第七章 三角函数 25 限依次为：第一象限全为正：第二象限正弦为正：第三象限正 .'sin a= coS a= 5,tan a= 切为正：第四象限余弦为正。 义2 (3) 角a sin a cos a tan a 答案25-5 5 5 a=2kπ(k∈Z) 0 1 0 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 0 不存在 【问题思考】 a=2kx+受k∈刀 1不求值，你能香判断s如（一）o(-）,m(←-红） a=2kπ十π(k∈Z) 0 -1 0 的符号？ 8=2kx+受k∈刀 1 0 不存在 提示能.-要是第三象限角，设P(红)是e终边上 3.做一做：若cosa>0,tana<0,则角a是第 象限角 任-点，则x<0y<0r=+可>0，故im(-） 答案四 ￥<0，os(-3）=<0,ta(-3）=￥>0， 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 2.填空： “√”，错误的画“X”. (1)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量，以比值 为函数值的函数 (√) 并卡用 (2)若sina=sin3,则a=3. (X) (3)已知a是三角形的内角，则必有sina>0. (√) sina tan o (4)存在角a,使sina<0,cosa<0,tana<0. (×) (2)三角函数符号的记忆口诀 (5)角α的三角函数值随点P在α终边的位置不同而 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象 不同 (X) 课堂重难突破 探究一三角函数的定义 【变式训练1】已知角。的终边上一点P(1,-马)， 【例1】若点P(2m,-3m)(m>0)是角a的终边上 求sina,cosa,tana的值， 点，求sina,cosa,tana的值. 解=+(-T= 解设x=2m,y=-3m,:m>0 3 ∴r=√x2+y7=√4m2+9m=√13m 3 1 4 ..sin a= ina=义=3m=-3vE 2m 5 5 cos a= 5,tan a=- r√13m 13 ,cos a=- √/13m 2√13 3 r 2m 2 延伸探究 探究二三角函数符号的判断 例1中，若将m>0变为m<0,其他不变，求sina, cosa,tana的值. 【例2】判断下列各式的符号 解设x=2m,y=-3m, (1)sin2020°cos2021°tan2022°： (2)tan191°-cos191°； m<0,r=√x2+y2=-√3m.∴.sina= (3)sin 2cos 3tan 4. 3√1 ,cosa== 2√3 分析先判断角所在的象限，再判断相应三角函数值的 13 13 符号」 飞反思感悟 利用三角函数的定义求角的三角函数值的步骤： 解(1)，2020°=5×360°+220°，2021°=5×360°+ (I)确定任意角a的终边上一点的坐标P(x,y) 221°，2022°=5×360°+222°， (2)求出点P到坐标原点的距离r=√2十y2. .它们都是第三象限角， ∴.sin2020°<0，cos2021°<0，tan2022>0, (3)代入任意角三角函数的定义求值. ..sin2020°cos2021°tan2022>0. 11
第七章 三角函数 ∴sinα= y r = - 25 5 ,cosα= x r = - 5 5 ,tanα= y x =2. 答案 - 25 5 - 5 5 2 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 【问题思考】 1.不求值,你能否判断sin - 3π 4 ,cos - 3π 4 ,tan - 3π 4 的符号? 提示 能.- 3π 4 是第三象限角,设P(x,y)是α 终边上 任一点,则x<0,y<0,r= x2+y 2 >0,故sin - 3π 4 = y r <0,cos - 3π 4 = x r <0,tan - 3π 4 = y x >0. 2.填空: (1)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (2)三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”,即按象 限依次为:第一象限全为正;第二象限正弦为正;第三象限正 切为正;第四象限余弦为正. (3) 角α sinα cosα tanα α=2kπ(k∈Z) 0 1 0 α=2kπ+ π 2 (k∈Z) 1 0 不存在 α=2kπ+π(k∈Z) 0 -1 0 α=2kπ+ 3π 2 (k∈Z) -1 0 不存在 3.做 一 做:若 cosα>0,tanα<0,则 角 α 是 第 象限角. 