4、二元函数的极值、最值 10极值定义P208 f(x、y)≤f(xo、y)fxo、yo)为极大值 f(x、y)≥fxo、yo)fko、y)为极小值 fk、y)在(k、y)极限值→/F(。、y)=0 驻点←极值点,需判别 设f、y)=A、fk。、y0)=B、fk、y)=C B--AC f(xo、yo A<0极大值 <0A>0极小值 >0 非极值 不定 例1、求z=x3+y3-3xy的极值 解:f f!=0 3x2-3y=0 =0 令 f=0 0 得驻点0,0),(,1 在(0,0),B32-AClo0=(-3)2-0=9>0 ∴f,0)非极值 (11) (-3)2-36<0 ∴(,1为极值点 又A1=6>0∴f,1 为极小值
4、二元函数的极值、最值 1 0 极值定义 P208 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极大值 ( ) ( ) x0 y0 f x 、y f 、 ( ) x0 y0 f 、 为极小值 ( ) ( ) ( ) ( ) = = → f x y 0 f x y 0 f x y x y y 0 0 x 0 0 0 0 、 、 、 在 、 有极限值 驻点 极值点，需判别 设 f xx (x0 、y0 )= A 、f xy (x0 、y0 ) = B 、f yy (x0 、y0 ) = C B AC 2 − f ( ) x0 、y0 < 0 A < 0 极大值 A > 0 极小值 > 0 非极值 =0 不定 例1、 求 z x y 3xy 3 3 = + − 的极值 解： f 3x 3y 2 x = − ，f 3y 3x 2 y = − ，f xx = 6x ， f xy = −3 ，f yy = 6y 令 = = f 0 f 0 y x → − = − = 3y 3x 0 3x 3y 0 2 2 → y y 0 4 − = y 1 y 0 = = 得驻点 (0 , 0) ，(1 , 1) 在 (0 , 0) ， ( ) B AC ( 3) 0 9 0 2 0,0 2 − = − − = ∴ f(0 , 0) 非极值 (1 , 1) ， ( ) B AC ( 3) 36 0 2 1,1 2 − = − − ∴ (1 , 1) 为 极值点 又 ( ) A 6 0 1,1 = ∴ f(1 , 1) = −1 为极小值
例2、求z=x2y(5-x-y)在闭区域D:x≥0,y≥0, x+y≤4的最大,最小值。 解:f=y(1 ),f=x2(5-x-2y) 10-3x-2y)=0 令1(x(6-x-2y (在D内) 在D的内部函数只有一个驻点 55)625 24 在边界x=0,f=0在 y=0,f=0 在x+y=4,z=x2(4-x5-x-4+x)=x2(4-x)=4x2-x3 d=8×-3×2=0:3,即x8,y班点 dz 625 Z 0,z 得最大值z=2625,最小值z=0 在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示 例3、求原点到曲线qx,y)=0的最大距离 此题即在条件(,y)=0下求z=√x2+y2的最小值问题
例 2、求 z x y(5 x y) 2 = − − 在闭区域 D： x 0， y 0 ， x + y 4 的最大，最小值。 解： f xy(10 3x 2y) x = − − ，f x (5 x 2y) 2 y = − − 令 ( ) ( ) − − = − − = x 5 x 2y 0 xy 10 3x 2y 0 2 （在 D 内） = = 4 5 y 2 5 x 在 D 的内部函数只有一个驻点 4 5 , 2 5 ， 64 625 4 5 , 2 5 f = 在边界 x = 0 ，f = 0 在 y = 0 ，f = 0 在 x + y = 4， ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z = x 4 − x 5 − x − 4 + x = x 4 − x = 4x − x 8x 3x 0 dx dz 2 = − = 得： 3 8 x = ，即 3 8 x = ， 3 4 y = 为驻点 27 256 3 4 , 3 8 z = 比较 64 625 z = ，z = 0 ， 27 256 z = 得最大值 64 625 z = ，最小值 z = 0 在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。 例3、 求原点到曲线 (x , y) = 0 的最大距离 此题即在条件 (x , y) = 0 下求 2 2 z = x + y 的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件ox,y)=0下,z=f(x,y)的极值 令F=f(x,y)+入pk,y)称f(x,y)为目标函数为拉格朗日常数 F=0 Fy=0解得的(,y)为可能的极值点 F=0 例1、求曲面4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=1的最短距离 解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离d=+y=4z- ∴设F=(x+y-42-1)2+x13x2-2xy+3y2-42) F 1+(6y (x+y-4z-1)-4x=0 F2 16 驻点唯 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n={6x-2y6y-2x-4} 平面x+y-4z=1的法矢量n1=4,1,-4} 当五∥n1时,即 6x-2y6y-2 4 4 得:x=y= 在(4416)点处切平面平行已知平面 ∴点门11 416 )到平面距离最短,dm
