第七章 三角函数 sin Ocos 0 tan 探究三三角恒等式的证明 故sin0cos0= 3 sin20+cos20 1++tan20 4 【例3】求证：a)sina-cosa十1=1+sina 解得tang=-√5或tan0= 3 sin a+cos a-1 cos a 3 (2)2(sin0+cos0)-3(sin0+cos'0)+1=0. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 分析可以由左边推证右边，对于(1)，也可以利用作差 你如何订正？你如何防范？ 法，证明的关镀之一是“1”的代换。 提示题设条件n9+os0=5,1隐合n> 证明(1)左边=(sina一cosa十1)(sina十cosa+1) 2 (sin a+cos a-1)(sin a+cos a+1) =sina十1)2-cos2a -cos0这一条件，结合所得sin0cos0=- 星<0可进一步 (sina十cosa)2-1 得到日的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解。 -(sina+2sina+1)-(1-sin'a) sin a+cos a+2sin acos a-1 正解同错解，解得tan0=-5或tang=- 3 2sin'a+2sin a =1十2 sin acos a-] 9Eo.如0msg=-<00E(货小由 _2sima(sina+l_1+sime=右边， 2sin acos a cos a sim9+cos0=5,>0可得in9>-cos9,即1sim91> 2 故原等式成立. (2)左边=2[(sin20)3+(cos20)3]-3(sim0+cos0)+1 1os01,故0∈（经，3），则am0<-1an0=-5。 =2 sin20+cos20)(sin0-sin20cos20+cos'0)- 飞防范措施 3(sin0+cos'0)+1 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的 =(2sim'0-2sin20cos20+2cos‘0)-(3sin'0+3cos'0)+1 范围不受条件限制，实际上只要对已知条件稍作变换， =-(sin0+2sin20cos20++cos0)++1 便可得到限制关系，这种限制关系本身就隐含角的取 =-(sin20+cos20)2+1 值范围，因而求解时应倍加注意 =-1+1=0 =右边， 【变式训练】已知8 sin a=1,且e∈(x,）,求 故原等式成立」 ①反思感悟 cosa一sina的值」 1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一 解(cosa-sina)2=1-2 sin acos a=1-2X 边，一殼由繁到简：(2)左右开弓，即证左边、右边都等 于第三方：(3)比较法（作差、作比法）. 子，且< 2.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换：(2)化切为 .'cos a<sin a,.'.cos a-sin a<0, 弦：(3)多项式运算技巧的应用（分解因式）. .'cos a-sin a=- 【变式训练3】求证，1+2 sin cos 1+tanx 2 cos'x-sin'x 1-tan x' 1+sinz 随堂训练 证明右边 cosI cos z+sin x 1-sinr cos x-sin x 1化简一晋的结果是( ) cos (cosx十sinx)2 1+2 sin rcos工=左边， Bm看 (cos x-sin x)(cos z+sin x) cos2x-sin2x π 故原等式成立. C.-cos 5 易错辨析 因忽略隐含条件致错 答案C 【典例】已知0e(0,,sin9+cos0=5-1. 2,求tang 2.已知a是第三象限角，sina=一 则tana等于() 的值， 错解将m9十m目=二丙边平方：得1十 A.- R-青 c 解析，a是第三象限角， 20c0=1-号即sm9os9=-5 易知9≠受 21
第七章 三角函数 探究三 三角恒等式的证明 【例3】求证:(1) sinα-cosα+1 sinα+cosα-1 = 1+sinα cosα ; (2)2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0. 分析 可以由左边推证右边,对于(1),也可以利用作差 法,证明的关键之一是“1”的代换. 