数学必修 第三册 配人教B版 f）cs(x+）=如吾s吾+tam晋co吾= 反思感悟 2 三角函数式的化简方法： (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐 角的三角函数 (2)原式=oa(2x-若）sm(x-）+iam1 (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化 为弦函数。 =cos(-君）sim(-F）+tam(4r+于） 【变式训练2】化简. =-osnian (1)os(-a)1an(7+a) sin(π-a) -9×91 (2)sin1440+a)·cos(a-1080 cos(-180°-a)·sin(-a-180) =+1- 解(1)）cos(-a)tan(7r十a)-cos tan(x十a sin(π-a） -sin(-a） (3)tan(-945°)=-tan945°=-tan(2X360°+225°)= cosa·lamc=sinc=l. sin a sin a tan225°=-tan(180°+45)=-tan45°=-1. (2)原式=mC4X60e)·0s(3X360-e2- cos(180°+a)·[-sin(180°+a)] 探究二化简三角函数式 sina·cos(-a）=cosa 【例2】化简. (-cosa)·sina =-1. -cos a q)1十2sim290cos450 探究三证明三角恒等式 sin(-70)+cos790° (2sin(2x+）·os(2nr+5）a∈D. 【例3】设am(a+）=m,求证。 分析应用公式化简时，应尽量将角统一，大角化小角， sn+a)+3cos(a-l） m+3 能求值尽量求值 m+1 解(1)原式=+2im(360'-700s(360°牛70 sn(9-a）-os(e+2g） -sin70°+cos(720°+70°) [+(g+a)]+3a[e+g-3a] √1-2sin70°cos70° 证法一左边= -sin70°+cos70° [-e+】-[2+(a+)】 =1cos70°-sin701 cos70°-sin70° -sim(e+）-3cos(e+) sin70°-cos70° cos70°-sin70° -sm(e+）-cos(a+8) =-1 tan(+8）+3 (②)原式=mos誓=m(x-）o(x+晋）= tanfa+8）+l 血号x(-m)-×(》=-9 =m十3 m十右边，故等式成立 延伸探究 将例2(2)变为snum+）os(ux+智）n∈Z, 证法三由an(e+）=m,得1an(a+牙）=m, 左边= 解当n=2kk∈Z时，原式=如(2k+）o(2k十 sm[2x+(+a)]+3cos[2x-(号+a月 ）=- 4 sim[2x+-(号+a]-cos[2x+x+(号+a] 当n=2k十1，k∈Z时， sml停+a）+3os(号+a) 原式=sm(2kx十x+）os(2kx+x+）=sim(+ sm[-(停+a]-o[+(停+a)】 sin(号ta)+3cos(g+a） 故原文=一日 sin(牙+a)+cos(+a】 26
数 学 必修 第三册 配人教B版 π 4 cos 4π+ π 3 =sin π 3 cos π 6 +tan π 4 cos π 3 = 3 2 × 3 2 +1× 1 2 = 5 4 . (2)原式=cos2π- π 6 sin4π- π 3 +tan 17π 4 =cos - π 6 sin - π 3 +tan4π+ π 4 =-cos π 6 sin π 3 +tan π 4 =- 3 2 × 3 2 +1 =- 3 4 +1= 1 4 . (3)tan(-945°)=-tan945°=-tan(2×360°+225°)= -tan225°=-tan(180°+45°)=-tan45°=-1. 探究二 化简三角函数式 【例2】化简. (1) 1+2sin290°cos430° sin(-70°)+cos790° ; (2)sin2nπ+ 2π 3 ·cos2nπ+ 4π 3 (n∈Z). 分析 应用公式化简时,应尽量将角统一,大角化小角, 能求值尽量求值. 解 (1)原式= 1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°) -sin70°+cos(720°+70°) = 1-2sin70°cos70° -sin70°+cos70° = |cos70°-sin70°| cos70°-sin70° = sin70°-cos70° cos70°-sin70° =-1. (2)原式=sin 2π 3 cos 4π 3 =sin π- π 3 cos π+ π 3 = sin π 3 × -cos π 3 = 3 2 × - 1 2 =- 3 4 . 将例2(2)变为sinnπ+ 2π 3 cos nπ+ 4π 3 (n∈Z). 