二、相关系数 定义:设r(X)>0,r(Y)>0,称 Cov(,Y XY √ar(X)War(Y) 为随机变量X和Y相关系数 在不致引起混淆时,记Px为P. 回回
二、相关系数 为随机变量X和Y的相关系数. 定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0, ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y XY = 称 在不致引起混淆时，记 XY 为
关于p的符号 当pxy>0时,称X与Y为正相关 当pxy<0时,称X与Y为负相关 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里.即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势 回回
关于XY的符号: 当 XY > 0时,称X与Y为正相关. 当 XY < 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此, 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到 这里. 即 正相关表示两个随机变量有同时增加或同 时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋 势
相关系数的性质: 1|1由方差h(是正的故必有 证:由方差的 1yp2≥0,所以|≤1 对任意实 Os<Var(Y-bX)=b2Var(X)+ Var(n-2b Cov(X, Y) 令b=C0mX),则上式为 Var(X Cov(X,YI Var(Y-bX)=Var(r) Var(X Var(y)1 ICov(,YI I=Var(r)[-p4I Var(Xvar(r) 回回
相关系数的性质： 1. | | 1 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤Var(Y-bX)= b 2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ) ( ) ( , ) Var X Cov X Y 令 b = ，则上式为 Var(Y- bX)= ( ) [ ( , )] ( ) 2 Var X Cov X Y Var Y − ] ( ) ( ) [ ( , )] ( )[1 2 Var X Var Y Cov X Y =Var Y − ( )[1 ] 2 =Var Y − 由方差Var(Y)是正的,故必有 1- 2 ≥ 0,所以 | |≤1
2.X和Y独立时,P=0,但其逆不真 由于当X和独立时,Cop(X,Y)=0 故P COv(X, Y0 √ar(X)ar(Y 但由ρ=0并不一定能推出X和Y独立 请看下例 回回
2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y = = 0 但由 = 0 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例