证明 (1)左边= (sinα-cosα+1)(sinα+cosα+1) (sinα+cosα-1)(sinα+cosα+1) = (sinα+1)2-cos2α (sinα+cosα)2-1 = (sin2α+2sinα+1)-(1-sin2α) sin2α+cos2α+2sinαcosα-1 = 2sin2α+2sinα 1+2sinαcosα-1 = 2sinα(sinα+1) 2sinαcosα = 1+sinα cosα =右边, 故原等式成立. (2)左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1 =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)- 3(sin4θ+cos4θ)+1 =(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1 =-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1 =-(sin2θ+cos2θ)2+1 =-1+1=0 =右边, 故原等式成立. 1.证明恒等式常用的思路是:(1)从一边证到另一 边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等 于第三方;(3)比较法(作差、作比法). 2.常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为 弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 【变式训练3】求证: 1+2sinxcosx cos2x-sin2x = 1+tanx 1-tanx . 证明 右 边 = 1+ sinx cosx 1- sinx cosx = cosx+sinx cosx-sinx = (cosx+sinx)2 (cosx-sinx)(cosx+sinx)= 1+2sinxcosx cos2x-sin2x =左边, 故原等式成立. 易 错 辨 析 因忽略隐含条件致错 【典例】已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ= 3-1 2 ,求tanθ 的值. 错解 将 sinθ+cosθ= 3-1 2 两 边 平 方,得 1+ 2sinθcosθ=1- 3 2 ,即sinθcosθ=- 3 4 ,易知θ≠ π 2 . 故sinθcosθ= sinθcosθ sin2θ+cos2θ = tanθ 1+tan2θ =- 3 4 , 解得tanθ=- 3或tanθ=- 3 3 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何订正? 你如何防范? 提示 题 设 条 件 sinθ+cosθ= 3-1 2 隐 含sinθ> -cosθ这一条件,结合所得sinθcosθ=- 3 4 <0可进一步 得到θ的范围,错解忽略了这一点,从而造成增解. 正解 同错解,解得tanθ=- 3或tanθ=- 3 3 . ∵θ∈(0,π),sinθcosθ=- 3 4 <0,∴θ∈ π 2 ,π ,由 sinθ+cosθ= 3-1 2 >0可得sinθ>-cosθ,即|sinθ|> |cosθ|,故θ∈ π 2 , 3π 4 ,则tanθ<-1,∴tanθ=- 3. 有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的 范围不受条件限制,实际上只要对已知条件稍作变换, 便可得到限制关系,这种限制关系本身就隐含角的取 值范围,因而求解时应倍加注意. 【变式训练】已知8sinαcosα=1,且α∈ π, 5π 4 ,求 cosα-sinα的值. 解 ∵(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2× 1 8 = 3 4 ,且π<α< 5π 4 , ∴cosα<sinα,∴cosα-sinα<0, ∴cosα-sinα=- 3 4 =- 3 2 . 随堂训练 1.化简 1-sin23π 5 的结果是( ) A.cos 3π 5 B.sin 3π 5 C.-cos 3π 5 D.-sin 3π 5 解析 原式= cos23π 5 = cos 3π 5 =-cos 3π 5 . 答案 C 2.已知α是第三象限角,sinα=- 3 5 ,则tanα等于( ) A.- 3 4 B.- 4 3 C. 3 4 D. 4 3 解析 ∵α是第三象限角, ∴cosα=- 1-sin2α=- 4 5 , 21
数学 必修 第三册 配人教B版 ma=8-是 (1+cosa)(1-cosa)_1-cos'a-sin a. sin a sin a 答案C 答案sina 3已知tana=-2,则ina十cose 'sin a-cos a 5求证：血01+m0)十ms0.(1+）=品 解析原式=ana十l= -2+11 1 tana-1--2-1-3 cos 0 答案3 1 证明左边=m(+忠)+am+》 sin =sin 0+ 4.化简：（sima 41 1 9+ms0+9-n0+os0+ig+cns sin20 1 (1-cosa)= tan a sin 0 sin cos 0 1 1 1 解析原式 sin a'sina(1 cos a c0s0二右边， cos a 故原式成立 课后·训练提升 基础：巩固 5.若α为第三象限角，则 cos a 2sina一的值为 √/1-sin2a √/1-cos2a 1.若sina十3cosa=0,则tana的值为() () A.3 B.