解 当n=2k,k∈Z时,原式=sin2kπ+ 2π 3 cos 2kπ+ 4π 3 =- 3 4 ; 当n=2k+1,k∈Z时, 原式=sin 2kπ+π+ 2π 3 cos2kπ+π+ 4π 3 =sin π+ 2π 3 cosπ+ 4π 3 =-sin 2π 3 cos π 3 =-sin π 3 cos π 3 =- 3 4 . 故原式=- 3 4 . 三角函数式的化简方法: (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐 角的三角函数. (2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化 为弦函数. 【变式训练2】化简. (1) cos(-α)tan(7π+α) sin(π-α) ; (2) sin(1440°+α)·cos(α-1080°) cos(-180°-α)·sin(-α-180°). 解 (1) cos(-α)tan(7π+α) sin(π-α) = cosαtan(π+α) -sin(-α) = cosα·tanα sinα = sinα sinα =1. (2)原 式 = sin(4×360°+α)·cos(3×360°-α) cos(180°+α)·[-sin(180°+α)] = sinα·cos(-α) (-cosα)·sinα = cosα -cosα =-1. 探究三 证明三角恒等式 【例3】设tanα+ 8π 7 =m,求证: sin 15π 7 +α +3cosα- 13π 7 sin 20π 7 -α -cosα+ 22π 7 = m+3 m+1 . 证法一 左边= sinπ+ 8π 7 +α +3cos α+ 8π 7 -3π sin4π-α+ 8π 7 -cos2π+α+ 8π 7 = -sinα+ 8π 7 -3cosα+ 8π 7 -sinα+ 8π 7 -cosα+ 8π 7 = tanα+ 8π 7 +3 tanα+ 8π 7 +1 = m+3 m+1 =右边,故等式成立. 证法二 由tanα+ 8π 7 =m,得tanα+ π 7 =m. 左边= sin 2π+ π 7 +α +3cos2π- π 7 +α sin 2π+π- π 7 +α -cos2π+π+ π 7 +α = sin π 7 +α +3cos π 7 +α sin π- π 7 +α -cosπ+ π 7 +α = sin π 7 +α +3cos π 7 +α sin π 7 +α +cos π 7 +α 26
第七章 三角函数 tam(牙ta)+3 【变式训练】化简：in()cos(二a(m∈D. cos[(n十1)π-a] tan(+a)+1 解当n=2k,k∈Z时， m+3 m十行右边， 原式=in(2kr十a)c0s(2kx-a)_sin(-a) c0s(2kπ十π-a) cos(π-a) 故等式成立 sin acos a -sin a; cos a ①反思感悟 当n=2k十1，k∈Z时， 1,三角恒等式的证明一般有三种方法：(1)一端化 简等于另一端：(2)两端同时化简使之等于同一个式 原式=sin(2kr+元十a)cos(2kx十x-a) cos(2k十2)π-a] 子：(3)作恒等式两端的差式使之为0. sin(π十a)cos(π-a) 2.证明条件恒等式一般有两种方法：一是在从被证 cos(-a) 等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证 =(-sin a)(-cosa) 等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件 =sin a cos a 等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法 随堂训练。。。。。。。 【变式训练3】已知tan(2x-a)=-2,求证： 1.下列各式不正确的是( ) 4sin2(4x-a)-3sin a.cos(-a)-5cosa=1. A.sin(a+180°)=-sina 证明左边=4sin2(-a）-3 sin acos a-5cos2a= B.cos(-a+B)=-cos(a-B) 4sin'a-3sin acos a-5cos'a 4sina-3sin acos a-5cosa C.sin(-a-360)=-sin a 1 sin a+cos a D.cos(-a-B)=cos(a+B) 4tan'a-3tan a-5 tan'a++1 解析cos(-a十B)=cos[-(a一B)]=cos(a-B). 图为tan(2r-a)=tan(-a)=-tana=-2, 答案B 所以ama=2,所以左边=4X23-3X2-5_16-6-5 2.点P(cos2019°，sin2019°)在( ) 22+1 5 A.第一象限 B.第二象限 1,所以4sin2(4π-a)-3sina·cos(-a)-5cos2a=1. C,第三象限 D.