数学 必修第三册 配人教B版 的一种度量单位 (√) (5)用弧度制度量角，与圆的半径的长短有关」 (X) (4)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应. (6)30rad=30° (X) (√) 课堂·重难突破 探究一角度制与弧度制的互化 解a120-(罗）-罗×高-段 【例】设a1=-5702,a=750,A=晋=-于 3π (2)- 登=爱×(）=-5 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第 探究二 用弧度制表示角的集合 几象限角： (2)将B1,B2用角度制表示出来，并找出在一720°~0之 【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正 间所有与它们终边相同的角。 半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如 分析利用公式180°=πrad实现角度和孤度的互化. 下图) 利用终边相同的角的表示方法写出与B1,B2终边相同的角 的集合，进而求得满足条件的角 2元 解(1)180°=πrad, -570°= 570π19π 180 6 3 01=-1g=-2x2x+ 6 同理0，=750°=750x=25x=2X2x ② ② 1806 6 观察图形的 分析 确定角的始 ∴a1是第二象限角，a2是第一象限角. 阴影部分 边和终边 写出集合 (2a-晋=g×180=10s 解（1如通题图①，以0A为终边的角为看十2x:∈ 设0=k·360°+108(k∈Z), ,-720≤0<0°， Z):以0B为终边的角为-+2张xk∈D. 3 .-720°≤k·360°+108<0° 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 .k=一2或k=一1， .在一720°~0°之间与B1终边相同的角是一612°角和 a-号+k<a<晋+2ke7. -252°角 (2)知题图②，以0A为终边的角为写+2kx(k∈ZD:以 =-吾=-×180=-60 设Y=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤y<0°得 0B为终边的角为+2x∈Z:不坊设终边落在右边阴 -720°≤k·360°-60°<0°， 影部分的角的集合为M1,终边落在左边阴影部分的角的集 k=-1或k=0, ∴，在一720°~0°之间与B2终边相同的角是一420°角. 合为M,则M={e2kx<a<号+2张x,k∈2Z,M,= ①反思感悟 角度制与弧度制互化的原则及方法： 所以终边落在阴影部分的角的集合为M1UM2= (1)原则：牢记180=元rad,充分利用1°=180 rad 2k<a<5+2k元，或2+2k<a<x十2k，k∈Z a 和1ad=（(9）线行换算 ①反思感悟 (2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数为n,则 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形 (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围的角， 【变式训练1】将下列角度与弧度进行互化 2.注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注 (1)11230': 2- 意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错. 6
数 学 必修 第三册 配人教B版 的一种度量单位. (√) (4)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应. (√) (5)用弧度制度量角,与圆的半径的长短有关. (×) (6)30rad=30°. (×) 课堂·重难突破 探究一 角度制与弧度制的互化 【例1】设α1=-570°,α2=750°,β1= 3π 5 ,β2=- π 3 . (1)将α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自是第 几象限角; (2)将β1,β2 用角度制表示出来,并找出在-720°~0°之 间所有与它们终边相同的角. 分析 利用公式180°=πrad实现角度和弧度的互化. 利用终边相同的角的表示方法写出与β1,β2 终边相同的角 的集合,进而求得满足条件的角. 解 (1)∵180°=πrad, ∴-570°=- 570π 180 =- 19π 6 , ∴α1=- 19π 6 =-2×2π+ 5π 6 . 同理α2=750°= 750π 180 = 25π 6 =2×2π+ π 6 . ∴α1 是第二象限角,α2 是第一象限角. (2)β1= 3π 5 = 3 5 ×180°=108°. 