数学 必修 第三册 配人教B版 的三角函数线，再比较大小 得ina=M,ana=AT,又a=l, 解令a=行=5 所以S△0w= 乞·0A·MP=乞sina,SA载n= 2 如图所示，P1,P2分别是角 1 a,B的终边与单位圆的交点， OA==a.SANr=2.OA AT=2 tan a. M1P1,M2P2分别是角a,B的 又S△e<S角形hr<S△r,故sina<a<tana. 正弦线，A7i,A了，分别是角a, A(1,0) 反思感悟 B的正切线. 本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究 (1)IM1PI>1M2P21, 问题相应的几何解释，再由图形的相关性质解决问题， 且MP与M2P,都与y轴正 【变式训练3】已知a∈(o,),求证：1<sina十 (2)ATI>1AT21,且AT与A72都与y轴正方 0s 向相反m行<am号 4π 证明设角a的终边与单位圆交于P(x,y),过点P作 PQ⊥OA,PR⊥OB,Q,R为垂足，连接PA,PB,如图所示. 反思感悟… 利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大 小时，分三步：(1)作出角的终边与单位圆的交点： P(.y) (2)作出三角函数线：(3)比较三角函数线的数量的大 小，同时要注意符号。 【变式训练2】比较cos钙和cos严的大小 解知因，O,O:分别为角经，受的余孩找，由 IPQI=y=sin a,IOQl=x=cos a, 1O>1O1,且OM,Om与x轴正向相反知6ms钙> 又在△OPQ中，|QP|+IOQI>1OP1, .sina十cosa>l. 5π c057 ∴Sw=号1oA1·1QP1=2y= 2 sin a,= 号10B1.lRPl--m心-号X1= :S△np十S△Bn<S角a, 1 蟒上可知，1Ksna十osa<受 探究三利用三角函数线证明有关问题 思想方法 利用数形结合法解三角不等式 【例3】已知a∈(o,）,求证：sina<a<ana. 【典创】解关于x的不等式：smx≥xE[0,2x 证明如图所示，设角a的终边与单位圆交于点P,单 位圆交x轴正半轴于点A,作PM⊥x轴，PN⊥y轴，作 分析先作出sinx=气的三角函数线，研究sinx= AT⊥x轴，交a的终边于点T,由三角函数线定义， 时角x终边的位置，再求出x的范围」 解如图所示，在单位圆 2匹 3 中正弦鱼 =MN=PQ,在 区间[0,2x)内正弦值为 2 的 OM 角有两个，即管和 3·sinx≥ 16
数 学 必修 第三册 配人教B版 的三角函数线,再比较大小. 解 令α= 2π 3 ,β= 4π 5 . 如图所示,P1,P2 分别是角 α,β 的终边与单位圆的交点, M1P1 →,M2P2 → 分别是角α,β 的 正弦线,AT1 →,AT2 → 分别是角α, β的正切线. (1)∵|M1P1 →|>|M2P2 →|, 且M1P1 → 与 M2P2 → 都与y 轴正 方向一致,∴sin 2π 3 >sin 4π 5 . (2)∵|AT1 →|>|AT2 →|,且AT1 → 与AT2 → 都与y 轴正方 向相反,∴tan 2π 3 <tan 4π 5 . 利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大 小时,分三步:(1)作出角的终边与单位圆的交点; (2)作出三角函数线;(3)比较三角函数线的数量的大 小,同时要注意符号. 【变式训练2】比较cos 4π 7 和cos 5π 7 的大小. 解 如图,OM1 →,OM2 → 分别为角 4π 7 , 5π 7 的 余 弦 线,由 |OM2 →|>|OM1 →|,且OM2 →,OM1 → 与x 轴正向相反知cos 4π 7 > cos 5π 7 . 探究三 利用三角函数线证明有关问题 【例3】已知α∈ 0, π 2 ,求证:sinα<α<tanα. 证明 如图所示,设角α 的终边与单位圆交于点P,单 位圆交x 轴正半轴于点A,作 PM⊥x 轴,PN ⊥y 轴,作 AT⊥x 轴,交α的终边于点T,由三角函数线定义, 得sinα=M→P,tanα=A→T,又α=lA︵P, 所以S△AOP= 1 2 ·OA·MP= 1 2 sinα,S扇形AOP = 1 2 · lA︵P·OA= 1 2 ·lA︵P= 1 2 α,S△AOT= 1 2 ·OA·AT= 1 2 tanα. 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,故sinα<α<tanα. 本题的实质是数形结合思想,即要求找到与所研究 问题相应的几何解释,再由图形的相关性质解决问题. 【变式训练3】已知α∈ 0, π 2 ,求证:1<sinα+ cosα< π 2 . 证明 设角α的终边与单位圆交于P(x,y),过点P 作 PQ⊥OA,PR⊥OB,Q,R 为垂足,连接PA,PB,如图所示. ∵|PQ|=y=sinα,|OQ|=x=cosα, 又在△OPQ 中,|QP|+|OQ|>|OP|, ∴sinα+cosα>1. ∴S△OAP= 1 2 |OA|·|QP|= 1 2 y= 1 2 sinα,S△OBP= 1 2 |OB|·|RP|= 1 2 x= 1 2 cosα,S扇形OAB= π 4 ×12= π 4 . ∵S△OAP+S△OBP<S扇形OAB, ∴ 1 2 sinα+ 1 2 cosα< π 4 ,即sinα+cosα< π 2 . 综上可知,1<sinα+cosα< π 2 . 思 想 方 法 利用数形结合法解三角不等式 【典例】解关于x 的不等式:sinx≥ 3 2 ,x∈[0,2π). 分析 先作出sinx= 3 2 的三角函数线,研究sinx= 3 2 时角x 终边的位置,再求出x 的范围. 解 如图所示,在单位圆 中,正弦值 3 2 =MN=PQ,在 区间[0,2π)内正弦值为 3 2 的 角有两个,即 π 3 和 2π 3 .sinx≥ 16
