&,=(4,5,6,7)的秩：判断其线性相关性：求出它的一个极大线性无关组并将其余向量用 该极大线性无关组线性表示. 6、四元线性方程组AX=b的系数矩阵的秩(4)=3，己知a,心2,4，是它的3个解向量 2 1 9 其中 43+2a3 ,试求该方程组的全部解。 5 Γ8 -1 6 1-2100 7、已知矩阵B= 1-2010 1-23-20 的行向量都是齐次线性方程组 (5-6001 x1+x2+x+x4+x3=0 x,+2x+2x,+6x=0的解向量。(1)B的四个行向量是否构成该齐次线性方程 5x1+4x2+3x3+3x4-x=0 组的基础解系？(2)若不能，不用解方程组，求出它的一个基础解系， 8、设线性方程组 x1+k+k2x=k3 (k≠0)，已知B,马，是该方程组的两个解，其 x.-kx.+-x.=-k' -1 1B= 求该方程组的通解 1 -1 四、证明 1、设非齐次方程组Anx=b的系数矩阵Ann的秩为r,气，52，5n,是Ax=0的 个基础解系，n是Amx=b的一个解.证明Amx=b的任一解可表示为 x=(5+)+k2(5+)+.+kn-,(5+)+k-7,其中k+k3+.+k-1=1, 并且5+n,52+n,.,5n,+n,7线性无关 2、已知向量组《1)a,a,a,4,a45编量组I)a,a,4,%,a,B有相 同的肤，证明P可由a,凸，a,4,a线性表示。 3、若线性方程组
(4,5,6,7) 4 = 的秩；判断其线性相关性；求出它的一个极大线性无关组并将其余向量用 该极大线性无关组线性表示． 6、四元线性方程组 AX = b 的系数矩阵的秩 r(A) = 3 ，已知 1 2 3 , , 是它的 3 个解向量， 其中 − = 1 5 0 2 1 ， + = 6 8 9 1 2 23 。试求该方程组的全部解。 7 、 已 知 矩 阵 − − − − − = 5 6 0 0 1 1 2 3 2 0 1 2 0 1 0 1 2 1 0 0 B 的 行 向 量 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 + + + − = + + + = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x 的解向量。（1）B 的四个行向量是否构成该齐次线性方程 组的基础解系？（2）若不能，不用解方程组，求出它的一个基础解系。 8、设线性方程组 − + = − + + = 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 x kx k x k x kx k x k （ k 0 ），已知 1 2 , 是该方程组的两个解，其 中 − = 1 1 1 1 ， − = 1 1 1 2 。求该方程组的通解。 四、证明 1、设非齐次方程组 Amn x = b 的系数矩阵 Amn 的秩为 r ， n−r , , , 1 2 是 Amn x = 0 的一 个基础解系， 是 Amn x = b 的一个解 . 证 明 Amn x = b 的任一解可表示为 x = k1 ( 1 +) + k2 ( 2 +) ++ kn−r ( n−r +) + kn−r+1 ，其中 k1 + k2 ++ kn−r+1 =1, 并且 1 +, 2 +, , n−r +, 线性无关. 2、已知向量组（Ⅰ） 1 2 3 4 5 , , , , 与向量组（II） 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , 有相 同的秩。证明 可由 1 2 3 4 5 , , , , 线性表示。 3、若线性方程组
[aux +anx:+aux =b +: +a2 anx +asX3 =b 证明 anan a b /=0 4、已知向量组，4,4,04，%线性无关，月=G+a,民=a,+g, B=a+a,B=a+4。证明：若s为偶数，B,B,B线性相关：若5为奇 数，月A，B线性无关。 5、设A为n阶方阵，试证： (1)若Aa=0且Aa≠0，则广a,A-a,A-2a,Aa,a线性无关： (2)Am1X=0的解一定是AX=0的解： (3)rA)=(A). 第三章 矩阵 基本要求 1.熟练掌握矩阵加、减、乘和数乘的运算规则，了解其经济背景。熟练掌握矩阵的行列 式的有关性质。 2。了解矩阵分块的原则：掌握分块矩阵的运算法则。 3。理解可逆矩阵的概念及其性质：会用伴随阵求矩阵的逆。熟练掌握用初等行变换 的方法求矩阵的逆。 4.了解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。 同步练习 、填空题 1、A为3阶方阵，已知AA=3E,则4=一，=一，4= 3(A)=,240=,84-3A=