第四象限 思想方法 解析，2019°=5X360°+219°， .cos2019°=cos219°=-cos39°<0，sim2019°= 诱导公式中的分类讨论思想 sin219°=-sin39°<0，∴，P在第三象限」 【典例】设k为整数，化简： 答案C sin(kπ-a)cos[(k-1)π-a] sin[(k十1)π十a]cos(kπ十a)1 3 cos(360°+a)·sin(360°-a) 分析分k为奇数、及为偶数两种情况分别求解或利用 cos(-a)·sin(-a) 的化简结果为 角的交换求解。 解析原式=cosa·(一sina) cosa·(-sina) 解当k=2m,n∈Z时， 答案1 原式=n(2mx-a)cos[(2m-1)m-a] 4.sin4200°= sin[(2n+1)π十a]cos(2nr+a) =sin(-a)cos(-x-a) 解析sin4200°=sin(11×360°+240°)=sin240°= sin(π十a)cosa sin acos a -simn60°=-5 2 =一1： -sin acos a 当k=2m十1，n∈Z时， 答案一号 sin(2m元+π-a)cos(2nπ-a) 原式=si2m+2)+a]os[(2n+1)r+a门 5.求证：an(2r-a)sin(-2x-a)cos(6x-a) --tan a. cos(a一元)sin(5π一a) =sin(r-a)cos(-a) sin acos(π十a) 证明原式左边=os(2x-a·sin(-a)·cos(-a) sin(2π-a) sin acos a cos(x-a)sin(-a) sin a(-cos a) =-sina·（-sina)·cosa 综上，原式=一1. cosa·(-cosa)·sina 飞方法点晴 为了便于应用诱导公式化简求值，对于kπ(k∈Z) =一sine=一tana=右边， cos a 的情况，一般需把分成偶数和奇数两种情况， 原式得证」 27
第七章 三角函数 = tan π 7 +α +3 tan π 7 +α +1 = m+3 m+1 =右边, 故等式成立. 1.三角恒等式的证明一般有三种方法:(1)一端化 简等于另一端;(2)两端同时化简使之等于同一个式 子;(3)作恒等式两端的差式使之为0. 2.证明条件恒等式一般有两种方法:一是在从被证 等式一边推向另一边的适当时候将条件代入,推出被证 等式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件 等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法. 【变式 训 练 3】已 知 tan(2π-α)= -2,求 证: 4sin2(4π-α)-3sinα·cos(-α)-5cos2α=1. 证明 左 边 =4sin2 (-α)-3sinαcosα-5cos2α= 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α 1 = 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α sin2α+cos2α = 4tan2α-3tanα-5 tan2α+1 . 因为tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-2, 所以tanα=2,所以左边= 4×22-3×2-5 22+1 = 16-6-5 5 = 1,所以4sin2(4π-α)-3sinα·cos(-α)-5cos2α=1. 思 想 方 法 诱导公式中的分类讨论思想 【典例】设k为整数,化简: sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α] sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α). 分析 分k为奇数、k为偶数两种情况分别求解或利用 角的交换求解. 解 当k=2n,n∈Z时, 原式= sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α] sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α) = sin(-α)cos(-π-α) sin(π+α)cosα = sinαcosα -sinαcosα =-1; 当k=2n+1,n∈Z时, 原式= sin(2nπ+π-α)cos(2nπ-α) sin[(2n+2)π+α]cos[(2n+1)π+α] = sin(π-α)cos(-α) sinαcos(π+α) = sinαcosα sinα(-cosα)=-1. 综上,原式=-1. 为了便于应用诱导公式化简求值,对于kπ(k∈Z) 的情况,一般需把k分成偶数和奇数两种情况. 【变式训练】化简: sin(nπ+α)cos(nπ-α) cos[(n+1)π-α] (n∈Z). 