设θ=k·360°+108°(k∈Z), ∵-720°≤θ<0°, ∴-720°≤k·360°+108°<0°, ∴k=-2或k=-1, ∴在-720°~0°之间与β1 终边相同的角是-612°角和 -252°角. β2=- π 3 =- 1 3 ×180°=-60°. 设γ=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤γ<0°得 -720°≤k·360°-60°<0°, ∴k=-1或k=0, ∴在-720°~0°之间与β2 终边相同的角是-420°角. 角度制与弧度制互化的原则及方法: (1)原则:牢记180°=πrad,充分利用1°= π 180 rad 和1rad= 180 π °进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则 αrad= α· 180 π °;n°=n· π 180 rad. 【变式训练1】将下列角度与弧度进行互化. (1)112°30'; (2)- 5π 12 . 解 (1)112°30'= 225 2 °= 225 2 × π 180 = 5π 8 . (2)- 5π 12 =- 5π 12 × 180 π °=-75°. 探究二 用弧度制表示角的集合 【例2】用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的正 半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如 下图). 分析 观察图形的 阴影部分 → 确定角的始 边和终边 → 写出集合 解 (1)如题图①,以OA 为终边的角为 π 6 +2kπ(k∈ Z);以OB 为终边的角为- 2π 3 +2kπ(k∈Z). 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 α - 2π 3 +2kπ<α< π 6 +2kπ,k∈Z . (2)如题图②,以OA 为终边的角为 π 3 +2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的角为 2π 3 +2kπ(k∈Z);不妨设终边落在右边阴 影部分的角的集合为M1,终边落在左边阴影部分的角的集 合为M2,则 M1= α 2kπ<α< π 3 +2kπ,k∈Z ,M2= α 2π 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z . 所以终边 落 在 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 为 M1 ∪M2 = α 2kπ<α< π 3 +2kπ,或 2π 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z . 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤: (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围的角. 2.注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注 意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错. 6
第七章三角函数 【变式训练2】用弧度制表 r=1或r=9. 示顶点在原点，始边重合于x轴 30A 当=1时，1=18.则0=1=18=18>2x(含). 的正半轴，终边落在如图所示的 阴影部分内（不包括边界）的角日 当r=9时，1=2，则0=L= 2 的集合 r 9 B 解30=石210- 210 即扇形圖心角的孤度数为 2 6 角0的集合为+2kx<0<受+2张mk∈U 思想方法 |石+2k<0<+2kk∈Z 利用函数思想求扇形面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆 即{0+2x<0< +2kπ，k∈zZU0+(2k+ 心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析正确使用扇形孤长公式及面积公式. 1)<0<2+(2k+1)π，k∈Z, 周长2r+三40 二次 表示 代入 关于r的 二次表 函数结 角0的集合为{日否十k<0<受+π，k∈Z 面积 S=jIr 达式 最值的果 表示 求法 探究三扇形面积公式的应用 解设扇形的圆心角为0，半径为rcm,弧长为lcm,面 积为Scm,则l十2r=40, 【例3】已知扇形的面积为1，周长为4，求扇形圆心角 的弧度数. 1=0-2(9<<2刘） 解设扇形的半径为R,孤长为1，则2R十l=4, S=1 2×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+ r= 1=4-2R,根据扇形画面积公式S=2R,得1= 1 100. 2(4-2R)·R. .