3°平面曲线弧长 ()曲线:y=()a5X5b5-∫。+f( (2) y() α≤ts阝s 阝 a≤0≤βS 例求下类平面曲线的弧长 .曲线y=n(-x2)相应于0x5的一段 2.心形线r=a(+cos)的全长(a>0) 3.摆线 「x=1-cost 0≤t≤2π的一拱 y=t-sin t 解:1. 1+X1一X +In 3 sin e 2a- cos0+a cos0+a sim-0 d0
3 0 平面曲线弧长 (1) 曲线： y = f(x) a x b s 1 f (x)dx b a 2 = + (2) ( ) ( ) = = y y t x x t t s x (t) y (t)dt 2 2 = + (3) r = r() () () s r r d 2 2 = + 例 求下类平面曲线的弧长 1. 曲线 ( ) 2 y = ln 1− x 相应于 2 1 0 x 的一段 2. 心形线 r = a(1+ cos ) 的全长 (a 0) 3. 摆线 = − = − y t sin t x 1 cost 0 t 2 的一拱 解：1. 2 1 x 2x y − − = 2 2 2 1 x 1 x 1 y − + + = dx 1 x 1 x s 2 1 0 2 2 − + = dx 1 x 1 1 x 1 2 1 1 0 − + + = − + 2 1 0 1 x 1 x ln 2 1 − + = − + ln 3 2 1 = − + 2. r() = −a sin r () r () a 2a cos a cos a sin d 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + + 2 2a 1 cos 2a cos = + =
∫2w =2J。c03-c20 =8a 4.S=∫。√“(+y(x-∫。m)+(-)t ∫平m CoS 49向变力沿直线作功液体的水压力P137 空间解析几何 1°向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P154 2向量的数量积的向量积 a=axi +avj+a,k= ()向量积a5=256=b+j+b=,b,b =)同 a 性质:P155
= 2 0 d 2 S 2a cos = − 2 0 d 2 d cos 2 2a cos = − 2 0 2 2sin 2 2a 2sin = 8a 4. S x (t) y (t)dt (sin t) (1 cost) dt 2 0 2 2 2 0 2 2 = + = + − = 2 0 dt 2 t 2sin = 2 0 dt 2 t 2 sin 2 0 2 t 4 cos = − = 8 4 0 向变力沿直线作功,液体的水压力 P137 空间解析几何 1 0 向量及其线性运算 P149—P152 向量的坐标表达式及其运算 P153—P154 2 0 向量的数量积的向量积 a = a x i + a y j + azk = a x ,a y ,az (1)向量积 a b a b cos a,b b = bx i + by j + bzk = bx ,by ,bz = ( ) ( ) 2 z 2 y 2 a b x = a b = b a a = a + a + a 性质：P155 x x y y zbz a b = a b + a b + a
应用:(i)|ab|=arcs-ab )同 (iii) albea.b=0 例1、习题4,1选择题(1)(2)(3) 2填空题(3)(4)(5) 例2、设同=5问=2|a5-,则-3 解:2-32=(2a-5)(a-5)=42-2a:6+92=76 (2)向量积 =ax b即axba,axb⊥b, 右手定则 即×b),a=0, b=0 性质P155注意a×b=-b×a b
应用：（i） a b a b a b arccos − = （ii） 2 a a a a = = （iii） a⊥b a b = 0 例 1、习题 4，1 选择题（1）（2）（3） 2 填空题（3）（4）（5） 例 2、设 , 则 2a 3b 2 19 3 π a 5, b 2, a b = − = = = 解： 2a 3b (2a 3b) (2a 3b) 4 a 2a b 9b 76 2 2 2 − = − − = − + = ∴ 2a − 3b = 2 19 (2)向量积 a b c = ( ) c = a b = a b sin a, b c a, c b a b a, a b b, ⊥ ⊥ 即 ⊥ ⊥ 右手定则 即 (a b) a = 0, (a b) b = 0 性质 P155 注意 a b b a = − x y z x y z b b b a a a i j k a b =
应用(i)SABC= ABaC (ii)a/b←axb=0 (ii)如ac,bLc,则 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量 例3、习题4,5,2(4) 例4、设知量ab满足ab=3,axb={-1},则 6 3°平面及其方程 已知平面π过点M(x、yo、z0),n={ABC}为兀的法矢量 1>点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z0)=0 2〉一般式:Ax+By+Cz+D=0,A、B、C不全为零。 3〉截距式:X+}+C=1,a,b,分别为平面在x轴、y轴、z轴 上的截距。 π1⊥π2+五1⊥n2 点M6(x、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 Xo Byo t czo t A2+B2+C2
应用（i） AB AC 2 1 SΔABC = （ii） a//b a b = 0 （iii）如 a c, b c, 则 c//(a b) ⊥ ⊥ 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 例 3、习题 4，5，2(4) 例 4、设知量 a,b 满足 a b = 3, a b = 1,−1,1 ，则 6 π a,b = 解： 3 3 a b a b tan a, b = = ∴ ( ) 6 π a, b = 3 0 平面及其方程 已知平面过点 M0（x0、y0、z0）， n = A, B, C 为的法矢量。 1> 点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全为零。 3> 截距式： 1 z c b y a x + + = ，a，b，分别为平面在 x 轴、y 轴、z 轴 上的截距。 π1 ⊥ π 2 1 n ⊥ 2 n π1 ∥ π 2 1 n ∥ 2 n 点 M0(x0、y0、z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D d + + + + + =
例1、习题4.13 求通过点P(2,-1,-1),Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的 平面方程。 解:QP={-3-4,已知平面的法矢量1={3-} QPxn=1-3-4=27-5+9 取n={9-13 所求面为:9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即:9x-y+3z-16=0 例2、习题4、11 解:(1)解法一:设平面方程:x+By+D=0 将点M(2,-1,0),M(3,0,5)分别代入得 2-B+D=0 →B=-1 平面方程为:xy-3=0 3+D=0 解法二:五k,n⊥M1M xM-001=-1+1取={小 (x-2)+(y+1)=0得平面方程:xy-3=0 (2)设平面方程为y+Cz+D=0即 -DD D=5 D 得 ∴y+,z-5=0 D 5z-10=0
例1、 习题 4.13 求通过点 P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面 2x+3y-5z+6=0 的 平面方程。 解： QP = 1,−3,− 4 ，已知平面的法矢量 n1 = 2,3,− 5 27i 3j 9k 2 3 5 1 3 4 i j k QP n1 = − + − = − − 取 n = − 9,−1,3 所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0 例2、 习题 4、11 解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0 将点 M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得 + = → = − − + = → = − 3 D 0 D 3 2 B D 0 B 1 ∴平面方程为：x–y–3=0 解法二： n k ⊥ ， n⊥M1M2 i j 1 1 5 0 0 1 i j k k M1M2 = = − + 取 n = −1, 1 -(x–2)+(y+1)=0 得平面方程：x–y–3=0 (2)设平面方程为 y+Cz+D=0 即 1 C D z D y = − + − ∴ − = − = 2 C D D 5 得 D 5 2 5 C = − = ∴ 2y 5z -10 0 z 5 0 2 5 y + = + − =