-3 D.- A.3 B.-3 C.1 D.-1 3 解析，a是第三象限角， 解析，sina=一3cosa, ∴.osa<0,sina<0,原式=1cosa+sina cos a 2sin a ne=-3,即ana=-3. cos a 答案B cos a2sin a =-1-2=-3. -cos a -sin a 2.若sin'a十cos'a=l,则sina十cosa的值为() 答案B A.±2B.1 C.-1D.±1 解析：sin'a十cos'a=(sin2a十cos2a)2-2sin2acos2a= 6在△ABC中，若amA=号，则imA与 1-2sin acos'a=1, ∴.sin2a·cos2a=0,即sina·cosa=0. 新aA-怎。 当sina=0时，cosa=土l. ∴∠A是锐角，.cosA>0,sinA>0. 当cosa=0时，sina=土1. sin A2 '.sina十cosa=±1. cos A 3 sin2A+cos2A=1, 答案D 3.若sina十sin2a=l,则cos2a十cos'a的值等于( imA=品nA=厘 2 11 A.0 B.1 C.2 D.3 解析由sina=l-sin'a,得sina=cos2a, 苦案 故cos2a十cos'a=sina十sin2a=1. 答案B 7.已知sin0-cos0= 2,则sin20-cos30= 1 4.已知tan0=2,则sin20十sin0cos0-2cos20=( ) 解析：sin0一cos0=2 1 A-号 子 C-i 0.6 4 :.1-2sin Ocos= 1 解析sim0+sin0cos0-2cos20 =sin0+sin Ocos 0-2cos*0 sin20+cos20 咖es0=是 ,∴.sin30-cos30 tan0+tan 0-2 =(sin 0-cos 0)(sin20+sin 0cos 0+cos20) tan0++1 将an0=2代入，知原式=4+2-24 =×+)=品 5 5 11 答案D 答案16 22
数 学 必修 第三册 配人教B版 ∴tanα= sinα cosα = 3 4 . 答案 C 3.已知tanα=-2,则 sinα+cosα sinα-cosα = . 解析 原式= tanα+1 tanα-1 = -2+1 -2-1 = 1 3 . 答案 1 3 4.化简: 1 sinα + 1 tanα (1-cosα)= . 解析 原 式 = 1 sinα + 1 sinα cosα (1 - cos α ) = (1+cosα)(1-cosα) sinα = 1-cos2α sinα =sinα. 答案 sinα 5.求证:sinθ(1+tanθ)+cosθ· 1+ 1 tanθ = 1 sinθ + 1 cosθ . 证明 左边=sinθ 1+ sinθ cosθ +cosθ 1+ cosθ sinθ =sinθ+ sin2θ cosθ +cosθ+ cos2θ sinθ = sin2θ+cos2θ sinθ + sin2θ+cos2θ cosθ = 1 sinθ + 1 cosθ =右边. 故原式成立. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若sinα+3cosα=0,则tanα的值为( ) A.3 B.-3 C. 1 3 D.- 1 3 解析 ∵sinα=-3cosα, ∴ sinα cosα =-3,即tanα=-3. 答案 B 2.若sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为( ) A.± 2 B.1 C.-1 D.±1 解析 ∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α= 1-2sin2αcos2α=1, ∴sin2α·cos2α=0,即sinα·cosα=0. 当sinα=0时,cosα=±1. 当cosα=0时,sinα=±1. ∴sinα+cosα=±1. 答案 D 3.若sinα+sin2α=1,则cos2α+cos4α的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由sinα=1-sin2α,得sinα=cos2α, 故cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1. 答案 B 4.已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) A.- 4 3 B. 5 4 C.- 3 4 D. 4 5 解析 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ = sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+cos2θ = tan2θ+tanθ-2 tan2θ+1 . 将tanθ=2代入,知原式= 4+2-2 5 = 4 5 . 答案 D 5.