齐次线性差分方程的解·齐次线性差分方程的求解要借助它的特征方程和特征根。·特征方程的定义：p阶齐次线性差分方程的特征方程为aP+aap-I+a,ap-2++a,=0·特征根的定义：特征方程是一个一元p次线性方程，它应该有p个非零根，我们把特征方程的非零根称为特征根。p个特征根不妨记作2,2,p根据差分方程理论，每个特征根的t次方，都是齐次线性差分方程的解。而且这些解的线性组合，也是齐次线性差分方程的解。即p阶齐次线性差分方程的通解为f(t)=+c+…+c,,C2,,c,为任意实数
齐次线性差分方程的解 • 齐次线性差分方程的求解要借助它的特征方程和特征根。 • 特征方程的定义：p阶齐次线性差分方程的特征方程为 • 特征根的定义：特征方程是一个一元p次线性方程，它应该有p个非零根，我们把 特征方程的非零根称为特征根。p个特征根不妨记作 • 根据差分方程理论，每个特征根的t次方，都是齐次线性差分方程的解。而且这些 解的线性组合，也是齐次线性差分方程的解。即p阶齐次线性差分方程的通解为 1 2 1 2 0 p p p p a a a − − + + + + = 1 2 , , , p 1 1 2 2 1 2 ( ) , , , , t t t p p p f t c c c c c c = + + + 为任意实数
例3-2·验证一阶齐次线性差分方程x-0.8x-=0的通解为c0.8°，c为任意实数。【例3-2解】该差分方程的特征方程为：2一0.8=0特征根为：元=0.8容易验证f(t)=c0.8°是该差分方程的解：f(t)-0.8f(t-1)= c0.8 -0.8×c0.8t-1 = 0
例3-2 • 验证一阶齐次线性差分方程 的通解为 ， 为任意实数。 【例3-2解】 该差分方程的特征方程为： 特征根为： 容易验证 是该差分方程的解： 1 0.8 0 t t x x − = − 0.8t c c −0.8=0 =0.8 1 ( ) 0.8 ( 1) 0.8 0.8 0.8 0 t t f t f t c c − − − = − = ( ) 0.8t f t c =
例3-2续·验证二阶齐次线性差分方程x-0.6x,+0.05x-2=0的通解为c,0.5'+c,0.1'，C1,C2为任意实数。【例3-2续解】该差分方程的特征方程为：元2-0.6元+0.05=0特征根为：=0.5，=0.1容易验证(t)=c,0.5°+c,0.1'是该差分方程的解：f(t)-0.6f(t -1)+0.05f(t -2)= c,0.5' + c, 0.1' -0.6×(c,0.5t-l +c, 0.1-)+0.05×(c,0.5'-2 +c,0.1'-2)=c(0.52-0.6×0.5+0.05)0.5t-2+c(0.120.6×0.1+0.05)0.1'-2=0
例3-2续 • 验证二阶齐次线性差分方程 的通解为 ， 为任意实数。 【例3-2续解】 该差分方程的特征方程为： 特征根为： 容易验证 是该差分方程的解： 1 2 c c, 1 2 0.6 +0.05 0 t t t x x x − = − − 1 2 0.5 + 0.1 t t c c 2 − = 0.6 +0.05 0 1 2 = = 0.5 , 0.1 1 2 ( ) 0.5 0.1 t t f t c c = + ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 0.6 ( 1)+0.05 ( 2) 0.5 0.1 0.6 0.5 0.1 0.05 0.5 0.1 (0.5 0.6 0.5 0.05)0.5 (0.1 0.6 0.1 0.05)0.1 0 t t t t t t t t f t f t f t c c c c c c c c − − − − − − − − − = + − + + + = − + + − + =
非齐次线性差分方程的解。非齐次线性差分方程的解f(t）等于齐次线性差分方程的通解f(t），再加上一个特解f（t)f(t)= f(t)+ f.(t)·所谓特解就是使非齐次线性差分方程成立的任一值，即fo(t)+aifo(t-1)+...+apfo(t-p)= h(t)
非齐次线性差分方程的解 • 非齐次线性差分方程的解 等于齐次线性差分方程的通解 ，再加上一 个特解 • 所谓特解就是使非齐次线性差分方程成立的任一值，即 1 0 f t f t f t ( ) ( ) ( ) = + 1 f t( ) 0 f t( ) 0 1 0 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) p f t a f t a f t p h t + − + + − = f t( )
例3-2续·求一阶线性差分方程x-0.8x-=0.1的解。【例3-2续解】在例3-1中，我们求出该差分方程的通解为：f(t)=c0.8特解可以用任意方式求出，本例尝试求出该差分方程的一个常数特解fo(t)=f。 VteT则 f(t)-0.8f(t-1)=f。-0.8xf =0.1 → f=0.5所以该差分方程的解为：f(t) = f(t)+f.(t)=c0.8'+0.5
例3-2续 • 求一阶线性差分方程 的解。 【例3-2续解】 在例3-1中，我们求出该差分方程的通解为： 特解可以用任意方式求出，本例尝试求出该差分方程的一个常数特解 则 所以该差分方程的解为： 1 ( ) 0.8t f t c = 1 0.8 0.1 t t x x − = − 0 0 f t f t T ( )= 0 0 0 0 0 f t f t f f f ( ) 0.8 ( 1) 0.8 0.1 =0.5 − − = − = 1 0 ( ) ( )+ ( )= 0.8 +0.5 t f t f t f t c =