解 当n=2k,k∈Z时, 原 式 = sin(2kπ+α)cos(2kπ-α) cos(2kπ+π-α) = sinαcos(-α) cos(π-α) = sinαcosα -cosα =-sinα; 当n=2k+1,k∈Z时, 原式= sin(2kπ+π+α)cos(2kπ+π-α) cos[(2k+2)π-α] = sin(π+α)cos(π-α) cos(-α) = (-sinα)(-cosα) cosα =sinα. 随堂训练 1.下列各式不正确的是( ) A.sin(α+180°)=-sinα B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sinα D.cos(-α-β)=cos(α+β) 解析 cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β). 答案 B 2.点P(cos2019°,sin2019°)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 ∵2019°=5×360°+219°, ∴cos2019°=cos219°=-cos39°<0,sin2019°= sin219°=-sin39°<0,∴P 在第三象限. 答案 C 3. cos(360°+α)·sin(360°-α) cos(-α)·sin(-α) 的化简结果为 . 解析 原式= cosα·(-sinα) cosα·(-sinα)=1. 答案 1 4.sin4200°= . 解析 sin4200°=sin(11×360°+240°)=sin240°= -sin60°=- 3 2 . 答案 - 3 2 5.求证: tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α) cos(α-π)sin(5π-α) =-tanα. 证明 原式左边= sin(2π-α) cos(2π-α) ·sin(-α)·cos(-α) cos(π-α)sin(π-α) = -sinα·(-sinα)·cosα cosα·(-cosα)·sinα =- sinα cosα =-tanα=右边, 原式得证. 27
数学 必修第三册 配人教B版 课后·训练提升 基础·巩固 解析：cos(5元十a)=一cosa=一2， 1s血当的值为 1 .'.c0sa= tana=±5， A c n-9 tan(a-9π)=-tan(9x-a)=tana=±√5. 答案士 解析血5=红）-如(》-一血号=号 7.已知角a的终边上一点P(3a,4a),a<0,则os(540°一a)= 答案D 3a 2.cos(-210)的值为( ) 解析cosa= 3a=- V(3a)2+(4a)z--5a 5,c0s(540°- A司 B-号 c n-号 ）=c0s(180°-a)=-c0sa=3 5 解析c0s(-210)=cos210°=c0s(180°+30°)= 答案是 -c0s30°=-5 21 8.化简 cos(2π十a)sin(4π-a) 答案D tan(-a-2x)cos(-a) 3.已知角0的终边过点(4，一3)，则cos(π一0)=( 解析原式=osaX(-sina) =1. (-tan a)cos a A音 R-告c是 n-号 答案1 9.求下列各式的值 解析，cos0= 4 .4 +(-3元=5， (1)a2sin(-1350)+b2tan405°-2 abcos(-1080): os(x-90=-0os0=-手 2sn(-g）+mgm 答案B 解(1)原式=a2sin(-4X360°+90)+b2tan(360°+45)- 2 abcos(-3X360)=a2sin90°+b2tan45°-2 abcos0°= 4.设A,B,C是一个三角形的三个内角，则①sin(A十B) a2+b2-2ab=(a-b)2. sinC;②cos(A十B)+cosC;③tan(A+B)十tanC(C≠ 受），这三个式子中值为常数的有( 12.tan 0 A1个 B.2个C.3个 D.0个 =sm(-2x+若）+cos号 -sm若+0=2 1 解析A十B十C=元，A十B=π一C. ∴.sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,cos(A+B)= cos(x-C)=-cosC,tan(A十B)=tan(元-C)=-tanC, 1a已知m(信-）=号求： .①②③式均为常数. 答案C ecos(管+a)的值： 5.若a,3满足a十B=2π，则下列式子中正确的个数是 (2 Dcoa-1）的值， ①sina=sinB;②sina=-sinB:③cosa=cosB:④tana= (3)sin(a-)的值 -tan B. A.1 B.2 C.3 D.4 解1cos(管+a)=os[+(e-若】=-cos(a 解析a十B=2π，a=2m一B, ∴.sina=sin(2x-β)=-sinB, )=-倍-)=-9 cos a=cos(2-B)=cos B, tan a=tan(2x-8)=-tan B, (2m(e-g）=o(gr-a)=om(告-a)-号 故②③④正确.∴选C 答案C 8)mr(a-）=[-(后-]=（告-） 6.已知cos(5x十a)=-,则ama一9n) 1-o(传-)=1-(）-子 28