若α为第三象限角,则 cosα 1-sin2α + 2sinα 1-cos2α 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 解析 ∵α是第三象限角, ∴cosα<0,sinα<0,原式 = cosα |cosα| + 2sinα |sinα| = cosα -cosα + 2sinα -sinα =-1-2=-3. 答案 B 6.在△ABC 中,若tanA= 2 3 ,则sinA= . 解析 ∵tanA= 2 3 , ∴∠A 是锐角,∴cosA>0,sinA>0. ∵ sinA cosA = 2 3 , sin2A+cos2A=1, ∴cos2A= 9 11 , ∴sin2A= 2 11 .∴sinA= 22 11 . 答案 22 11 7.已知sinθ-cosθ= 1 2 ,则sin3θ-cos3θ= . 解析 ∵sinθ-cosθ= 1 2 , ∴1-2sinθcosθ= 1 4 , ∴sinθcosθ= 3 8 . ∴sin3θ-cos3θ =(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ) = 1 2 × 1+ 3 8 = 11 16 . 答案 11 16 22
第七章三角函数 8.若tana十 1 -=3,则sin acos a= tan'a+ 证法三“0。 1十cosa tan a sin a 1 =sin'a-(1+cos a)(1-cos a) tan'a (1-cos a)sin a 解析sina+ose_sina十cos2 1 -=3 =sin2a-（1-cos2a) cos a'sin a sin acos a sin acos a (1-cos a)sin a 1 sin'a-sin'a .'.sin acos a= an。+1 tan'a (to+ma) =(1-cos a)sin a =0, 2=32-2=7. 着案}7 ∴0。=。 sin a 拓展·提高 9已知ana=子，求下列各式的值 1.若a∈[0,2x),且有√1-cos2a+√1-sin'a=sina- (1)cos asin a cos a+sin a cosa,则角a的取值范围为( ) cosa十sina cos a-sin a 1 A0） B[月 c(匠)[割 (2sinacs 解析：√个-cos2a+√-sim'a=|sina|+|cos al= (3)sina-2sin acos a+4cos'a. 解(q)9osa-sinc+cosa十sina sma-osa,sma≥0.osa<0ia∈[径. cosa十sin a'cos a-sina _1-tan a 1+tan a 答案B 1+tan a'1-tan a m9=得(<小则am0 2.已知sim0=m-3 2 12 3 ,1+3_26 () 2 -5 3 1- A.4-2m 3 m-3 B士 1 (2) sin'a+cos'a tan'a+1 13 sin acos a sin acos a tan a 6 c是 n-或-品 (3)sina-2sin acos a+4cos'a 解析由sim0十cos20=1,得m=8或m=0, =sina-2sin acos a+4cos'a sin'a+cos'a 0(受m=8, -tan2a-2ana十4 a0=品m0=-是 5 tan'a+1 44 93 十4 28 .'tan o=sin 4 9+1 13 答案C 3.下列四个结论中可能成立的是( ) 1 10.1)化简1an“√。一1，其中a是第二象限角： 1 A.sima=2且cosa=2 sina=1十cosa (2)求证1-cosa-sina B.sina=0,且cosa=-1 C.tana=1,且cosa=-1 (1)解因为α是第二象限角， 所以sina>0,cosa<0. D.当a是第二象限角时，an&=一ne cos a 1 故tana -1=tan a 1-sin'a 解析由sin2a十cos2a=l,可知A错，B正确：由tana= N sin a sin'a 1,可知sina=cosa,若cosa=一l,则sina=-1,此时不 cosa sin a cos a 满足sin2a十cos2a=1,故C错误：不论a为第几象限角， =tana√sim2a sin a 都有ana=g,故D错误。 =sing.-cosa =-1. cos a cos a sin a 答案B (2)证法-sin2a十cos2a=1→1-cos2a=sin2a→ (1-cosa)(1十cosa)=sin asin a→ 4已知sim0+cosg sn0-cos9-2,则sin0cos0的值是( sin a 1+cos a A.4 3 1-cos a sin a B.0 3 D.一10 23
