e y − z e + h f x y − f x z + + + e hL y z e (1 hL) n + n − n = n + n n hL e hL e e ( 1) 0 1 0 (1 ) + + + 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差 也充分小