当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为 100cm,此时0=↓=40-2X10=2 10 R=1l=2a=R=1=2, 个方法点睛 即扇形的圆心角为2rad, 当扇形的周长一定时，其面积有最大值，最大值的 延伸探究 求法是先把面积S转化为r的函数，再求函数的最值. 将例3中扇形面积改为S,周长仍为定值4，当S取得 最大值时圆心角的弧度数是多少？ 【变式训练】已知扇形的周长为30cm,当它的半径和 圆心角（大于0）分别取什么值时，才能使扇形的面积最大？ 解，2R十l=4,∴l=4-2R, 最大面积是多少？ S=R=号（4-2R)R=-R2+2R=-R- 解设扇形的圆心角为a,半径为rcm,面积为Scm2, 1)2+1. 孤长为1cm,则有1+2r=30,,l=30-2r. 易知当R=1时，S有最大值，此时l=4-2=2, 2·r三，·30=2)·r=-r2+15m白 L_2=2. 从而S=号 -R=T ①反思感悟 联系扇形的半径、弧长和圆心角的两个公式：一是 当半径了二cm时，扇形的面积最大，最大面积是 S=宁=宁lalr,二是1=1al,如果已加其中两 22 cm2,这时a= -=2 个，那么就可以求出另一个 【变式训练3】已知扇形的周长为20cm,面积为 随堂训练 ●●00● 9cm2,求扇形圆心角的弧度数. 1.在不等圆中，1rad的圆心角所对的() 解设扇形的半径为r,孤长为1，圆心角为0，则1十2=20， A.弦长相等 B.弧长相等 1=20-2r,由2=9，得7(20-2r)r=9, C.弦长等于所在圆的半径 ∴.r2-10r+9=0, D.弧长等于所在圆的半径 ∴.(r-1)(r-9)=0, 答案D
第七章 三角函数 【变式训练2】用弧度制表 示顶点在原点,始边重合于x 轴 的正半轴,终边落在如图所示的 阴影部分内(不包括边界)的角θ 的集合. 解 ∵30°= π 6 ,210°= 7π 6 , ∴角θ 的集合为 θ π 6 +2kπ<θ< π 2 +2kπ,k∈Z ∪ θ 7π 6 +2kπ<θ< 3π 2 +2kπ,k∈Z , 即 θ π 6 +2kπ<θ< π 2 +2kπ,k∈Z ∪ θ π 6 +(2k+ 1)π<θ< π 2 +(2k+1)π,k∈Z , ∴角θ的集合为 θ π 6 +kπ<θ< π 2 +kπ,k∈Z . 探究三 扇形面积公式的应用 【例3】已知扇形的面积为1,周长为4,求扇形圆心角 的弧度数. 解 设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4, ∴l=4-2R,根据扇形面积公式 S= 1 2 lR,得 1= 1 2 (4-2R)·R, ∴R=1,∴l=2,∴α= l R = 2 1 =2. 即扇形的圆心角为2rad. 将例3中扇形面积改为S,周长仍为定值4,当S 取得 最大值时圆心角的弧度数是多少? 解 ∵2R+l=4,∴l=4-2R, ∴S= 1 2 lR= 1 2 (4-2R)R= -R2 +2R= -(R- 1)2+1. 易知当R=1时,S 有最大值,此时l=4-2=2, ∴α= l R = 2 1 =2. 联系扇形的半径、弧长和圆心角的两个公式:一是 S= 1 2 lr= 1 2 |α|r2,二是l=|α|r,如果已知其中两 个,那么就可以求出另一个. 【变式训练3】已知扇形的周长为 20cm,面积为 9cm2,求扇形圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为θ,则l+2r=20, ∴l=20-2r,由 1 2 lr=9,得 1 2 (20-2r)r=9, ∴r2-10r+9=0, ∴(r-1)(r-9)=0, ∴r=1或r=9. 当r=1时,l=18,则θ= l r = 18 1 =18>2π(舍). 当r=9时,l=2,则θ= l r = 2 9 , 即扇形圆心角的弧度数为 2 9 . 思 想 方 法 利用函数思想求扇形面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆 心角取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 分析 正确使用扇形弧长公式及面积公式. 解 设扇形的圆心角为θ,半径为rcm,弧长为lcm,面 积为Scm2,则l+2r=40, ∴l=40-2r 20 π+1 <r<20 . ∴S= 1 2 lr= 1 2 ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+ 100. ∴当半径r=10cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100cm2,此时θ= l r = 40-2×10 10 =2. 当扇形的周长一定时,其面积有最大值,最大值的 求法是先把面积S 转化为r的函数,再求函数的最值. 【变式训练】已知扇形的周长为30cm,当它的半径和 圆心角(大于0)分别取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 解 设扇形的圆心角为α,半径为rcm,面积为Scm2, 弧长为lcm,则有l+2r=30,∴l=30-2r. 从而S= 1 2 ·l·r= 1 2 ·(30-2r)·r=-r2+15r= - r- 15 2 2 + 225 4 . ∴当半径r= 15 2 cm 时,扇形的面积最大,最大面积是 225 4 cm2,这时α= l r =2. 随堂训练 1.在不等圆中,1rad的圆心角所对的( ) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径 答案 D 7