第七章 三角函数 8.若tanα+ 1 tanα =3,则sinαcosα= ,tan2α+ 1 tan2α = . 解析 ∵ sinα cosα + cosα sinα = sin2α+cos2α sinαcosα = 1 sinαcosα =3, ∴sinαcosα= 1 3 ,tan2α+ 1 tan2α = tanα+ 1 tanα 2 - 2=32-2=7. 答案 1 3 7 9.已知tanα= 2 3 ,求下列各式的值. (1) cosα-sinα cosα+sinα + cosα+sinα cosα-sinα ; (2) 1 sinαcosα ; (3)sin2α-2sinαcosα+4cos2α. 解 (1) cosα-sinα cosα+sinα + cosα+sinα cosα-sinα = 1-tanα 1+tanα + 1+tanα 1-tanα = 1- 2 3 1+ 2 3 + 1+ 2 3 1- 2 3 = 26 5 . (2) 1 sinαcosα = sin2α+cos2α sinαcosα = tan2α+1 tanα = 13 6 . (3)sin2α-2sinαcosα+4cos2α = sin2α-2sinαcosα+4cos2α sin2α+cos2α = tan2α-2tanα+4 tan2α+1 = 4 9 - 4 3 +4 4 9 +1 = 28 13 . 10.(1)化简tanα 1 sin2α -1,其中α是第二象限角; (2)求证: sinα 1-cosα = 1+cosα sinα . (1)解 因为α是第二象限角, 所以sinα>0,cosα<0. 故tanα 1 sin2α -1=tanα 1-sin2α sin2α =tanα cos2α sin2α = sinα cosα · cosα sinα = sinα cosα · -cosα sinα =-1. (2)证法一 sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α⇒ (1-cosα)(1+cosα)=sinαsinα⇒ sinα 1-cosα = 1+cosα sinα . 证法二 ∵ sinα 1-cosα - 1+cosα sinα = sin2α-(1+cosα)(1-cosα) (1-cosα)sinα = sin2α-(1-cos2α) (1-cosα)sinα = sin2α-sin2α (1-cosα)sinα =0, ∴ sinα 1-cosα = 1+cosα sinα . 拓展 提高 1.若α∈[0,2π),且有 1-cos2α+ 1-sin2α=sinα- cosα,则角α的取值范围为( ) A.0, π 2 B. π 2 ,π C. π 2 ,π D.π, 3π 2 解析 ∵ 1-cos2α+ 1-sin2α=|sinα|+|cosα|= sinα-cosα,∴sinα≥0,cosα≤0,∴α∈ π 2 ,π . 答案 B 2.已知sinθ= m-3 m+5 ,cosθ= 4-2m m+5 π 2 <θ<π ,则tanθ= ( ) A. 4-2m m-3 B.± m-3 4-2m C.- 5 12 D.- 3 4 或- 5 12 解析 由sin2θ+cos2θ=1,得m=8或m=0, ∵θ∈ π 2 ,π ,∴m=8, ∴sinθ= 5 13 ,cosθ=- 12 13 , ∴tanθ= sinθ cosθ =- 5 12 . 答案 C 3.下列四个结论中可能成立的是( ) A.sinα= 1 2 ,且cosα= 1 2 B.sinα=0,且cosα=-1 C.tanα=1,且cosα=-1 D.当α是第二象限角时,tanα=- sinα cosα 解析 由sin2α+cos2α=1,可知 A 错,B正确;由tanα= 1,可知sinα=cosα,若cosα=-1,则sinα=-1,此时不 满足sin2α+cos2α=1,故 C错误;不论α 为第几象限角, 都有tanα= sinα cosα ,故D错误. 答案 B 4.已知 sinθ+cosθ sinθ-cosθ =2,则sinθcosθ的值是( ) A. 3 4 B.± 3 10 C. 3 10 D.- 3 10 23
数学 必修第三册 配人教B版 解析由sin0+cos0 sin 0-cos2,sin+cos 0=2(sin 0 ∴左边=右边，原等式成立 cos0),两边平方，得1+2sin0cos0=4(1-2sin0cos0), 挑战·创新 解得如cs9=音 在研究有关“同角三角函数的基本关系”问题时，大家对其 中一个问题展开了激烈的讨论，对于“sina十cosa,sina一 答案C cosa,sin acos a”有以下几种说法： 5若sima=5 ，则sin'a-cos'a= 甲同学：已知sina十cosa,可求解sina一cosa,sin acos a, 且结果都唯一； 解析原式=(sin2a十cos2a)(sin2a-cos2a)=sin2a- 乙同学：已知sina十cosa,可求解sina一cosa,sin acos a, wa=a-1-a)=2a-1=2x号-1=-是 且sin acos a的结果唯一，sina一cosa的结果不唯一； 丙同学：已知sin acos a,可求解sina一cosa,sina十cosa, 答案-号 且结果都唯一； 丁同学：已知sin acos a,可求解sina一cosa,sina十cosa, 6者sim9+4 os0+-2,则(cos0+3)(sin0+1)= 且结果都不唯一 你认为谁的说法正确？