答案 四 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)三角函数也是函数,它们都是以角为自变量,以比值 为函数值的函数. (√) (2)若sinα=sinβ,则α=β. (×) (3)已知α是三角形的内角,则必有sinα>0. (√) (4)存在角α,使sinα<0,cosα<0,tanα<0. (×) (5)角α的三角函数值随点P 在α 终边的位置不同而 不同. (×) 课堂·重难突破 探究一 三角函数的定义 【例1】若点P(2m,-3m)(m>0)是角α的终边上一 点,求sinα,cosα,tanα的值. 解 设x=2m,y=-3m,∵m>0, ∴r= x2+y 2 = 4m2+9m2 = 13m. ∴sinα= y r = -3m 13m =- 3 13 13 ,cosα= x r = 2m 13m = 2 13 13 ,tanα= y x = -3m 2m =- 3 2 . 例1中,若将 m >0变为 m <0,其他不变,求sinα, cosα,tanα的值. 解 设x=2m,y=-3m, ∵m<0,∴r= x2+y 2 =- 13m.∴sinα= y r = 3 13 13 ,cosα= x r =- 2 13 13 ,tanα= y x =- 3 2 . 利用三角函数的定义求角的三角函数值的步骤: (1)确定任意角α的终边上一点的坐标P(x,y). (2)求出点P 到坐标原点的距离r= x2+y 2 . (3)代入任意角三角函数的定义求值. 【变式训练1】已知角α 的终边上一点P 1,- 3 4 , 求sinα,cosα,tanα的值. 解 ∵r= 12+ - 3 4 2 = 5 4 , ∴sinα= - 3 4 5 4 =- 3 5 ,cosα= 1 5 4 = 4 5 ,tanα= - 3 4 1 = - 3 4 . 探究二 三角函数符号的判断 【例2】判断下列各式的符号. (1)sin2020°cos2021°tan2022°; (2)tan191°-cos191°; (3)sin2cos3tan4. 分析 先判断角所在的象限,再判断相应三角函数值的 符号. 解 (1)∵2020°=5×360°+220°,2021°=5×360°+ 221°,2022°=5×360°+222°, ∴它们都是第三象限角, ∴sin2020°<0,cos2021°<0,tan2022°>0, ∴sin2020°cos2021°tan2022°>0. 11
数学 必修第三册 配人教B版 (2),191°角是第三象限角， .tan191>0,cos191<0, m0=￥= -4t os0-- tan191°-cos191>0. an=义=二=-4 x 3t 31 (3:受<2<，<3<K4 当t<0时，点P到原点的距离|OP|=r= ,2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， V(3)2+(-4=-5t,sim0=义=二=4. .'.sin 2>>0,cos 3<0,tan 4>0, 5t=5,cos0= .∴sin2cos3tan4<0. 3t 3 r 53t=-3 飞反思感悟 -5-5,an0=y=二4 1.三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由 ①方法点睛 各象限内的点的坐标的符号得出的. 由x=3t,y=4t,得r=√x2+y=5ltl,由于t 2.符号规律：第一象限全是正值，第二象限正弦是 0,故需分t>0,t<0两种情况求解。 正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值 【变式训练】若角a的终边落在直线y=2x上，则 【变式训练2】下列各三角函数值：①sin1125°； sina的值为 ②m晋·一晋，⑧温其中为负值的个数是 解析当角的终边在第一象限时，在角的终边上取，点 解析由1125°=1080°+45°，知1125°角是第一象限 p1,2》,由r=0P1=+2=5,得sima=后=5 225 角：所以如125>0：因为晋=2x十竖所以登是第三 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取，点Q(一1 -2),由r=|OQ|=W(-1)2十(-2)2=√5，得sina= 象限角，所以m管>0s<0，故m·m登 37π -2 25 0;因为3孤度的角在第二象限，所以sin3>0,tan3<0,故 5 5 u0 答案±25 5 答案2 随堂训练 探究三应用三角函数的符号求参数值（或 范围) 1.若角8的终边经过点一 31 22 ),则tan0=( 【例3】已知角a的终边上一点P(3a-9,a+2),且 C.5 D、③ 3 cosa0,sina>0,求实数a的取值范围， 2 分析P(x,y)是a的终边上一点，cosa≤0，则x0: 解析x二一 1 2y=2,故an0=y √3 = 3 sina>0,则y>0. 答案D 解由题意可知，3a-9≤0，a十2>0， 2.若sina<0,cosa>0,则角a是第 象限角 ∴.a3,且a>-2 ∴.-2<a≤3. 答案四 【变式训练3】已知角a的终边上一点P(8,x),且 3.若|sinx=-sinx,则角x的取值集合是 sina=7,tana<0,求x的值. 