数 学 必修 第三册 配人教B版 课后·训练提升 基础 巩固 1.sin 11π 3 的值为( ) A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 解析 sin 11π 3 =sin4π- π 3 =sin - π 3 =-sin π 3 =- 3 2 . 答案 D 2.cos(-210°)的值为( ) A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 解析 cos(-210°)=cos210°=cos(180°+30°)= -cos30°=- 3 2 . 答案 D 3.已知角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A. 4 5 B.- 4 5 C. 3 5 D.- 3 5 解析 ∵cosθ= 4 42+(-3)2 = 4 5 , ∴cos(π-θ)=-cosθ=- 4 5 . 答案 B 4.设A,B,C 是一个三角形的三个内角,则①sin(A+B)- sinC;②cos(A+B)+cosC;③tan(A+B)+tanC C≠ π 2 ,这三个式子中值为常数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 解析 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C. ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,cos(A+B)= cos(π-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC, ∴①②③式均为常数. 答案 C 5.若α,β满足α+β=2π,则下列式子中正确的个数是 ( ) ①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=cosβ;④tanα= -tanβ. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵α+β=2π,∴α=2π-β, ∴sinα=sin(2π-β)=-sinβ, cosα=cos(2π-β)=cosβ, tanα=tan(2π-β)=-tanβ, 故②③④正确.∴选C. 答案 C 6.已知cos(5π+α)=- 1 2 ,则tan(α-9π)= . 解析 ∵cos(5π+α)=-cosα=- 1 2 , ∴cosα= 1 2 ,∴tanα=± 3, tan(α-9π)=-tan(9π-α)=tanα=± 3. 答案 ± 3 7.已知角α的终边上一点P(3a,4a),a<0,则cos(540°-α)= . 解析 cosα= 3a (3a)2+(4a)2 = 3a -5a =- 3 5 ,cos(540°- α)=cos(180°-α)=-cosα= 3 5 . 答案 3 5 8.化简: cos(2π+α)sin(4π-α) tan(-α-2π)cos2(-α) = . 解析 原式= cosα×(-sinα) (-tanα)cos2α =1. 答案 1 9.求下列各式的值. (1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-2abcos(-1080°); (2)sin - 11π 6 +cos 12π 5 ·tan4π. 解 (1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)- 2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tan45°-2abcos0°= a2+b2-2ab=(a-b)2. (2)sin - 11π 6 +cos 12π 5 ·tan4π =sin -2π+ π 6 +cos 12π 5 ·tan0 =sin π 6 +0= 1 2 . 10.已知cos π 6 -α = 3 3 ,求: (1)cos 5π 6 +α 的值; (2)cosα- 13π 6 的值; (3)sin2 α- π 6 的值. 解 (1)cos 5π 6 +α =cos π+ α- π 6 =-cos α- π 6 =-cos π 6 -α =- 3 3 . (2)cosα- 13π 6 =cos 13π 6 -α =cos π 6 -α = 3 3 . (3)sin2 α- π 6 =sin2 - π 6 -α =sin2 π 6 -α = 1-cos2 π 6 -α =1- 3 3 2 = 2 3 . 28