请说明理由. 解析由条件二cc9十-2，解得c0s0=1, 解由1十2 sin acos a=(sina十cosa)2,得sin acos a= cos 0++1 ∴.sin0=0. (sina十cosa)2-l,故当已知sina十cosa时，sin acos 2 .(cos0+3)(sin0+1)=(1+3)(0+1)=4. 的结果唯-；由(sina-cosa)2=1-2 sin acos a,得sina 答案4 7.求证：ana·sine=ana十sine cosa=士√1-2 sin acos a.故当已知sina十cosa时， sina一c0sa的结果不唯一，所以甲同学说法错误，乙同学 tana-sin a tan a·sin a' 说法正确. 证明，左边=tana·sina sin a tan a-tan a.cos a 1-cos a 同理，由(sina-cosa)2=1-2 sin acos a,(sina十 右边=ana十tan_1十cose。 1-cos a cos a)2 =1 2sin acos a,sin a -cos a= tana·sina sin a sin a(1-cos a) 土√1-2 sin acos a,sina+cosa=±√+2 sin acos a. sin'a sin a 故当已知sin acos a时，sina-cosa,sina十cosa的结果 sin a(1-cos a)1-cos a 都不唯一，所以丙同学说法错误，丁同学说法正确。 7.2.4 诱导公式 第1课时a十k·2π(k∈Z),一a,π士a诱导公式 1.掌握诱导公式，并会应用公式求任意角的三角函数值 课标定位 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明. 素养阐释 3.加强直观想象、逻辑推理、数学运算能力的培养， 课前·基础认知 一、角a与a十k·2π(k∈Z)的三角函数值之 4 (2)上述公式可归纳为：终边相同的角，同名三角函数值 间的关系 相等。 【问题思考】 4.做一做：(1)sin6π= 1.角a十k·2π(k∈Z)与角a有什么关系？ (2)cos(-315°)= 提示终边相同. (3)tan 11 2.角a与a十k·2π(k∈Z)的三角函数值之间有什么 关系？ 答案a0(②号 (3)-1 提示它们的同名三角函数值相等。 二、角的旋转对称 3.填空：(1)sin(a十k·2x)=sima;cos(a十k·2x) cosa:tan(a十k·2π)=tana(k∈Z). 【问题思考】 1若角a与3的终边关于x轴对称，则a,β之间满足的 24
数 学 必修 第三册 配人教B版 解析 由 sinθ+cosθ sinθ-cosθ =2,得 sinθ+cosθ=2(sinθ- cosθ),两边平方,得1+2sinθcosθ=4(1-2sinθcosθ), 解得sinθcosθ= 3 10 . 答案 C 5.若sinα= 5 5 ,则sin4α-cos4α= . 解析 原式 =(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α- cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2× 1 5 -1=- 3 5 . 答案 - 3 5 6.若 sin2θ+4 cosθ+1 =2,则(cosθ+3)(sinθ+1)= . 解析 由条件 1-cos2θ+4 cosθ+1 =2,解得cosθ=1, ∴sinθ=0. ∴(cosθ+3)(sinθ+1)=(1+3)(0+1)=4. 答案 4 7.求证: tanα·sinα tanα-sinα = tanα+sinα tanα·sinα . 证明 ∵左边= tanα·sinα tanα-tanα·cosα = sinα 1-cosα , 右边= tanα+tanαcosα tanα·sinα = 1+cosα sinα = 1-cos2α sinα(1-cosα)= sin2α sinα(1-cosα)= sinα 1-cosα , ∴左边=右边,原等式成立. 挑战 创新 在研究有关“同角三角函数的基本关系”问题时,大家对其 中一个问题展开了激烈的讨论,对于“sinα+cosα,sinα- cosα,sinαcosα”有以下几种说法: 甲同学:已知sinα+cosα,可求解sinα-cosα,sinαcosα, 且结果都唯一; 乙同学:已知sinα+cosα,可求解sinα-cosα,sinαcosα, 且sinαcosα的结果唯一,sinα-cosα的结果不唯一; 丙同学:已知sinαcosα,可求解sinα-cosα,sinα+cosα, 且结果都唯一; 丁同学:已知sinαcosα,可求解sinα-cosα,sinα+cosα, 且结果都不唯一. 你认为谁的说法正确? 请说明理由. 