第七章 三角函数 乞对应的角的终边落在阴影部分内，所以不等式的解集在 等，所以②错，①③④均正确 答案B 区间[0,2)内所对应的角的范围是「，2] 2.已知M,OM,AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切 L33 线，则下列结论正确的是( ①方法点睛 A.MP<OM<AT B.OM<MP<AT 利用三角函数线解三角不等式，一般先根据三角 C.AT<OM<MP D.OM<AT<MP 函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终 边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上相应点的 解析在△OMP中，易求in60=5 ,c0s60°=1 纵坐标，对余弦应在单位圆上找相应点的横坐标，根据 这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的 tan60°=√5，故OM<MP<AT 终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角 答案B 的范围 3.若角α的余弦线的长度为1，则角α的终边在 上 解析因为角a的余弦线的长度为1，所以角α的余弦线 【变式训练】利用单位圆中的三角函数线求满足 的数量为士1，所以角α的终边在x轴的正半轴上或负半 <。<号的角。的取值范围 轴上. 答案x轴 解如图，作直线x= 2 与单位圆相交。 4比较大小，m誓 7π 3π X- (2)tan6- tan4' 答案(1)<(2)> 5.作出a= 华的三角函数线。 解如图所示， 则图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即 2kx-<<2kx-吾或2kx+吾<a≤2kx+经k∈D. 3 随堂训练。。。●。。·● L.下列四个说法：①a一定时，单位圆中的正弦线一定：②单 位圆中，有相同正弦线的角相等；③a和a十π有相同的正 一票角的终边与单位圈文于点P,作PMLr轴于点 切线：④具有相同正切线的两个角终边在同一直线上.其 M,过点A(1,0)作AT交OP的反向延长线于点T,则 中错误的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 心，O成，A齐分别为-3江的正弦线、余弦线和正切线 4 解析②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相 课后·训练提升 L.如果角a(0α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且其 正弦、余弦的符号相异，那么角α的值为() c[后割 厝 A开 c 解析作直线y= 交单位圆于A,B两点，连接OA 2 解析易知角a的终边落在直线y=一x上，则α的值为 OB,则阴影部分即为角x的终边的范固」 学职 答案D 2在区同0,2问止，满起血≥号的：的取值范围为水 A.. R 17
第七章 三角函数 3 2 对应的角的终边落在阴影部分内,所以不等式的解集在 区间[0,2π)内所对应的角的范围是 π 3 , 2π 3 . 利用三角函数线解三角不等式,一般先根据三角 函数值的范围找出角的终边所在的区域,在找角的终 边所在的区域时,注意对正弦要找单位圆上相应点的 纵坐标,对余弦应在单位圆上找相应点的横坐标,根据 这些坐标找出单位圆上满足要求的弧,即可找到角的 终边所在的区域,再根据角的终边所在的区域写出角 的范围. 【变式训练】利用单位圆中的三角函数线求满足 - 1 2 ≤cosα< 3 2 的角α的取值范围. 解 如图,作直线x=- 1 2 ,x= 3 2 与单位圆相交. 则图中阴影部分就是满足条件的角α 的取值范围,即 2kπ- 2π 3 ≤α<2kπ- π 6 或2kπ+ π 6 <α≤2kπ+ 2π 3 (k∈Z). 随堂训练 1.下列四个说法:①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单 位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正 切线;④具有相同正切线的两个角终边在同一直线上.其 中错误的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 ②有相同正弦线说明角的终边相同,但角不一定相 等,所以②错,①③④均正确. 答案 B 2.