有解 + + = + + = + + = + + = 41 1 42 2 43 3 4 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 。 证明 0 41 42 43 4 31 32 33 3 21 22 23 2 11 12 13 1 = a a a b a a a b a a a b a a a b 4、已知向量组 1 2 3 4 5 , , , , 线性无关， 1 =1 +2 ， 2 = 2 +3 ，. ， s−1 =s−1 +s ， s−1 = s +1 。证明：若 s 为偶数， s , , , 1 2 线性相关；若 s 为奇 数， s , , , 1 2 线性无关。 5、设 A 为 n 阶方阵，试证： （1）若 0 1 = + k A 且 0 k A ，则 , , ,., , 1 2 A A A A k k− k− 线性无关； （2） 0 1 = + A X n 的解一定是 A X = 0 n 的解； （3） ( ) ( ) n 1 n r A = r A + 。 第三章 矩阵 基本要求 1.熟练掌握矩阵加、减、乘和数乘的运算规则，了解其经济背景。熟练掌握矩阵的行列 式的有关性质。 2. 了解矩阵分块的原则；掌握分块矩阵的运算法则。 3. 理解可逆矩阵的概念及其性质；会用伴随阵求矩阵的逆。熟练掌握用初等行变换 的方法求矩阵的逆。 4.了解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。 同步练习 一、填空题 1、A 为 3 阶方阵，已知 AA 3E * = ，则 A = ， = −1 A ， = * A = * 2 3(A ) ， 1 (2 ) − A = ， 1 * 8A − 3A − =
2已知A8月，且F=A,则户 e图侣》-+3.g0- 4、已知方阵A满足A=0,则(A+E)= -(A-E)= 5、己知方阵A,B满足P=AB2=B,则(A+B)2=A+B成立的充要条件 为 6、己知方阵A可逆，矩阵B的秩为2，则r(AB)」 入E湘人B为：方冻H-网d0C一合司，黄C Cl=_ 8设n(n≥3)阶矩阵A的伴随矩阵为A',常数k≠0，士1，则(k4) (⅓00】 9、设A、B为3阶方阵，且满足方程ABA=6A+BA,若A=0 ⅓0则 00 B-_ 10、设4阶方阵A的伴随矩阵为A°，若(A)=4,则r(A)尸 若r(A=3,则 (4= :若r(A)<3,则A) 二、选择 1、A是m×k阶阵，B是k×1阶阵，若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是() A、AB的第j行元素全等于零。 B、AB第j列元素全等于零。 C、BA第j行元素全等于零。 D、BA第j列元素全等于零。 2、若矩阵A的行列式等于零，则下列结论正确的是() A、A是非奇异阵。 B、A有逆矩阵。 C、A是零矩阵 D、对任意与A同阶的矩阵B,AB=0。 3、A、B、C均是n阶阵，下列命题正确的是() A、若A是非异阵，则AB=AC可推出BA=CA
2、已知 A= b a 0 1 ，且 A = A 2 ，则 a= ,b= 。 3、已知 A= − − 3 3 2 1 ， ( ) 5 3 2 f x = x − x + ，则 f (A) = 。 4、已知方阵 A 满足 0 2 A = ，则 1 ( ) − A + E = ， 1 ( ) − A − E = 。 5、已知方阵 A，B 满 足 A = A B = B 2 2 , ，则 A+ B = A+ B 2 ( ) 成立的充要条件 为 。 6、已知方阵 A 可逆，矩阵 B 的秩为 2，则 r(AB)= 。 7、已知 A、B 为 n 阶方阵， = = = 0 0 0, * B A A B d C ，则 = −1 C ， C = 。 8 设 n (n 3 )阶矩阵 A 的伴随矩阵为 * A ，常数 k 0,1 ，则 * (kA) = 。 9、设 A、B 为 3 阶方阵，且满足方程 A BA = A + BA − 6 1 ，若 A= 7 0 0 1 0 4 0 1 0 0 3 1 ，则 B= 。 10、设 4 阶方阵 A 的伴随矩阵为 * A ，若 r(A)=4,则 r( * A )= ;若 r(A)=3,则 r( * A )= ；若 r(A) 3,则 r( * A )= 。 二、选择 1、A 是 mk 阶阵，B 是 k t 阶阵，若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ） A、AB 的第 j 行元素全等于零。 B、AB 第 j 列元素全等于零。 C、BA 第 j 行元素全等于零。 D、BA 第 j 列元素全等于零。 2、若矩阵 A 的行列式等于零，则下列结论正确的是（ ） A、 2 A 是非奇异阵。 B、A 有逆矩阵。 C、A 是零矩阵 D、对任意与 A 同阶的矩阵 B， AB = 0。 3、A、B、C 均是 n 阶阵，下列命题正确的是（ ） A、若 A 是非异阵，则 AB=AC 可推出 BA=CA