解 由1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2,得sinαcosα= (sinα+cosα)2-1 2 ,故当已知sinα+cosα 时,sinαcosα 的结果唯一;由(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα,得sinα- cosα=± 1-2sinαcosα.故当已知sinα+cosα 时, sinα-cosα的结果不唯一,所以甲同学说法错误,乙同学 说法正确. 同理,由(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα,(sinα+ cosα)2 = 1 + 2sin αcos α,得 sin α - cos α = ± 1-2sinαcosα,sinα+cosα=± 1+2sinαcosα. 故当已知sinαcosα时,sinα-cosα,sinα+cosα的结果 都不唯一,所以丙同学说法错误,丁同学说法正确. 7.2.4 诱导公式 第1课时 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 诱导公式 课标定位 素养阐释 1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值. 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明. 3.加强直观想象、逻辑推理、数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之 间的关系 【问题思考】 1.角α+k·2π(k∈Z)与角α有什么关系? 提示 终边相同. 2.角α 与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间有什么 关系? 提示 它们的同名三角函数值相等. 3.填空:(1)sin(α+k·2π)=sinα;cos(α+k·2π)= cosα;tan(α+k·2π)=tanα(k∈Z). (2)上述公式可归纳为:终边相同的角,同名三角函数值 相等. 4.做一做:(1)sin6π= ; (2)cos(-315°)= ; (3)tan 11π 4 = . 答案 (1)0 (2) 2 2 (3)-1 二、角的旋转对称 【问题思考】 1.若角α与β的终边关于x 轴对称,则α,β之间满足的 24
第七章 三角函数 关系式是什么？ 四、角a与π士a的三角函数值之间的关系 提示B=2kπ-a,k∈Z. 【问题思考】 2填空：一般地，角。的终边和角B的终边关于角十里 1.如何用单位圆中的三角函数线推导sim(π十a),cos(π十 2 a),tan(π十a)与a的三角函数值之间的关系？ 的终边所在的直线对称。 提示π十a与a的终边互为反向延长线，sin(π十a)= 3.做一做：(1)30°角和一120°角的终边关于 sina,cos(π十a)=-cosa,tan(元十a)=tana 角的终边所在的直线对称： 2.能否用三角函数线找出π一a与a的三角函数值之间 (2)受+a与经-。的终边关于】 的终边所在 的关系？ 的直线对称 提示能 答案(1)-45°(2)元 3.填空：(1)sin(π-a)=sina:cos(π-a)=-cosa tan(π-a)=-tana. 三、角α与一α的三角函数值之间的关系 (2)sin(π十a)=-sina;cos(π十a)=-cosa;tan(π十 【问题思考】 a)=tan a. 1a与一a的终边有什么关系？ (3)a十k·2π(k∈Z),一a,π士a诱导公式可简记为：函 提示关于x轴对称 数名不变，符号看象限 2.能否借助于三角函数线研究a与一α的三角函数值 4.做一做：(1)sin150°= 之间的关系？ (2)tan210°= 提示能 (3)cos225°= 3.填空：(1)sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosg; (4)sin480°= tan(-a)=-tan a. (2)用语言可表述为：一α的三角函数，等于a的同名三 答案片 2)③ (3)2 2 2 角函数，前面加上将α看作锐角时原函数值的符号，即函数 【思考辨析】 名不变，符号看象限， 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 4.做一做：(1)sin(-45)= “√”，错误的画“X” (1)诱导公式中角a是任意角 (×) (2)公式sin(一a)=一sina,a是锐角才成立， (×) (3)tan(-750°)= (/) 答案)-号(e吗 (3)公式an(x+a)=1ana中，a=受不成立. (3)- 3 (4)tan(-π)=tan元. () 课堂 重难突破 探究一 求值问题 ×5-5×1=6-25 22 4 【例1】求下列各式的值 (1)tan405°-sin450°+cos750°： (2)sin315°sin(-1500)十cos(-1110°)tan675°； 2 (c) ①反思感悟 分析先利用诱导公式化为0°~90°内的角的三角函数 “一a”公式可起到化负角为正角的作用：“α十k· 再求值 2π，k∈Z”公式有把大角化为小角的作用：“π士a”公式可 把0一2π内角的三角函数化为0~π内角的三角函数. 解(1)原式=tan(360°+45)-sin(360°+90)十cos(2× 860+30)=am45-si90°+os30°=1-1+号-2 【变式训练1】求值. (2)原式=sin(360°-45)(-sin1500)+cos1110°· tan(2X360°-45°) =sin(-45°)[-sin(360°×4+60)]+cos(360°×3+ (2)cos- 30°)tan(-45°) (3)tan(-945). =sin45°sin60°-cos30°an45° 解1)原式=sin(2x+）os(-4r+君）+iam(-4r十 25