数学 必修第三册 配人教B版 2.若圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆 4.用弧度表示出与一780°角终边相同的角的集合为 弧所对圆心角的弧度数为(） A号 B号 C.5 解析-780°= 13π D.2 3 解析设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为 所泰条合为e=2张xg∈小 √R,所对孤长等于√5R的圆心角的孤度数为a= 3R R 答案〈a =x-g“ke ,故选C 5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,求扇形的圆心角 答案C 的弧度数. 3-9学转化为角度是 解设扇形的半径为R,孤长为1，则1十2R=6,∴l=6一 2R. 解折1d-(9。 由面教公式S=号R得宁(6-2R)·R=2 -10m=- 即R2-3R+2=0,解得R=1或R=2. 3 答案一600° 则l=4或1=2，心a=反=4或1 课后·训练提升 基础：巩固 2空m 1.集合A==kx受，k∈Z与集合B={aa=kx士 答案B 5.已知扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 受，k∈Z的关系是( () A.16π B.32π C.16 D.32 A.A=B B.AB C.B车A D.以上都不对 解析周长C=l十2R=16,a=2,由l=aR,得l=2R,即 答案A 2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所 4R=16,解得R=4,S=2aR=2×2×4=16, 对的弧长是( 答案C 6.把下列各角从弧度化为角度」 A.2 2 B.sin 2 C.sin 1 D.2sin 1 (1)x 解析易知=si1,∴r=d 1 (2)- 4元 孤长l=lar=sm 2 6 -6 答案C 3一受的终边所在的象限是( 2=-×(9）=-240 答案(1)210°(2)-240° A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7.把下列各角从角度化为弧度， 解析一登=一2登即一登与一受的终道相月，而 (1)315°= (2)-75°= 一登的终边落在第回泉限 解析(1)315°=315×180=4 元7π 答案D 4在半径为5cm的圆中，圆心角为周角的号的角所对的弧 @)-5=-万x高=号 长为() A号m B20 cm C.10z 3 3 cm D.50z 3 cm 8已知扇形的圆心角是，半径为5，则它的弧长1为 解折圆心角。=号 ,面积S为 之之天—一—江>今— 3 答案2π5元 8
数 学 必修 第三册 配人教B版 2.若圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则圆 弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π 3 B. 2π 3 C.3 D.2 解析 设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为 3R,所对弧长等于 3R 的圆心角的弧度数为α= 3R R = 3,故选C. 答案 C 3.- 10π 3 转化为角度是 . 解析 ∵1rad= 180 π °, ∴- 10π 3 =- 180 π × 10π 3 °=-600°. 答案 -600° 4.用 弧 度 表 示 出 与 -780°角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 . 解析 ∵-780°=- 13π 3 , ∴所求集合为 α α=2kπ- 13π 3 ,k∈Z . 答案 α α=2kπ- 13π 3 ,k∈Z 5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,求扇形的圆心角 的弧度数. 解 设扇形的半径为R,弧长为l,则l+2R=6,∴l=6- 2R. 由面积公式S= 1 2 lR 得 1 2 (6-2R)·R=2. 即R2-3R+2=0,解得R=1或R=2. 则l=4或l=2,∴α= l R =4或1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.集合A= α α=kπ+ π 2 ,k∈Z 与集合B= α α=kπ± π 2 ,k∈Z 的关系是( ) A.A=B B.A⫋B C.B⫋A D.