第七章三角函数 拓展·提高 解析√1+2sin(元-2)·cos(π-2) 1.若cos(-80)=k,则tan80°=( ) =√/1-2sin2·cos2 A厚 B、个二 =v(sin 2-cos 2)=Isin 2-cos 21. k 2孤度在第二象限， C k .sin2>0>cos2,.原式=sin2-cos2. “√小-k D.- V1-k 答案C 解析（方法一）：c0s(-80)=k,∴.c0s80°=k, 5.设an(5x十a)=m,则ina十3x)+cos(x+a2的值等于 sin(-a)-cos(π十a) .sim80°=√1-k, tan80=如80=E c0s80° k 解析tan(5r十a)=ana=m,原式=二sina一cosc_ -sina十cosa (方法二)由c0s(一80°)=k,得c0s80°=k,,k>0. -tan a-1 -m-1m十1 又sim280°+cos280°=1，∴.tan280°+1 1 -tana+--m+i-m-子 c0s280°， 答案m十1 m8w-是-1=2】 k2tan80°=-2 m-1 k 6.已知A=sin(+a)+cos(kx十a (k∈Z),则由A的值 cos a 答案A sin a 构成的集合为」 2.已知sim(x-a)=loe},且a∈(-受.o）,则1am(2x 1 解析当及为偶数时，A=mC+0s0=2: sin a cos a a)的值为( A、6 当k为奇数时A=二sn0十二c0s8=一2， sin a cos a 5 B36 5 C± 5 2 答案{2，-2} 解析：log,}=1og2=- 1 3'sina=- 2 2 7.已知cosa=了a是第四象限角，求 又e(←告0小msa-v-点。 sin(a-2m)十sin(-a-3m)cos(a-3x的f值. cos(-a)-cos(--a)cos(a-4) tan(2x-a)=-tan a=-sina_25 2 5 cos a 5 解由已知cosa= 3a是第四象限角，得sina= 答案B sin(a-2x)+sin(-a-3m)cos(a-3x) 3.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( c0s(π-a)-cos(-T-a)c0s(a-4π) A 3 c -cosa十cos2a 2 解析原式=sin230°十sin245°+2sin(180°+30)+ 挑战·创新 m0+6=(号》++(-2mn+(-〉- 证明：os(9+4r)cos2(0+)sin2(0+3m) =cos(9m-0). +-1+= sin(0-4π)sin(5π+0)cos2(-π-0) 证明：右边=cos(8元十元一0)=cos(元一0)=一cos0,左 答案A 边 cos0·cos20·sin20 4.化简√1+2sin(π-2)·cos(π-2)的结果为( sin0·（-sin0)·(cos20)=-cos, 左边=右边，等式成立 A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2 C.sin 2-cos 2 D.土(cos2-sin2) 第2课时 2 3π士a诱子公式 土 课标定位 1.掌握角号士e,士e与角。的三角画教值之问的关系。 素养阐释 2.能综合应用公式进行三角函数的求值、化简和证明 3.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养 29
第七章 三角函数 拓展 提高 1.若cos(-80°)=k,则tan80°=( ) A. 1-k2 k B.- 1-k2 k C. k 1-k2 D.- k 1-k2 解析 (方法一)∵cos(-80°)=k,∴cos80°=k, ∴sin80°= 1-k2 , ∴tan80°= sin80° cos80° = 1-k2 k . (方法二)由cos(-80°)=k,得cos80°=k,∴k>0. 又sin280°+cos280°=1,∴tan280°+1= 1 cos280° , ∴tan280°= 1 k2-1= 1-k2 k2 ,∴tan80°= 1-k2 k . 答案 A 2.已知sin(π-α)=log8 1 4 ,且α∈ - π 2 ,0 ,则tan(2π- α)的值为( ) A.- 25 5 B. 25 5 C.± 25 5 D. 5 2 解析 ∵log8 1 4 =log2 32-2=- 2 3 ,∴sinα=- 2 3 . 又α∈ - π 2 ,0 ,∴cosα= 1-sin2α= 5 3 , ∴tan(2π-α)=-tanα=- sinα cosα = 25 5 . 答案 B 3.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( ) A. 1 4 B. 3 4 C. 11 4 D. 9 4 解析 原 式 =sin230°+sin245°+2sin(180°+30°)+ cos2(180°+45°)= 1 2 2 + 2 2 2 +(-2sin30°)+ - 2 2 2 = 1 4 + 2 4 -1+ 2 4 = 1 4 . 