解析由|sinx|=一sinx知sinx≤0，得x∈[2kπ-π， 2kπ](k∈Z). 解由ana=g<0,得z<0, 答案[2kπ-π，2kπ](k∈Z) .'sin a=- 8+-178+x2=17 4.设函数f(0)=√3sin0十cos0,其中角0的顶点与坐标原 点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(x,y), ∴.x2=225,.x=-15. 思想方法 且0区≤元若点P的坐标为（号，），求0的值 22 用分类讨论的思想求三角函数值 解由点P的坐标为（分，）和三角函数定义得m0 【典例】已知角0的终边经过点P(3t,一4t),t≠0，求 sin0,cos0,tan0的值. 2,所以f0)=5sin0+cos0=5x 2 解当t>0时，点P到原点的距离|OP|=r= √(3t)2+(-4t)7=5t, 22 12
数 学 必修 第三册 配人教B版 (2)∵191°角是第三象限角, ∴tan191°>0,cos191°<0, ∴tan191°-cos191°>0. (3)∵ π 2 <2<π, π 2 <3<π,π<4< 3π 2 , ∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角, ∴sin2>0,cos3<0,tan4>0, ∴sin2cos3tan4<0. 1.三角函数值的符号是根据三角函数的定义,由 各象限内的点的坐标的符号得出的. 2.符号规律:第一象限全是正值,第二象限正弦是 正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值. 【变 式 训 练 2】下 列 各 三 角 函 数 值:①sin1125°; ②tan 37π 12 ·sin 37π 12 ;③ sin3 tan3 ,其中为负值的个数是 . 解析 由1125°=1080°+45°,知1125°角是第一象限 角,所以sin1125°>0;因为 37π 12 =2π+ 13π 12 ,所以 37π 12 是第三 象限角,所以tan 37π 12 >0,sin 37π 12 <0,故tan 37π 12 ·sin 37π 12 < 0;因为3弧度的角在第二象限,所以sin3>0,tan3<0,故 sin3 tan3 <0. 答案 2 探究三 应用三角函数的符号求参数值(或 范围) 【例3】已知角α 的终边上一点P(3a-9,a+2),且 cosα≤0,sinα>0,求实数a的取值范围. 分析 P(x,y)是α的终边上一点,cosα≤0,则x≤0; sinα>0,则y>0. 解 由题意可知,3a-9≤0,a+2>0, ∴a≤3,且a>-2. ∴-2<a≤3. 【变式训练3】已知角α 的终边上一点P(8,x),且 sinα= x 17 ,tanα<0,求x 的值. 解 由tanα= x 8 <0,得x<0. ∵sinα= x 82+x2 = x 17 ,∴82+x2=172. ∴x2=225,∴x=-15. 思 想 方 法 用分类讨论的思想求三角函数值 【典例】已知角θ的终边经过点P(3t,-4t),t≠0,求 sinθ,cosθ,tanθ的值. 解 当t>0 时,点 P 到 原 点 的 距 离|OP|=r= (3t)2+(-4t)2 =5t, ∴sinθ= y r = -4t 5t = - 4 5 ,cosθ= x r = 3t 5t = 3 5 , tanθ= y x = -4t 3t =- 4 3 . 当t<0 时,点 P 到 原 点 的 距 离|OP|=r = (3t)2+(-4t)2 =-5t,∴sinθ= y r = -4t -5t = 4 5 ,cosθ= x r = 3t -5t =- 3 5 ,tanθ= y x = -4t 3t =- 4 3 . 由x=3t,y=4t,得r= x2+y 2 =5|t|,由于t≠ 0,故需分t>0,t<0两种情况求解. 【变式训练】若角α 的终边落在直线y=2x 上,则 sinα的值为 . 解析 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点 P(1,2),由r=|OP|= 12+22 = 5,得sinα= 2 5 = 25 5 . 当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1, -2),由r=|OQ|= (-1)2+(-2)2 = 5,得sinα= -2 5 =- 25 5 . 答案 ± 25 5 随堂训练 1.若角θ的终边经过点 - 3 2 , 1 2 ,则tanθ=( ) A. 1 2 B.- 3 2 C.3 D.- 3 3 解析 x=- 3 2 ,y= 1 2 ,故tanθ= y x =- 3 3 . 答案 D 2.若sinα<0,cosα>0,则角α是第 象限角. 答案 四 3.若|sinx|=-sinx,则角x 的取值集合是 . 解析 由|sinx|=-sinx 知sinx≤0,得x∈[2kπ-π, 2kπ](k∈Z). 答案 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 4.设函数f(θ)= 3sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原 点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点P(x,y), 且0≤θ≤π.若点P 的坐标为 1 2 , 3 2 ,求f(θ)的值. 解 由点P 的坐标为 1 2 , 3 2 和三角函数定义得sinθ= 3 2 ,cosθ= 1 2 ,所以f(θ)= 3sinθ+cosθ= 3× 3 2 + 1 2 =2. 12