第七章 三角函数 关系式是什么? 提示 β=2kπ-α,k∈Z. 2.填空:一般地,角α的终边和角β的终边关于角 α+β 2 的终边所在的直线对称. 3.做一做:(1)30°角和-120°角的终边关于 角的终边所在的直线对称; (2) π 2 +α与 3π 2 -α的终边关于 的终边所在 的直线对称. 答案 (1)-45° (2)π 三、角α与-α的三角函数值之间的关系 【问题思考】 1.α与-α的终边有什么关系? 提示 关于x 轴对称. 2.能否借助于三角函数线研究α与-α的三角函数值 之间的关系? 提示 能. 3.填 空:(1)sin(-α)= -sinα;cos(-α)=cosα; tan(-α)=-tanα. (2)用语言可表述为:-α的三角函数,等于α的同名三 角函数,前面加上将α看作锐角时原函数值的符号,即函数 名不变,符号看象限. 4.做一做:(1)sin(-45°)= ; (2)cos - 13π 6 = ; (3)tan(-750°)= . 答案 (1)- 2 2 (2) 3 2 (3)- 3 3 四、角α与π±α的三角函数值之间的关系 【问题思考】 1.如何用单位圆中的三角函数线推导sin(π+α),cos(π+ α),tan(π+α)与α的三角函数值之间的关系? 提示 π+α与α的终边互为反向延长线,sin(π+α)= -sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα. 2.能否用三角函数线找出π-α与α的三角函数值之间 的关系? 提示 能. 3.填空:(1)sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα; tan(π-α)=-tanα. (2)sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=-cosα;tan(π+ α)=tanα. (3)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式可简记为:函 数名不变,符号看象限. 4.做一做:(1)sin150°= ; (2)tan210°= ; (3)cos225°= ; (4)sin480°= . 答案 (1) 1 2 (2) 3 3 (3)- 2 2 (4) 3 2 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)诱导公式中角α是任意角. (×) (2)公式sin(-α)=-sinα,α是锐角才成立. (×) (3)公式tan(π+α)=tanα中,α= π 2 不成立. (√) (4)tan(-π)=tanπ. (√) 课堂·重难突破 探究一 求值问题 【例1】求下列各式的值. (1)tan405°-sin450°+cos750°; (2)sin315°sin(-1500°)+cos(-1110°)tan675°; (3)cos - 31π 6 . 分析 先利用诱导公式化为0°~90°内的角的三角函数 再求值. 解 (1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2× 360°+30°)=tan45°-sin90°+cos30°=1-1+ 3 2 = 3 2 . (2)原式=sin(360°-45°)(-sin1500°)+cos1110°· tan(2×360°-45°) =sin(-45°)[-sin(360°×4+60°)]+cos(360°×3+ 30°)tan(-45°) =sin45°sin60°-cos30°tan45° = 2 2 × 3 2 - 3 2 ×1= 6-23 4 . (3)cos - 31π 6 =cos 31π 6 =cos4π+ 7π 6 =cos π+ π 6 =-cos π 6 =- 3 2 . “-α”公式可起到化负角为正角的作用;“α+k· 2π,k∈Z”公式有把大角化为小角的作用;“π±α”公式可 把0~2π内角的三角函数化为0~π内角的三角函数. 【变式训练1】求值. (1)sin 7π 3 cos - 23π 6 +tan - 15π 4 cos 13π 3 ; (2)cos 11π 6 sin 11π 3 -tan - 17π 4 ; (3)tan(-945°). 解 (1)原式=sin2π+ π 3 cos -4π+ π 6 +tan -4π+ 25