答案 A 4.化简 1+2sin(π-2)·cos(π-2)的结果为( ) A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.±(cos2-sin2) 解析 1+2sin(π-2)·cos(π-2) = 1-2sin2·cos2 = (sin2-cos2)2 =|sin2-cos2|. ∵2弧度在第二象限, ∴sin2>0>cos2,∴原式=sin2-cos2. 答案 C 5.设tan(5π+α)=m,则 sin(α+3π)+cos(π+α) sin(-α)-cos(π+α) 的值等于 . 解析 tan(5π+α)=tanα=m,原式= -sinα-cosα -sinα+cosα = -tanα-1 -tanα+1 = -m-1 -m+1 = m+1 m-1 . 答案 m+1 m-1 6.已知A= sin(kπ+α) sinα + cos(kπ+α) cosα (k∈Z),则由A 的值 构成的集合为 . 解析 当k为偶数时,A= sinα sinα + cosα cosα =2; 当k为奇数时,A= -sinα sinα + -cosα cosα =-2. 答案 {2,-2} 7.已知cosα= 2 3 ,α是第四象限角,求 sin(α-2π)+sin(-α-3π)cos(α-3π) cos(π-α)-cos(-π-α)cos(α-4π) 的值. 解 由已知cosα= 2 3 ,α是第四象限角,得sinα=- 5 3 , 故 sin(α-2π)+sin(-α-3π)cos(α-3π) cos(π-α)-cos(-π-α)cos(α-4π) = sinα-sinαcosα -cosα+cos2α = 5 2 . 挑战 创新 证明: cos(θ+4π)cos2(θ+π)sin2(θ+3π) sin(θ-4π)sin(5π+θ)cos2(-π-θ) =cos(9π-θ). 证明 ∵右边=cos(8π+π-θ)=cos(π-θ)=-cosθ,左 边= cosθ·cos2θ·sin2θ sinθ·(-sinθ)·(cos2θ) =-cosθ, ∴左边=右边,∴等式成立. 第2课时 π 2 ±α, 3π 2 ±α 诱导公式 课标定位 素养阐释 1.掌握角 π 2 ±α, 3π 2 ±α与角α的三角函数值之间的关系. 2.能综合应用公式进行三角函数的求值、化简和证明. 3.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养. 29
数学 必修第三册 配人教B版 课前·基础认知 一、角。与5-Q的三角函数值之间的关系 提示sm(受+a)=sm[x+(经+a】=-sim(受+ 【问题思考】 a)=-cosa; 1.当a∈(0，受)时，a与受-a的三角函数值之间有什 么关系？ cos(竖+a）=os[k+(受ta】=-cos(g+a) sin a 提示sin(5-a）=osa,cos(5-a）=sina, 2.若α为任意角，上面问题1中的结论是否依然成立？ m竖-a)=sm[+(受-a】=-m(受-a) 提示成立 3填空：sim(受-a）-eose:os(受-a）=迪e os(%-a)-os[x+(侵-a】=-cas(受-a) 4.做一做：把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 -sin a. 的三角函数. (1)sin72°= 2填空：1)sin(+a）=-ose,os(经+a）=me (2)c0s61°= 答案(1)cos18°(2)sin29° (2)sin(经-a)=-se,ows(5-a）=-ne: 二、角a与十。的三角函数值之间的关系 (3)受±，受±a诱导公式的记忆： 【问题思考】 角士a,受±士a的正弦（余弦）函数值，分别等于角a的 1.将公式sim(受-a）=osa,co(受-a）=me中的 余弦（正弦）函数值，前面加上一个把角α看成锐角时原函数 a换成-a,是否仍成立？ 值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余 提示成立.sim(号ta)=cos(-a)=osa,6os(受十 变正，符号象限定”， 3.做一做：把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 a)=sin(-a)=-sin a. 的三角函数 (1)sin230°= 2.填空：sin(2+a）=s(受十a）=-sine, (2)c0s301°= 3.做一做：把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 答案(1)-cos40°(2)sin31° 的三角函数. 