以上都不对 答案 A 2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所 对的弧长是( ) A.2 B.sin2 C. 2 sin1 D.2sin1 解析 易知 1 r =sin1,∴r= 1 sin1 , ∴弧长l=|α|r= 2 sin1 . 答案 C 3.- 29π 12 的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 - 29π 12 =-2π- 5π 12 ,即- 29π 12 与- 5π 12 的终边相同,而 - 5π 12 的终边落在第四象限. 答案 D 4.在半径为5cm的圆中,圆心角为周角的 2 3 的角所对的弧 长为( ) A. 4π 3 cm B. 20π 3 cm C. 10π 3 cm D. 50π 3 cm 解析 圆 心 角 α= 2 3 ×2π= 4π 3 ,l=αr= 4π 3 ×5= 20π 3 (cm). 答案 B 5.已知扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是 ( ) A.16π B.32π C.16 D.32 解析 周长C=l+2R=16,α=2,由l=αR,得l=2R,即 4R=16,解得R=4,S= 1 2 αR2= 1 2 ×2×42=16. 答案 C 6.把下列各角从弧度化为角度. (1) 7π 6 = ; (2)- 4π 3 = . 解析 (1) 7π 6 = 7π 6 × 180 π °=210°; (2)- 4π 3 =- 4π 3 × 180 π °=-240°. 答案 (1)210° (2)-240° 7.把下列各角从角度化为弧度. (1)315°= ; (2)-75°= . 解析 (1)315°=315× π 180 = 7π 4 ; (2)-75°=-75× π 180 =- 5π 12 . 答案 (1) 7π 4 (2)- 5π 12 8.已知扇形的圆心角是 2π 5 ,半径为 5,则它的弧长l 为 ,面积S 为 . 答案 2π 5π 8
第七章 三角函数 9.已知a=1690° (1)把a写成2kπ十3(k∈Z,3∈[0,2x)的形式： D.终边在直线y=x上的角的集合是{aa=于+2kπ， (2)求0，使0与a终边相同，且0∈（一4π，4π）. k∈Z 解(1)1690°=1440°+250°=4×360°+250°=4×2π+ 25π 解析终边在直线y=x上的角的集合为e=受十 18 (2)0与a终边相同，∴0=2kπ十 ED). k∈Z,故选D. 答案D 又0∈(-4π，4)，-4r<2kπ+<4x 3.已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为4cm,则该扇形的面 k=-2,-1,0.1. 积是() 0的位是紧货警 A.4 cm2 B.2 cm2 C.4πcm2 D.2πcm2 10.已知扇形的圆心角为a,半径为R. 解析设扇形的半径为r,则由1=a,得r=立-2cm, (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当角a为多少弧度 故S=alr2=方×2X2=4cm),故选A 时，该扇形的面积最大？ 答案A 解（1长1=aR=器×X10=号(cm 4.已知一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形 所含弓形的面积是() (2)由已知c=1+2R,得Sw=R=（c 1 A.(2-sin lcos 1)R BRsin leos 1 2R)R-竖-R=-(R-）广+后 C D.R2-R2sin lcos 1 则当R=时，S取最大值， 解析设孤长为1,1十2R=4R,∴l=2R, c ∴SA=R=R 此时1=a一 :圆心角a=R=2, 故当a为2rad时，该扇形的面积最大 六SaAw=z·2R·sin1,Rcos1=R2sin1·cos1, 拓展：提高 ∴.S5每=S角形-S病每=R2-R2sin1cos1 答案D 1若号=2x+5(∈D.则号的终边在( ) 5.已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度 A第一象限 B.第四象限 数分别是 C,x轴上 D.y轴上 解析由号=2x+号（∈2， 解析设两个角的孤度分别为x,少>，因为1P-高d 1 I= 得a=6kπ十π(k∈Z), x十y=1, +0 所以有 π解得 所以号=3+受（∈ZD, z-y=1801 1π y=2360 当及为奇数时，角号的终边在y轴的非正半轴上：当 π1 即所求两角的孤度数分别为2十360·2360 及为偶数时，角号的终边在y轴的非负半轴上. 1 答案2+360：2一360 综上，角？的终边在y轴上，故选D. 6已知9∈0a=kx+(一1·子k∈Z,则9的终边所 答案D 在的象限是」 2.下列表述中不正确的是() A.终边在x轴上的角的集合是{aa=kπ，k∈Z} 解析当k为偶数时，a=2mx十于(m∈Z),当及为奇数 且终边在y轴上的角的集合是{aa=受+x,k∈习 时a=(2m-1Dx-牙=2m-乎(m∈刀，故角0的终边 在第一象限或第二象限 C终边在坐标轴上的角的集合是{aa=k·乏，k∈Z 答案第一象限或第二象限 9