已知M→P,O→M,A→T 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切 线,则下列结论正确的是( ) A.MP<OM<AT B.OM<MP<AT C.AT<OM<MP D.OM<AT<MP 解析 在 △OMP 中,易 求 sin60°= 3 2 ,cos60°= 1 2 , tan60°= 3,故OM<MP<AT. 答案 B 3.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在 上. 解析 因为角α的余弦线的长度为1,所以角α的余弦线 的数量为±1,所以角α的终边在x 轴的正半轴上或负半 轴上. 答案 x 轴 4.比较大小:(1)sin 4π 5 sin 3π 4 ; (2)tan 7π 6 tan 3π 4 . 答案 (1)< (2)> 5.作出α=- 3π 4 的三角函数线. 解 如图所示, - 3π 4 角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x 轴于点 M,过点A(1,0)作AT 交OP 的反向延长线于点T,则 M→P,O→M,A→T 分别为- 3π 4 的正弦线、余弦线和正切线. 课后·训练提升 1.如果角α(0<α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等,且其 正弦、余弦的符号相异,那么角α的值为( ) A. π 4 B. 3π 4 C. 7π 4 D. 3π 4 或 7π 4 解析 易知角α的终边落在直线y=-x 上,则α的值为 3π 4 或 7π 4 . 答案 D 2.在区间[0,2π]上,满足sinx≥ 2 2 的x的取值范围为( ) A.0, π 4 B. π 4 , 3π 4 C. π 6 , 2π 3 D. 5π 6 ,π 解析 作直线y= 2 2 交单位圆于A,B 两点,连接OA, OB,则阴影部分即为角x 的终边的范围. 17
数学 必修第三册 配人教B版 在区树[02上一的取值果合为[匠引 答案6·6] [5π7π 答案B 7.用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果为 3.在区间(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是 解析如图所示，易知M亦>|OM,且均为正，故sin1> A(于，2)U(x,) B(任) cos 1. c(任u() n(任，) 解析在单位圆上作出第一、第三象限的角平分线，由正 弦线和余弦线可知，应选D, 答案D 4.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系，有 ( 答案sin1>cos1 A.sin 1>sin 1.2>>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 8若点P是于的终边与单位圆的交点，则点P的坐标是 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析由三角函数线的定义 解折0<1<1.2<1.5<受如图， 可知点P的坐标为(cos于， 如)即停》 苦案（停） 9.作出一 些的正孩线余孩线和正切线。 .sin1<sin1.2<sin1.5,故选C 解无我出角一当的终边位置。 答案C -14=-4- 2π 3 5.依据三角函数线，作出如下四个判断： 一些的终道与一受的纸道相同。 它与单位圆的交点为P,由点P向工轴作垂线，垂足 4π 为M,过单位圆与x轴正向的交点A作圆的切线，与角α 其中判断正确的有() 终边的反向延长线交于点T,如图所示，正弦线为M匝，余 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 弦线为OM,正切线为AT 解析由正弦、余弦、正切的三角函数线可知②④正确。 答案B 6.在0到2内，使cosa≤- ?的角。的取值范围是 解析作直线工二一交单 2 14r 位圆于P,P'两点. 10若<x<受，设a=2,6=2,c=2,试比较 .α的终边落在如图所 0 a,b,c的大小 示的阴影部分， 解如图所示，M币，OM,A广分别是角a的正弦线、余弦 线、正切线，在△OMP中，有OM>OP-MP,可得 cos x>1-sin z. 18
数 学 必修 第三册 配人教B版 在区间[0,2π]上,x 的取值集合为 π 4 , 3π 4 . 答案 B 3.在区间(0,2π)内,使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是 ( ) A. π 4 , π 2 ∪ π, 5π 4 B. π 4 ,π C. π 4 ,π ∪ 5π 4 , 3π 2 D. π 4 , 5π 4 解析 在单位圆上作出第一、第三象限的角平分线,由正 弦线和余弦线可知,应选D. 答案 D 4.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系,有 ( ) A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 解析 ∵0<1<1.2<1.5< π 2 ,如图, ∴sin1<sin1.2<sin1.5,故选C. 答案 C 5.依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin π 6 =sin 7π 6 ;②cos - π 4 =cos π 4 ; ③tan π 8 >tan 3π 8 ;④sin 3π 5 >sin 4π 5 . 