3完备采样（PERFECTSAMPLING）IntroductiontoParticle Filtering理论上lim Eng(r) as Eg(r)(9)N-→+o对于非线性滤波问题，几乎不可能直接从P(k/Y）进行采样，需要下述重要性采样方法。10/52Dr. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
3 完备采样（PERFECT SAMPLING） Introduction to Particle Filtering 理论上 lim N→+∞ EˆN g(x) a.s. −−→ Eg(x) (9) 对于非线性滤波问题，几乎不可能直接从 p(xk|Yk) 进行采样，需要下 述重要性采样方法。 Dr. Yuan-Li Cai 10/52 Xi’an Jiaotong University
重要性采样与重采样Introduction to Particle FilteringI4重要性采样与重采样4.1重要性采样通常，目标密度函数p(）非常复杂，不容易直接产生符合密度函数p(a）的粒子。设q(r）是较之p(a）容易实现采样的概率分布密度函数，在支撑覆盖条件下，如果【α(i),i=1,2,，N～q().那么粒子r(）属于p(α）的概率为w(i)，称为接受概率，有p(r() αw(0g(r()(10)11/52Dr.Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
4 重要性采样与重采样 Introduction to Particle Filtering 4. 重要性采样与重采样 4.1 重要性采样 通常，目标密度函数 p(x) 非常复杂，不容易直接产生符合密度函数 p(x) 的粒子。设 q(x) 是较之 p(x) 容易实现采样的概率分布密度函数，在 支撑覆盖条件下，如果 {x (i) , i = 1, 2, · · · , N} ∼ q(x)，那么粒子 x (i) 属于 p(x) 的概率为 w (i)，称为接受概率，有 p(x (i) ) ∝ w (i) q(x (i) ) (10) Dr. Yuan-Li Cai 11/52 Xi’an Jiaotong University
Introduction to Particle Filtering重要性采样与重采样上式可以简单论证如下。对于任意的9(），有Eg(r) =g(r)p(r)dxplr1q(r)dxq(c)Np(r()-g((）~Nq(r(0)i=1Nw(ig(r(i))i=1上式定义了w(i)，并验证了（10）式。换言之，我们有Nw(o(-r(i)(11)p(r)~i=112/52Dr. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
4 重要性采样与重采样 Introduction to Particle Filtering 上式可以简单论证如下。对于任意的 g(x)，有 Eg(x) = ∫ g(x)p(x)dx = ∫ [g(x) p(x) q(x) ]q(x)dx ≈ 1 N ∑ N i=1 g(x (i) ) p(x (i) ) q(x (i) ) = ∑ N i=1 w (i) g(x (i) ) 上式定义了 w (i)，并验证了 (10) 式。换言之，我们有 p(x) ≈ ∑ N i=1 w (i) δ(x − x (i) ) (11) Dr. Yuan-Li Cai 12/52 Xi’an Jiaotong University
重要性采样与重采样Introduction to Particle Filtering4Nw(i) = 1。上式说明了w(i）为接受概率的含义，同时暗喻着2=i[例]定积分的MC求解。13/52Dr.Yuan-LiCaiXian JiaotongUniversity
4 重要性采样与重采样 Introduction to Particle Filtering 上式说明了 w (i) 为接受概率的含义，同时暗喻着 ∑ N i=1 w (i) = 1。 [例] 定积分的 MC 求解。 Dr. Yuan-Li Cai 13/52 Xi’an Jiaotong University
重要性采样与重采样IntroductiontoParticleFiltering44.2重采样重采样（resampling）是指根据（11）式进行重新采样，获取若干个近似服从p）分布的粒子。有许多重采样方法，它决定了粒子滤波算法的计算复杂度。对于目标密度函数的估计Np(r) =()8(r-2()(12)i=1以(）为接受概率重新产生N个粒子，即（离散概率密度)(13)Pr((i) =a() = (G),i= 1,2, -.,N14/52Dr. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
4 重要性采样与重采样 Introduction to Particle Filtering 4.2 重采样 重采样（resampling）是指根据（11）式进行重新采样，获取若干个近 似服从 p(x) 分布的粒子。有许多重采样方法，它决定了粒子滤波算法的计 算复杂度。 对于目标密度函数的估计 pˆ(x) = ∑ N i=1 w¯ (i) δ(x − x (i) ) (12) 以 w¯ (i) 为接受概率重新产生 N 个粒子，即（离散概率密度） Pr(ˆx (i) = x (j) ) = ¯w (j) , i = 1, 2, · · · , N (13) Dr. Yuan-Li Cai 14/52 Xi’an Jiaotong University