第七章 三角函数 9.已知α=1690°. (1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 解 (1)1690°=1440°+250°=4×360°+250°=4×2π+ 25π 18 . (2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+ 25π 18 (k∈Z). 又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+ 25π 18 <4π, ∴k=-2,-1,0,1. ∴θ的值是- 47π 18 ,- 11π 18 , 25π 18 , 61π 18 . 10.已知扇形的圆心角为α,半径为R. (1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长; (2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当角α为多少弧度 时,该扇形的面积最大? 解 (1)弧长l=αR= 60 180 ×π×10= 10π 3 (cm). (2)由已知c=l+2R,得S扇形 = 1 2 lR= 1 2 (c- 2R)R= cR 2 -R2=- Rc 4 2 + c2 16 . 则当R= c 4 时,S扇形 取最大值, 此时l= c 2 ,α= l R = c 2 c 4 =2. 故当α为2rad时,该扇形的面积最大. 拓展 提高 1.若 α 3 =2kπ+ π 3 (k∈Z),则 α 2 的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x 轴上 D.y轴上 解析 由 α 3 =2kπ+ π 3 (k∈Z), 得α=6kπ+π(k∈Z), 所以 α 2 =3kπ+ π 2 (k∈Z). 当k为奇数时,角 α 2 的终边在y 轴的非正半轴上;当 k为偶数时,角 α 2 的终边在y轴的非负半轴上. 综上,角 α 2 的终边在y轴上,故选D. 答案 D 2.下列表述中不正确的是( ) A.终边在x 轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在y轴上的角的集合是 α α= π 2 +kπ,k∈Z C.终边在坐标轴上的角的集合是 α α=k· π 2 ,k∈Z D.终边在直线y=x 上的角的集合是 α α= π 4 +2kπ, k∈Z 解析 终边在直线y=x 上的角的集合为 αα= π 4 +kπ, k∈Z ,故选D. 答案 D 3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm,则该扇形的面 积是( ) A.4cm2 B.2cm2 C.4πcm2 D.2πcm2 解析 设扇形的半径为r,则由l=|α|r,得r= 4 2 =2(cm), 故S= 1 2 |α|r2= 1 2 ×2×22=4(cm2),故选 A. 答案 A 4.已知一个半径为R 的扇形,它的周长为4R,则这个扇形 所含弓形的面积是( ) A. 1 2 (2-sin1cos1)R2 B. 1 2 R2sin1cos1 C. 1 2 R2 D.R2-R2sin1cos1 解析 设弧长为l,∵l+2R=4R,∴l=2R, ∴S扇形 = 1 2 lR=R2. ∵圆心角|α|= l R =2, ∴S三角形 = 1 2 ·2R·sin1·Rcos1=R2sin1·cos1, ∴S弓形 =S扇形 -S三角形 =R2-R2sin1cos1. 答案 D 5.已知两角和为1弧度,且两角差为1°,则这两个角的弧度 数分别是 . 解析 设两个角的弧度分别为x,y(x>y),因为1°= π 180 rad, 所以有 x+y=1, x-y= π 180 , 解得 x= 1 2 + π 360 , y= 1 2 - π 360 . 即所求两角的弧度数分别为 1 2 + π 360 , 1 2 - π 360 . 答案 1 2 + π 360 , 1 2 - π 360 6.已知θ∈ α α=kπ+(-1)k· π 4 ,k∈Z ,则θ 的终边所 在的象限是 . 解析 当k为偶数时,α=2mπ+ π 4 (m∈Z),当k 为奇数 时,α=(2m-1)π- π 4 =2mπ- 5π 4 (m∈Z),故角θ的终边 在第一象限或第二象限. 答案 第一象限或第二象限 9