其中判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 由正弦、余弦、正切的三角函数线可知②④正确. 答案 B 6.在0 到 2π 内,使 cosα≤ - 3 2 的角α 的取值范围是 . 解析 作直线x=- 3 2 交单 位圆于P,P'两点. ∵cosα≤- 3 2 , ∴α 的终边落在如图所 示的阴影部分, ∴ 5π 6 ≤α≤ 7π 6 . 答案 5π 6 , 7π 6 7.用 三 角 函 数 线 比 较 sin1 和 cos1 的 大 小,结 果 为 . 解析 如图所示,易知|M→P|>|O→M|,且均为正,故sin1> cos1. 答案 sin1>cos1 8.若点P 是 π 4 的终边与单位圆的交点,则点P 的坐标是 . 解析 由三角函数线的定义 可知点P 的坐标为 cos π 4 , sin π 4 ,即 2 2 , 2 2 . 答案 2 2 , 2 2 9.作出- 14π 3 的正弦线、余弦线和正切线. 解 先找出角- 14π 3 的终边位置, ∵- 14π 3 =-4π- 2π 3 , ∴- 14π 3 的终边与- 2π 3 的终边相同. 它与单位圆的交点为P,由点P 向x 轴作垂线,垂足 为M,过单位圆与x 轴正向的交点A 作圆的切线,与角α 终边的反向延长线交于点T,如图所示,正弦线为 M→P,余 弦线为O→M,正切线为A→T. 10.若 π 4 <x< π 2 ,设a=21-sinx,b=2cosx,c=2tanx,试比较 a,b,c的大小. 解 如图所示,M→P,O→M,A→T 分别是角α的正弦线、余弦 线、正 切 线,在 △OMP 中,有 OM>OP -MP,可 得 cosx>1-sinx. 18
第七章三角函数 又AT>OA>OM,即tanx>1>cosx,于是 tan x>cos x>1-sin z. 因为函数y=2为增函数， 所以2-血1<21<2m OM 故a<b<c. 7.2.3同角三角函数的基本关系式 1.理解同角三角函数基本关系式的推导及应用， 课标定位 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 素养阐释 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养」 课前·基础认知 同角三角函数的基本关系式 【问题思考】 乞k∈2)成立？ 1.当角a取0°，30°，45°，60°时，分别计算式子sin2a十 提示利用三角函数的定义或三角函数线证明 cosa,in a,tana的值，从中你发现了什么规律？ 【思考辨析】 cos a 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 提示当a取0°，30°，45°，60°时，都有sin2a+c0s2a=1, “√”，错误的画“X” sin a=tan a. (1)对任意角a,sin23a十cos23a=1都成立. (√) cos a 2.sin2a十cos2a=1是否对任意角都成立？ sin a=tan a (2)对任意角a,一 =tan (X) cos a 号都成立。 cos 2 当a≠kx十受，k∈Z时是否都成立？ 提示是 （6因为sm要+o号=1，所以a十o9=1良 立，其中a,3为任意角。 (×) 3填空：ina十cosa=l:测C=ane(e≠kx+十受 cos a (4)对任意角a,sina=cosa·tana都成立， (×) (5)若sina=l,则cosa=0:若cosa=0,则sina=l. k∈Z) (X) 4.如何证明sina十cosa=1和nc=1ana(a≠k元十 cos a 课堂 重难突破 延伸探究 探究一 应用同角三角函数关系求值 1例1变为r已知m6=一号求casa,ame的值r 4 【例1】若sina=- 5,且a是第三象限角，求cosa, 4 解：sina=- tana的值， 50, 分析先利用平方关系求cosa,再利用商数关系求tana, .α为第三象限角或第四象限角」 4 解”sina=一5a是第三象限角， 当a是第三象限角时，cosa=一V一sima=一3 51 六cosa=-V-sia=-3 方4✉—5< tan a= sin a 4 cos a cos a 3 (-)=寺 当a是第四象限角时，cosa=V一sima= 5,tan a= 19
第七章 三角函数 又AT >OA >OM,即tanx>1>cosx,于 是 tanx>cosx>1-sinx. 因为函数y=2x 为增函数, 所以21-sinx <2cosx <2tanx . 故a<b<c. 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课标定位 素养阐释 1.理解同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养. 课前·基础认知 同角三角函数的基本关系式 【问题思考】 1.当角α 取0°,30°,45°,60°时,分别计算式子sin2α+ cos2α, sinα cosα ,tanα的值,从中你发现了什么规律? 