第七章三角函数 课后·训练提升 基础：巩固 则sina十cosa= 解析，x=1,y=5,∴r=√m2+25, 1.如果角a的终边过点P(2sin30°，-2cos30),那么sina 的值等于() cosa= r vm2+25131 A日 B-司 c-9 D. .√m2+25=13,m2=144, ,.m=士12， 解析.2sin30°=1，一2cos30°=一√3， P(1,-5) 六c0sa=土2 ti3,而sina=之=5 r13 六r=√12+(-5)2=2，sima=-20s30°_ √3 17 7 2 sima十cosa=i3或一i3 答案C 答案品政-日 2设a=-要，则me,ame的值分别为( 7.设a是三角形的一个内角，在sina,cosa,lana,lan受中 A.一1：不存在 B.1;不存在 有可能取负值的是 C.-1;0 D.1:0 解析因为α是三角形的内角，所以α可能是锐角、直角、 解析-受=一2一受故-受的终边在)轴的负半轴。 锐角而 一定是锐角，所以cosa和tana可能取负值. 在其终边上取，点(0，一l),由此可知sina=一1，tana的值 不存在 答案cosa和tana 答案A 8.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若 3.已知P(x,4)是角0终边上一点，且tan0=- 2 ，则x的 P6,)是角0终边上一点，且m0=-25则y 值为( A.10 C.-10 D.- 解析，'sin0= y 25 5 √/4+y 5 解析：tan0=4 5x=-10. y<0,且y2=64,y=-8. 答案一8 答案C 9.已知角a的终边过点P(5,-l2),求sina,cosa,tana的值. 4.若角a满足sin acos a<0,cosa一sina<0,则角a的终边 解：x=5y=-12, 在() A第一象限 B.第二象限 ∴.r=√5+(-12)=13. C.第三象限 D.第四象限 sina==-12 5 5 解析由sin acos a<0知角a的终边在第二或第四象限， 13'cosa= -13,ana=之=-12 由cosa一sina<0,得cosa<sina,所以角a的终边在第 10已知角e的路边上存在一点P(一品高)，且。< an a 二象限 0,求sina十cosa的值. 答案B 解：<0，又一4与3异号，a是第四象限角 5.如果点P(sin0cos0,2cos0)位于第三象限，那么角0的终 tan a 5m5m 边所在的象限是( ) ∴m<0. A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 =+=品 解析，点P位于第三象限， ..sin a=y 3 4 sin 0coin. :2os00. sina十cosa= 1 lcos 0<0, 易知角日的终边在第二象限 答案B 拓展·提高 6.已知角a的终边上有一点P(m,5),且cosa= 3m≠0)， 1.已知角a的终边经过点P(m,4),且cosa=一 5,则m等 13
第七章 三角函数 课后·训练提升 基础 巩固 1.如果角α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),那么sinα 的值等于( ) A. 1 2 B.- 1 2 C.- 3 2 D.- 3 3 解析 ∵2sin30°=1,-2cos30°=- 3, ∴P(1,- 3). ∴r= 12+(- 3)2 =2,sinα= -2cos30° 2 =- 3 2 . 答案 C 2.设α=- 5π 2 ,则sinα,tanα的值分别为( ) A.-1;不存在 B.1;不存在 C.-1;0 D.1;0 解析 - 5π 2 =-2π- π 2 ,故- 5π 2 的终边在y 轴的负半轴, 在其终边上取点(0,-1),由此可知sinα=-1,tanα的值 不存在. 答案 A 3.已知P(x,4)是角θ终边上一点,且tanθ=- 2 5 ,则x 的 值为( ) A.10 B. 4 5 C.-10 D.- 1 5 解析 ∵tanθ= 4 x =- 2 5 ,∴x=-10. 答案 C 4.若角α满足sinαcosα<0,cosα-sinα<0,则角α的终边 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由sinαcosα<0知角α的终边在第二或第四象限, 由cosα-sinα<0,得cosα<sinα,所以角α的终边在第 二象限. 