数学 必修第三册 配人教B版 7.如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动.已知点 A经过1min转过角0(0<0<π)，2min到达第三象限， Z,B={ele=号n∈zU{el9=mx+受m∈z. 14min后回到原来的位置，求角0. 求A与B的关系. y 解法一如图所示 B军A. 解点A经过2min转过20，且<20<经，14mim后回 解法={a=受n∈=(ala=x,∈z)U 到原位140=2张x∈刀.0-经，且号<0<要。 0=号浅号 2x∈=2张m士号.k∈7.小 挑战·创新 比较集合A,B的元素知，B中的元素都是A中的元 素，但A中元素a=(2k十1)π(k∈Z)不是B中的元素，所 已知集合A={ee=受n∈zUaa=2nxt 3,n 以A星B. 7.2任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义 课标定位 2会求角的正弦、余弦、正切值. 素养阐释 3.掌握三角函数在各象限内的符号 4.加强数学抽象、逻辑推理、数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、1 任意角的正弦、余弦与正切的定义 4.填空：(1)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意 【问题思考】 点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r(r= 1.若a∈(0，），点P(3,4)在角a的终边上，由此能否 √2+y2>0). 求出sina,cosa,tana的值？若能求出，简述过程；若不能， 三角函数定义名称 请说明理由. sin a 正弦 Y 提示能.过点P作x轴的垂线，垂足为点M,则有 cos a 余弦 OM=3,MP=4.OP==5.sin a=4 5 cos a= tan a 正切 方0= (2)对于每一个角α，都有唯二确定的正弦、余弦与之对 2.上题中，若在角a的终边上另取一点P',则sina, cosa,tana的值有变化吗？ 应：当a≠kx十2，k∈Z时，有唯一的正切与之对应.角。的 提示没有变化 正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数. 3.当a为任意角时，能否用上述方法求sina,cosa 5.做一做：若点(-1，一2)在角a的终边上，则sina= tana的值？ _cos a= ;tan a= 提示能 解析：x=-1,y=-2,r=√x2+y=5, 10
数 学 必修 第三册 配人教B版 7.如图,圆周上点A 以逆时针方向做匀速圆周运动.已知点 A 经过1min转过角θ(0<θ<π),2min到达第三象限, 14min后回到原来的位置,求角θ. 解 点A 经过2min转过2θ,且π<2θ< 3π 2 ,14min后回 到原位,∴14θ=2kπ(k∈Z),θ= kπ 7 ,且 π 2 <θ< 3π 4 , ∴θ= 4π 7 或 5π 7 . 挑战 创新 已知集合A= α α= nπ 2 ,n∈Z ∪ α α=2nπ± 2π 3 ,n∈ Z ,B= β β= 2 3 nπ,n∈Z ∪ β β=nπ+ π 2 ,n∈Z , 求A 与B 的关系. 解法一 如图所示. ∴B⫋A. 解法二 α α= nπ 2 ,n∈Z = {α|α =kπ,k ∈ Z}∪ α α=kπ+ π 2 ,k∈Z ;β β= 2nπ 3 ,n∈Z = {β|β = 2kπ,k∈Z}∪ β β=2kπ± 2π 3 ,k∈Z . 比较集合A,B 的元素知,B 中的元素都是A 中的元 素,但A 中元素α=(2k+1)π(k∈Z)不是B 中的元素,所 以A⫌B. 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 课标定位 素养阐释 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 2.会求角的正弦、余弦、正切值. 3.掌握三角函数在各象限内的符号. 4.加强数学抽象、逻辑推理、数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 【问题思考】 1.若α∈ 0, π 2 ,点P(3,4)在角α的终边上,由此能否 求出sinα,cosα,tanα的值? 若能求出,简述过程;若不能, 请说明理由. 提示 能.过点 P 作x 轴的垂线,垂足为点 M,则有 OM=3,MP=4,OP= 32+42 =5,故sinα= 4 5 ,cosα= 3 5 ,tanα= 4 3 . 2.上题中,若在角α 的终边上另取一点P',则sinα, cosα,tanα的值有变化吗? 提示 没有变化. 3.当α为任意角时,能否用上述方法求sinα,cosα, tanα的值? 提示 能. 4.填空:(1)在平面直角坐标系中,设角α的终边上任意 一点P 的坐标是 (x,y),它与原点 O 的距离是r(r= x2+y 2 >0). 三角函数 定义 名称 sinα y r 正弦 cosα x r 余弦 tanα y x 正切 (2)对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对 应;当α≠kπ+ π 2 ,k∈Z时,有唯一的正切与之对应.角α的 正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数. 5.做一做:若点(-1,-2)在角α的终边上,则sinα= ;cosα= ;tanα= . 解析 ∵x=-1,y=-2,r= x2+y 2 = 5, 10