提示 当α取0°,30°,45°,60°时,都有sin2α+cos2α=1, sinα cosα =tanα. 2.sin2α+cos2α=1是否对任意角都成立? sinα cosα =tanα 当α≠kπ+ π 2 ,k∈Z时是否都成立? 提示 是. 3.填空:sin2α+cos2α=1; sinα cosα =tanα α≠kπ+ π 2 , k∈Z . 4.如何证明sin2α+cos2α=1和 sinα cosα =tanα α≠kπ+ π 2 ,k∈Z 成立? 提示 利用三角函数的定义或三角函数线证明. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)对任意角α,sin23α+cos23α=1都成立. (√) (2)对任意角α, sin α 2 cos α 2 =tan α 2 都成立. (×) (3)因为sin29π 4 +cos2 π 4 =1,所以sin2α+cos2β=1成 立,其中α,β为任意角. (×) (4)对任意角α,sinα=cosα·tanα都成立. (×) (5)若sinα=1,则cosα=0;若cosα=0,则sinα=1. (×) 课堂·重难突破 探究一 应用同角三角函数关系求值 【例1】若sinα=- 4 5 ,且α 是第三象限角,求cosα, tanα的值. 分析 先利用平方关系求cosα,再利用商数关系求tanα. 解 ∵sinα=- 4 5 ,α是第三象限角, ∴cosα=- 1-sin2α=- 3 5 ,tanα= sinα cosα =- 4 5 × - 5 3 = 4 3 . 1.例1变为“已知sinα=- 4 5 ,求cosα,tanα的值”. 解 ∵sinα=- 4 5 <0, ∴α为第三象限角或第四象限角. 当α是第三象限角时,cosα=- 1-sin2α=- 3 5 , tanα= sinα cosα = 4 3 . 当α是第四象限角时,cosα= 1-sin2α= 3 5 ,tanα= 19
数学 必修第三册 配人教B版 cos a 3 (1)sin 0-cos0 √/1-2sin10cos10 (2 tan 0-1 sin10°-√1-sin210 4 2.已知tana= 解(1)原式=in0-cos0_ sin 0-cos 0 sin =cos 0. sin 0-cos 0 (1)求sina,cosa的值： cos 0 cos 0 sin acos a (2)求 i咖a-cosa的值 (2)原式= V(cos10°-sin10°)7 sin10°-√cos210 sin a 4 tan a= 解(1)由题意知 cos a 3' |cos10°-sin10l sin2a+cos2a=1, sin10°-cos10° 4 sin a=5 sina=、4 cos10°-sin10° · sin10°-cos10 解得 或 3 3 =-1. cos a=5 cos a=- 51 反思感悟 sin acos a 4 三角函数式化简的常用技巧与方法： sin acos a cos'a tan a (2 312 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦函数、余 sin'a-cos'a sin'a-cos'a ama-15-1 7 弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. cos'a 9 (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完 飞反思感悟… 全平方式，去根号达到化简的目的. 1.已知角α的某一种三角函数值，求角a的其余 (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式 三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平 分解，或构造sin2a十cos2a=1,以降低函数的次数，达 方关系，再用商数关系 到化简的目的. 2.若角α所在的象限已经确定，则求另两种三角 函数值时，只有一组结果：若角α所在的象限不确定， 【变式训练2】(1)若角α是第二象限角，化简： 则应分类讨论，一般有两组结果 ana√sia-l: 8 【变式训练】(I)若cosa=7求ana的值： (2)若角a是第三象限角，化简： 1+sin a (2)已知sina十3cosa=0,求sina,cosa的值. 1-sin a 解（1：ese=号>0， /1-sin a 1+sin a a是第一或第四象限角. 当a是第一象限角时，sina=√I-cosa= 解(1)原式=tama√ 1-sin a cos'a sin ax sin'a =tana√sima cos a √(-片ma-思只 cos a cos a 8 Isin al. 因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0, 当a是第四象限角时，sina=一√一cos2a 15 所以原式=sin axcos=如e×二ose=-1. ,tana-8 cos a sin al cos a sin a (2)''sin a+3cos a=0,'.sin a=-3cos a. (1+sin a) 又sin2a+cos2a=1, (2)原式=√1-ina)(1+sina） .'.(-3cos a)2+cosa=1,p 10cosa=1, (1-sin a)2 (1+sin a)(1-sin a) 生恩 (1+sin a)2 /(1-sin a)2 又由sina=-3cosa,可知sina与cosa异号， cos"a cos"a ∴.角α的终边在第二象限或第四象限 =1十sime_1-sine cos a cos a 当角a的终边在第二象限时，c0sa= 0 3 10 ,sin a=10 0: 2sin a 1 -lcos al 当角&的终边在第四象限时，cosa= 10 3. ,ina=- a是第三象限角，∴cosa<0. 原式=2sing=-2ana 探究二三角函数式的化简 -cos a 1sin a 1-sin a 【例2】化简下列各式. 即1一sina 1+sin a =-2tan a. 20
