性质7积分中值定理 定理:设函数f(x)在闭区间[a,bl上连续, 则在a,b上至少存在一点与使 f(rdx=f(5(b-a 或可写作 f(x)dx =f(s) (b-a) f(5)称为函数∫(x)在[a,b]上的平均值 (6 n)。f(x)t
性质7 积分中值定理 定理：设函数 f (x)在闭区间[ a , b ]上连续， 则在[ a , b ]上至少存在一点 使 或可写作 f (x)dx f ( )(b a) b a ( ) ( ) ( ) 1 f x dx f b a b a f ( ) 称为函数 f (x) 在 [ a , b ]上的平均值 b a f x dx b a y ( ) ( ) 1
中值定理的几何意义:曲边y=f(x)在[a,b]底上所围成 的曲边梯形面积,等于同一底边而高为f(2)的一个矩形面 积,如下图所示 y y=f(x f(5 b 从几何角度容易看出,数值=1∫fk表示连续曲 线y=f(x)在[,b上的平均高度,也就是函数f(x)在 ab上的平均值,这是有限个数的平均值概念的拓广
中值定理的几何意义：曲边y f (x)在a,b底上所围成 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 f ( )的一个矩形面 积，如下图所示. O a b x y f ( ) y f (x )
n SInx 例1试证:1≤ —2 SInx 证:设f(x) 则在(0,2)上,有 x xcosx-sin x cOsX =-2(x-tanx)<0 f()<f(x)<f(0+) <f(x)< 故 dx s f(x)dx≤a2ldx 0 sInx X 机动目录上页下页返回结束
. 2 d sin 1 2 0 x x x 证: 设 f (x) , sin x x 则在(0, ) 2 上 , 有 f (x) 2 cos sin x x x x (x tan x) 2 cos x x 0 ( ) ( ) (0 ) f f x f 2 即 2 f (x) 1, x(0, ) 2 故 dx f (x)dx 1dx 2 2 2 0 0 0 2 即 2 d sin 1 2 0 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均 速度 解:已知自由落体速度为 v=g 故所求平均速度 8 T-00 gt d g T T 机动目录上页下页返回结束
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度. 解: 已知自由落体速度为 v gt 故所求平均速度 v 2 2 1 1 g T T 2 gT T gt t 0 d 0 1 T 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o v g t v T t 2 2 1 S g T
内容小结 定积分的定义一乘积和式的极限 2.定积分的性质 3.积分中值定理 →>连续函数在区间上的平均值公式 机动目录上页下页返回结束
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质 3. 积分中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数在区间上的平均值公式