【思考辨析】 (1)sin145°= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 (2)c0s105°= 答案(1)sin35°(2)-sim15° “/”,错误的画“X” 三、角。与士的三角函数值之何的关系 (1)受±a,受士a诱导公式中的角只能是锐角。 (×) (2)sin269°=-sin1°. (X) 【问题思考】 1试用角。的三角函数表示角受±a的正弦和余弦。 (3)c0s330°=-c0s30°= 2 (×) 课堂·重难突破 探究一三角函数求值 -sim(90°+30)=-c0s30°=-5 2 【例1】求下列各三角函数值， (2)原式=c0s1560°=c0s(360°×4十120°)=c0s120°= (1)sin(-1920°)： (2)c0s(-1560°)： m(0+30=-s80r=号 am(-1） (3)原式=-tan =-m(-)=m无意义 解(1)原式=-sin1920°=-sin(360°×5十120)= 30
数 学 必修 第三册 配人教B版 课前·基础认知 一、角α与 π 2 -α的三角函数值之间的关系 【问题思考】 1.当α∈ 0, π 2 时,α与 π 2 -α的三角函数值之间有什 么关系? 提示 sin π 2 -α =cosα,cos π 2 -α =sinα. 2.若α为任意角,上面问题1中的结论是否依然成立? 提示 成立. 3.填空:sin π 2 -α =cosα;cos π 2 -α =sinα. 4.做一做:把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 的三角函数. (1)sin72°= ; (2)cos61°= . 答案 (1)cos18° (2)sin29° 二、角α与 π 2 +α的三角函数值之间的关系 【问题思考】 1.将公式sin π 2 -α =cosα,cos π 2 -α =sinα中的 α换成-α,是否仍成立? 提示 成立.sin π 2 +α =cos(-α)=cosα,cos π 2 + α =sin(-α)=-sinα. 2.填空:sin π 2 +α =cosα;cos π 2 +α =-sinα. 3.做一做:把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 的三角函数. (1)sin145°= ; (2)cos105°= . 答案 (1)sin35° (2)-sin15° 三、角α与 3π 2 ±α的三角函数值之间的关系 【问题思考】 1.试用角α的三角函数表示角 3π 2 ±α的正弦和余弦. 提示 sin 3π 2 +α =sin π+ π 2 +α =-sin π 2 + α =-cosα; cos 3π 2 +α =cos π+ π 2 +α = -cos π 2 +α = sinα; sin 3π 2 -α =sin π+ π 2 -α = -sin π 2 -α = -cosα; cos 3π 2 -α =cos π+ π 2 -α = -cos π 2 -α = -sinα. 2.填空:(1)sin 3π 2 +α =-cosα,cos 3π 2 +α =sinα; (2)sin 3π 2 -α =-cosα,cos 3π 2 -α =-sinα; (3) π 2 ±α, 3π 2 ±α诱导公式的记忆: 角 3π 2 ±α, π 2 ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于角α的 余弦(正弦)函数值,前面加上一个把角α看成锐角时原函数 值的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余 变正,符号象限定”. 3.做一做:把下列各角的三角函数化为0°到45°之间角 的三角函数. (1)sin230°= ; (2)cos301°= . 答案 (1)-cos40° (2)sin31° 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1) π 2 ±α, 3π 2 ±α诱导公式中的角只能是锐角. (×) (2)sin269°=-sin1°. (×) (3)cos330°=-cos30°=- 3 2 . (×) 课堂·重难突破 探究一 三角函数求值 【例1】求下列各三角函数值. (1)sin(-1920°); (2)cos(-1560°); (3)tan - 15π 2 ; (4)tan - 17π 6 . 解 (1)原式=-sin1920°=-sin(360°×5+120°)= -sin(90°+30°)=-cos30°=- 3 2 . (2)原式=cos1560°=cos(360°×4+120°)=cos120°= cos(90°+30°)=-sin30°=- 1 2 . (3)原式=-tan 15π 2 =-tan8π- π 2 =tan π 2 ,无意义. 30