数 学 必修 第三册 配人教B版 sinα cosα =- 4 3 . 2.已知tanα= 4 3 . (1)求sinα,cosα的值; (2)求 sinαcosα sin2α-cos2α 的值. 解 (1)由题意知 tanα= sinα cosα = 4 3 , sin2α+cos2α=1, 解得 sinα= 4 5 , cosα= 3 5 或 sinα=- 4 5 , cosα=- 3 5 . (2) sinαcosα sin2α-cos2α = sinαcosα cos2α sin2α-cos2α cos2α = tanα tan2α-1 = 4 3 16 9 -1 = 12 7 . 1.已知角α的某一种三角函数值,求角α 的其余 三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平 方关系,再用商数关系. 2.若角α所在的象限已经确定,则求另两种三角 函数值时,只有一组结果;若角α 所在的象限不确定, 则应分类讨论,一般有两组结果. 【变式训练1】(1)若cosα= 8 17 ,求tanα的值; (2)已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值. 解 (1)∵cosα= 8 17 >0, ∴α是第一或第四象限角. 当 α 是 第 一 象 限 角 时,sin α = 1-cos2α = 1- 8 17 2 = 15 17 ,tanα= sinα cosα = 15 8 ; 当 α 是 第 四 象 限 角 时,sinα = - 1-cos2α = - 1- 8 17 2 =- 15 17 ,tanα=- 15 8 . (2)∵sinα+3cosα=0,∴sinα=-3cosα. 又sin2α+cos2α=1, ∴(-3cosα)2+cos2α=1,即10cos2α=1, ∴cosα=± 10 10 . 又由sinα=-3cosα,可知sinα与cosα异号, ∴角α的终边在第二象限或第四象限. 当角α的终边在第二象限时,cosα=- 10 10 ,sinα= 3 10 10; 当角α的终边在第四象限时,cosα= 10 10 ,sinα=- 3 10 10. 探究二 三角函数式的化简 【例2】化简下列各式. (1) sinθ-cosθ tanθ-1 ;(2) 1-2sin10°cos10° sin10°- 1-sin210° . 解 (1)原式= sinθ-cosθ sinθ cosθ -1 = sinθ-cosθ sinθ-cosθ cosθ =cosθ. (2)原式= (cos10°-sin10°)2 sin10°- cos210° = |cos10°-sin10°| sin10°-cos10° = cos10°-sin10° sin10°-cos10° =-1. 三角函数式化简的常用技巧与方法: (1)化切为弦,即把正切函数都化为正弦函数、余 弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完 全平方式,去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式 分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数的次数,达 到化简的目的. 【变式 训 练 2】(1)若 角α 是 第 二 象 限 角,化 简: tanα 1 sin2α -1; (2)若 角 α 是 第 三 象 限 角,化 简: 1+sinα 1-sinα - 1-sinα 1+sinα . 解 (1)原式=tanα 1-sin2α sin2α =tanα cos2α sin2α = sinα cosα × |cosα| |sinα| . 因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以原式= sinα cosα × |cosα| |sinα| = sinα cosα × -cosα sinα =-1. (2)原式= (1+sinα)2 (1-sinα)(1+sinα)- (1-sinα)2 (1+sinα)(1-sinα) = (1+sinα)2 cos2α - (1-sinα)2 cos2α = 1+sinα |cosα| - 1-sinα |cosα| = 2sinα |cosα| . ∵α是第三象限角,∴cosα<0. ∴原式= 2sinα -cosα =-2tanα. 即 1+sinα 1-sinα - 1-sinα 1+sinα =-2tanα. 20