答案 B 5.如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ的终 边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 ∵点P 位于第三象限, ∴ sinθcosθ<0, 2cosθ<0, 即 sinθ>0, cosθ<0, 易知角θ的终边在第二象限. 答案 B 6.已知角α的终边上有一点P(m,5),且cosα= m 13 (m≠0), 则sinα+cosα= . 解析 ∵x=m,y=5,∴r= m2+25, ∵cosα= x r = m m2+25 = m 13 , ∴ m2+25=13,m2=144, ∴m=±12, ∴cosα=± 12 13 ,而sinα= y r = 5 13 , ∴sinα+cosα= 17 13 或- 7 13 . 答案 17 13 或- 7 13 7.设α是三角形的一个内角,在sinα,cosα,tanα,tan α 2 中 有可能取负值的是 . 解析 因为α是三角形的内角,所以α可能是锐角、直角、 钝角,而 α 2 一定是锐角,所以cosα和tanα可能取负值. 答案 cosα和tanα 8.已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角θ 终边上一点,且sinθ=- 25 5 ,则y= . 解析 ∵sinθ= y 42+y 2 =- 25 5 , ∴y<0,且y 2=64,∴y=-8. 答案 -8 9.已知角α的终边过点P(5,-12),求sinα,cosα,tanα的值. 解 ∵x=5,y=-12, ∴r= 52+(-12)2 =13. ∴sinα= y r =- 12 13 ,cosα= x r = 5 13 ,tanα= y x =- 12 5 . 10.已知角α的终边上存在一点P - 4 5m , 3 5m ,且 cosα tanα < 0,求sinα+cosα的值. 解 ∵ cosα tanα <0,又- 4 5m 与 3 5m 异号,∴α是第四象限角. ∴m<0. ∴r= - 4 5m 2 + 3 5m 2 = 1 m =- 1 m . ∴sinα= y r =- 3 5 ,cosα= 4 5 , ∴sinα+cosα= 1 5 . 拓展 提高 1.已知角α的终边经过点P(m,4),且cosα=- 3 5 ,则m 等 13
数学 必修 第三册 配人教B版 于() 解析角a的终边落在直线x十y=0上，即角α的终边落 A-号 B.±3 c D.-3 在第二象限或第四象限， 当角a的终边落在第二象限时，sina>0:cosa<0, 解析，x=m,y=4, r=√x2+y2=√m2+16 原式= sina十ine=0:当角&的终边落在第四象限 -cos a cos a 又osa=- 5m<0,且 时，sina<0,cos>0,原式=ng+二sine=0. m2+16 5,解得 cos a'cos a m=3(舍)或m=-3. 故原式=0. 答案D 答案0 2.若三角形的两内角a,3满足sin acos B-<0,则此三角形必 6若点P在写角的终边上，且1OP=2,则点P的坐标为 为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 解析设点P(xoyo), 解析：在0°~l80°范图内，都有sina>0,又sin acosB< 0,.cosB<0, 角B必为钝角，即此三角形必为钝角三角形 =2x0=1.点P(1,W5) 答案B 答案(1w3) 3.已知角0的终边在直线y=√5x上，则tan0的值为 7已知()”≤1，且21则是第几象限角 A- B.-5C.5 解（份）”1，且21， 解析角日的终边在第一象限或第三象限，在直线y= ∴.sin0>0,cos0<0,∴.0是第二象限角. 5x上取点(13)和(-1，-3)，则tan0=义=5】 挑战·创新 答案C 已知sna=sma,且lg(cosa)有意义. 4.若α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( (1)试判断角α所在的象限； Asm号 B.-cos (2)若角e的终边上一点是M(停m),且lOM1=10为 C.-tan D.sin 2a 坐标原点)，求m的值及sina的值. 1 1 解析，α是第四象限角， 解(I)因为1sina=一sim -,所以sina<0,由lg(cosa) “?是第二象限角成第四象限角。 有意义，可知cosa>0,所以a是第四象限角， “sin号与-cos号的符号不确定，-tan2>0, (2②)因为10M1=1,所以（停）°+m=1,得m= ∴，2a是第三象限角或第四象限角或y轴负半轴上的 角，.sin2a<0. 4 又a为第四象限角，故m<0,从而m=一 答案D 5,sin a= 5.若角。的终边落在直线x十y=0上，则加a Isin al cOS a 5 7.2.2 单位圆与三角函数线 1.了解三角函数线的意义， 课标定位 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。 素养阐释 3.加强直观想象和逻辑推理能力的培养」 14
