Introduction to Particle Filtering2贝叶斯递推滤波2.贝叶斯递推滤波考虑如下一般的非线性系统(1)rk+1= fk(ck,Wk)(2)yk= hk(ak, Uk)其中，kERnykERm；fWkl和wl是相互独立的纯随机序列co~pro(ro）=p(ro）=p(colyo)，而且与（wk和{uk不相关。5/52Dr.Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 贝叶斯递推滤波 Introduction to Particle Filtering 2. 贝叶斯递推滤波 考虑如下一般的非线性系统： xk+1 = fk(xk, wk) (1) yk = hk(xk, vk) (2) 其中，xk ∈ Rn，yk ∈ Rm；{wk} 和 {wk} 是相互独立的纯随机序列； x0 ∼ px0 (x0) = p(x0) = p(x0|y0)，而且与 {wk} 和 {vk} 不相关。 Dr. Yuan-Li Cai 5/52 Xi’an Jiaotong University
IntroductiontoParticleFiltering2贝叶斯递推滤波记Y=（1,2,，yk)，那么p(+1|) = / p(+1)p()dc(3)(4)p(yk+i[Yk) =/ p(yk+1|+1)p(rk+1|Yx)dk+1p(+k+1/Y+1) = P(yk+1/++1)p(tk+1/Y)(5)p(yk+1/Yk)以上三式便构成了递推求解p(kY）的核心公式，称为贝叶斯递推滤波算法。一般情况下，通常无法获得解析解。6/52Dr. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 贝叶斯递推滤波 Introduction to Particle Filtering 记 Yk = (y1, y2, · · · , yk), 那么 p(xk+1|Yk) = ∫ p(xk+1|xk)p(xk|Yk)dxk (3) p(yk+1|Yk) = ∫ p(yk+1|xk+1)p(xk+1|Yk)dxk+1 (4) p(xk+1|Yk+1) = p(yk+1|xk+1)p(xk+1|Yk) p(yk+1|Yk) (5) 以上三式便构成了递推求解 p(xk|Yk) 的核心公式，称为贝叶斯递推滤 波算法。一般情况下，通常无法获得解析解。 Dr. Yuan-Li Cai 6/52 Xi’an Jiaotong University
Introduction to Particle Filtering2贝叶斯递推滤波在MonteCarlo（MC）仿真中，以若干足够多的离散样本（称为粒子）对期望的概率密度进行近似，即NP(ra/Y) ~p(rx/Y) =w@8(r -2(6)i=1NEw()()≥0，而且其中，=1。=1问题：如果生成粒子{ri=1,,N并确定【wi=1,2….,?7/52Dr.Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity
2 贝叶斯递推滤波 Introduction to Particle Filtering 在 Monte Carlo (MC) 仿真中，以若干足够多的离散样本（称为粒子）对 期望的概率密度进行近似，即 p(xk|Yk) ≈ pˆ(xk|Yk) = ∑ N i=1 w (i) k δ(x − x (i) k ) (6) 其中，w (i) k ≥ 0，而且 ∑ N i=1 w (i) k = 1。 问题：如果生成粒子 {x (i) k }i=1,2,··· ,N 并确定 {w (i) k }i=1,2,··· ,N ？ Dr. Yuan-Li Cai 7/52 Xi’an Jiaotong University
3完备采样（PERFECTSAMPLING）Introduction to Particle Filtering3.完备采样（perfectsampling）对于目标密度函数p(a)，设【ar(),i=1,2,...,N)是根据p(r）采样到的独立同分布粒子，那么p(a)(m)=(a20)(7)-8/52Dr.Yuan-LiCaiXi'an JiaotongUniversity
3 完备采样（PERFECT SAMPLING） Introduction to Particle Filtering 3. 完备采样（perfect sampling） 对于目标密度函数 p(x)，设 {x (i) , i = 1, 2, · · · , N} 是根据 p(x) 采样到 的独立同分布粒子，那么 p(x) ≈ pˆ(x) = 1 N ∑ N i=1 δ(x − x (i) ) (7) Dr. Yuan-Li Cai 8/52 Xi’an Jiaotong University
Introduction to Particle Filtering3完备采样（PERFECTSAMPLING）例如：N>rip(r)dr~公i=1NN(r() -)(r() -)T(-a)(-a)Tp(r)dr~var(r)Ni=l更加一般地Eg(a) ~Eng(a) =g(r()(8)AT9/52Dr.Yuan-LiCaiXi'an JiaotongUniversity
3 完备采样（PERFECT SAMPLING） Introduction to Particle Filtering 例如： x¯ = ∫ xp(x)dx ≈ 1 N ∑ N i=1 x (i) var(x) = ∫ (x − x¯)(x − x¯) T p(x)dx ≈ 1 N ∑ N i=1 (x (i) − x¯)(x (i) − x¯) T 更加一般地 Eg(x) ≈ EˆN g(x) = 1 N ∑ N i=1 g(x (i) ) (8) Dr. Yuan-Li Cai 9/52 Xi’an Jiaotong University