2 0 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件 (x , y) = 0 下, z = f(x , y) 的极值 令 F = f(x , y)+ (x , y) 称 f(x , y) 为目标函数, 为拉格朗日常数 = = = F 0 F 0 F 0 y x 解得的 (x , y) 为可能的极值点 例 1、求曲面 2 2 4z = 3x − 2xy + 3y 到平面 x + y − 4z = 1 的最短距离 解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 18 x y 4z 1 d + − − = ∴ 设 (x y 4z 1) (3x 2xy 3y 4z) 2 1 F 2 2 2 = + − − + − + − ( ) ( ) ( ) = − + − = = − + − − − = = + − − + − = = + − − + − = F 3x 2xy 3y 4z 0 F 4 x y 4z 1 4 0 F x y 4z 1 6y 2x 0 F x y 4z 1 6x 2y 0 2 2 z y x ∵ 驻点唯一 ∴ 8 2 d min = 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 n = 6x − 2y,6y − 2x,−4 平面 x+y-4z=1 的法矢量 n1 = 1,1,−4 当 n ∥ 1 n 时，即 4 4 1 6y 2x 1 6x 2y − − = − = − 得： 4 1 x = y = , 16 1 z = ∵ 在 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 点处切平面平行已知平面 ∴ 点 ) 16 1 , 4 1 , 4 1 ( 到平面距离最短， 8 2 d min = 得： 16 1 z 4 1 x y = = =
例2、在曲面z=2-x2-y2位于第一卦限部分上求一点,使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点(x,y,z)处的平面方程为: 2xX+2vY+Z=4-z 即 四面体体积V Z 24 2 故令F=3h(4-2-l-ly+x(2+y2+z +2y=0 由 =X +y+Z- 0 X=V= 得 ∵驻点唯 22为所求点
例 2、在曲面 2 2 z = 2 − x − y 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 ∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 2xX + 2yY + Z = 4 − z 即 1 4 z Z 2y 4 z Y 2x 4 z X = − + − + − ， ∴ 四面体体积 ( ) 24xy 4 z V 3 − = 故令 F 3ln(4 z) lnx lny λ (x y z 2) 2 2 = − − − + + + − 由 = + + − = + = − = − = − + = = − + = F x y z 2 0 0 4 z 3 F 2 y 0 y 1 F 2 x 0 x 1 F 2 2 z y x 得： z 1 2 2 x y = = = ∵ 驻点唯一 ∴ ,1 2 2 , 2 2 为所求点
例3、在第一象限内,过椭圆曲线3x2+2xy+3y2=1上任一点作椭圆 的切线,求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值 解:在第一象限内曲线上任一点(x,y)处的切线方程为: Y (X-x) Y(x+3y)+X(3x+y)=y(x+3y)+x(3x+y) 切线与两坐标轴的截距分别为x+x+3yyy+3x+y X+3 X十 3x+y 3x+ y‖y X+ 3y 2 x+3y 3x+y 若要使S最小,只要(x+3y)3x+y)最大 故设F=(x+3y3x+y)+(x2+2y+3y2-1) F=6X+10y+6λx+2y=0 由{F,=10x+6y+2λx+6y=0 F=3x2+2xy+3y2-1=0 得 ∴驻点唯 例4、P212例5.325.33
例 3、在第一象限内，过椭圆曲线 3x 2xy 3y 1 2 2 + + = 上任一点作椭圆 的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。 解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： (X x) x 3y 3x y Y y − + + − = − Y(x +3y)+ X(3x + y) = y(x +3y)+ x(3x + y) 切线与两坐标轴的截距分别为 x x 3y 3x y y, y 3x y x 3y x + + + + + + 3x y 1 x 3y 1 2 1 x x 3y 3x y y y 3x y x 3y x 2 1 S + + = + + + + + = + 若要使 S 最小，只要 (x + 3y)(3x + y) 最大 故设 F (x 3y)(3x y) λ (3x 2xy 3y 1) 2 2 = + + + + + − 由 = + + − = = + + + = = + + + = F 3x 2xy 3y 1 0 F 10x 6y 2λ x 6λ y 0 F 6x 10y 6λ x 2λ y 0 2 2 λ y x 得： 2 2 1 x = y = ∵ 驻点唯一 ∴ 4 1 smin = 例 4、P212 例 5.32 5.33