数 学 必修 第三册 配人教B版 于( ) A.- 9 2 B.±3 C. 9 2 D.-3 解析 ∵x=m,y=4, ∴r= x2+y 2 = m2+16. 又cosα=- 3 5 ,∴m<0,且 m m2+16 =- 3 5 ,解得 m=3(舍)或m=-3. 答案 D 2.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<0,则此三角形必 为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 解析 ∵在0°~180°范围内,都有sinα>0,又sinαcosβ< 0,∴cosβ<0, ∴角β必为钝角,即此三角形必为钝角三角形. 答案 B 3.已知角θ的终边在直线y= 3x 上,则tanθ的值为 ( ) A.- 3 3 B.- 3 C.3 D.± 3 3 解析 角θ的终边在第一象限或第三象限,在直线y= 3x 上取点(1,3)和(-1,- 3),则tanθ= y x = 3. 答案 C 4.若α是第四象限角,则下列函数值一定是负值的是( ) A.sin α 2 B.-cos α 2 C.-tan α 2 D.sin2α 解析 ∵α是第四象限角, ∴ α 2 是第二象限角或第四象限角. ∴sin α 2 与-cos α 2 的符号不确定,-tan α 2 >0. ∴2α是第三象限角或第四象限角或y 轴负半轴上的 角,∴sin2α<0. 答案 D 5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则 sinα |cosα| + |sinα| cosα = . 解析 角α的终边落在直线x+y=0上,即角α的终边落 在第二象限或第四象限. 当角α 的终边落在第二象限时,sinα>0;cosα<0, 原式= sinα -cosα + sinα cosα =0;当角α 的终边落在第四象限 时,sinα<0,cosα>0,原式= sinα cosα + -sinα cosα =0. 故原式=0. 答案 0 6.若点P 在 π 3 角的终边上,且|OP|=2,则点P 的坐标为 . 解析 设点P(x0,y0), ∵sin π 3 = y0 2 = 3 2 ,∴y0= 3. ∵cos π 3 = x0 2 = 1 2 ,∴x0=1.∴点P(1,3). 答案 (1,3) 7.已知 1 2 sinθ <1,且2cosθ<1,则θ是第几象限角? 解 ∵ 1 2 sinθ <1,且2cosθ<1, ∴sinθ>0,cosθ<0,∴θ是第二象限角. 挑战 创新 已知 1 |sinα| =- 1 sinα ,且lg(cosα)有意义. (1)试判断角α所在的象限; (2)若角α的终边上一点是M 3 5 ,m ,且|OM|=1(O 为 坐标原点),求m 的值及sinα的值. 解 (1)因为 1 |sinα| =- 1 sinα ,所以sinα<0,由lg(cosα) 有意义,可知cosα>0,所以α是第四象限角. (2)因为|OM|=1,所以 3 5 2 +m2 =1,得 m = ± 4 5 . 又α为第四象限角,故m<0,从而m=- 4 5 ,sinα= m |OM| = - 4 5 1 =- 4 5 . 7.2.2 单位圆与三角函数线 课标定位 素养阐释 1.了解三角函数线的意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.加强直观想象和逻辑推理能力的培养. 14
第七章三角函数 课前·基础认知 三角函数线 【问题思考】 1.正弦值、余弦值、正切值因角α的不同，可能为正值、 可能为负值，也可能为0.而有向线段既有大小又有方向，能 否用有向线段表示sima,cosa,tana? 提示能.有向线段的方向与三角函数值的正负吻合， 长度与三角函数值的绝对值的大小对应. 2.填空：(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足 x2十y2=1的点组成的集合称为单位圆.若角α的终边与单 答案M亦O成A7 位圆的交点为P,则点P的坐标为(cosa,sina). 【思考辨析】 (2)如果过角a的终边与单位圆的交点P作x轴的垂 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 线，垂足为M,过点A(1,0)作与x轴垂直的直线l,与角a “/”,错误的画“X”, 的终边（或其反向延长线）交于点T,那么角a的正弦线是 (1)三角函数线的长度等于三角函数值！ (X) M亚，余弦线为OM,正切线为A广.正弦线、余弦线和正切 (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负 (√) 线都称为三角函数线。 (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线. (×) 3.做一做：如图，角α的终边与单位圆的交点为P,则正 弦线是 ；余弦线是 ;正切线是 (④受没有正切线。 (X) 课堂 重难突破 值如何变化？ 探究一 作已知角的三角函数线 解sina从1变到0；cos&由0变到-l;tana由-o∞ 【例】作出牙的正弦线、余弦线和正切线，并利用三 变到0.（取不到端.点值）》 个反思感悟 角西数线求血票m要m平的值 作已知角的三角函数线时，先确定角α终边的位 置，再画线.同时应注意所画线的方向， 解在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边 作角，角的终边与单位圆交于点P,作PMLx轴，垂足为 【变式训练1】作出一平的三角函数线， M,由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP 解如图所示， 的反向延长线交于点T,即3红的正弦线为M心，余弦线为 OM,正切线为A立 9平的终边 要的正孩线为市，余孩线为O成.正切线为市。 探究二利用三角函数线比较三角函数值的 在Rt△OMP和Rt△OAT中，易知IOM|=IMP|= 大小 号.1ATl=1,故m20-9os3经- 4 2,tan 【例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小 延伸探究 sn与：2m与m 当a∈（受），且a逐渐增大时，sina,cosa,ane的 分析先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角 15
第七章 三角函数 课前·基础认知 三角函数线 【问题思考】 1.正弦值、余弦值、正切值因角α的不同,可能为正值、 可能为负值,也可能为0.而有向线段既有大小又有方向,能 否用有向线段表示sinα,cosα,tanα? 提示 能.有向线段的方向与三角函数值的正负吻合, 长度与三角函数值的绝对值的大小对应. 2.填空:(1)一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 x2+y 2=1的点组成的集合称为单位圆.若角α的终边与单 位圆的交点为P,则点P 的坐标为(cosα,sinα). (2)如果过角α的终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂 线,垂足为M,过点A(1,0)作与x 轴垂直的直线l,与角α 的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α 的正弦线是 M→P,余弦线为 O→M,正切线为 A→T.正弦线、余弦线和正切 线都称为三角函数线. 3.做一做:如图,角α的终边与单位圆的交点为P,则正 弦 线 是 ;余 弦 线 是 ;正 切 线 是 . 答案 M→P O→M A→T 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)三角函数线的长度等于三角函数值. (×) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负. (√) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线. (×) (4) 5π 4 没有正切线. (×) 课堂·重难突破 探究一 作已知角的三角函数线 【例1】作出 3π 4 的正弦线、余弦线和正切线,并利用三 角函数线求sin 3π 4 ,cos 3π 4 ,tan 3π 4 的值. 解 在直角坐标系中作单位圆,如图,以Ox 轴为始边 作 3π 4 角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x 轴,垂足为 M,由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线,与OP 的反向延长线交于点T,即 3π 4 的正弦线为 M→P,余弦线为 O→M,正切线为A→T. 在Rt△OMP 和 Rt△OAT 中,易知|OM|=|MP|= 2 2 ,|AT|=1,故sin 3π 4 = 2 2 ,cos 3π 4 =- 2 2 ,tan 3π 4 =-1. 当α∈ π 2 ,π ,且α 逐渐增大时,sinα,cosα,tanα 的 值如何变化? 解 sinα从1变到0;cosα由0变到-1;tanα由-∞ 变到0.(取不到端点值) 作已知角的三角函数线时,先确定角α 终边的位 置,再画线.同时应注意所画线的方向. 【变式训练1】作出- 9π 4 的三角函数线. 解 如图所示, - 9π 4 的正弦线为M→P,余弦线为O→M,正切线为A→T. 探究二 利用三角函数线比较三角函数值的 大小 【例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小. (1)sin 2π 3 与sin 4π 5 ; (2)tan 2π 3 与tan 4π 5 . 分析 先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角 15