收敛级数的基本性质 第八章无穷级数 由性质3可直接得出如下推论： 推论 如果当n→o时，级数的一般项u不趋于零，那么级数发散. 破如级数2(-1，由于 即limu≠0时，一般项不趋于零，因此级数发散 7→0 注一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，事实上许多发散的级数的一般 项是趋于零的，调和级数∑上就是一例， n=1 n
第八章 无穷级数 由性质 3 可直接得出如下推论. 推论 如果当n →时，级数的一般项 n u 不趋于零，那么级数发散. 例如级数 ( ) 1 1 1 1 n n n n − = − + ，由于 ( ) ( ) 1 1 1 , 1 1 n n n n u n n n − = − = → → + + 即lim | | 0 n n u → 时，一般项不趋于零，因此级数发散. 注 一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，事实上许多发散的级数的一般 项是趋于零的，调和级数 1 1 n n = 就是一例. 二、收敛级数的基本性质
收敛级数的基本性质 第八章无穷级数 性质4改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性 证设∑4，的部分和为s,，不妨假设在级数∑4，中4，改变成了”，其余不 n=】 变，记新级数为∑，其中，=4.(n=23,4),并设其部分和为s, 则有 二一一二二。——二一 Sn=Sn-ui +v1, 因此当n→0时，5n有极限的充要条件为sn有极限，即级数∑与∑4，有相同 的收敛性 推论级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性
第八章 无穷级数 性质 4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性. 证 设 1 n n u = 的部分和为sn ， 𝑆𝑛 ' = 𝑆𝑛 − 𝑢1 + 𝑣1 , 因此当 n→ 时， ' sn 有极限的充要条件为 n s 有极限，即级数 1 n n v = 与 1 n n u = 有相同 的收敛性. 推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性. 二、收敛级数的基本性质 则有 不妨假设在级数 1 n n u = 中u1 改变成了v1 ， 其余不 变，记新级数为 1 n n v = ， 其中v u n n n = = ( 2,3,4, ) ，并设其部分和为sn
第八章 内容导航 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节常数项级数的审敛准则 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式 第四节傅里叶级数
第八章 无穷级数 第八章 内容导航 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式 第四节 傅里叶级数 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛准则
课前导读 研究级数时，重要的是讨论其收敛性按照定义，级数的收敛性归 结为它的部分和数列的收敛性， 对于一个级数24，我们主要关心以下两个问题： 1=】 (1)它是否收敛？ (2)当级数收敛时，如何求它的和？
课 前 导 读 研究级数时，重要的是讨论其收敛性.按照定义，级数的收敛性归 结为它的部分和数列的收敛性. 对于一个级数 1 n n u = ，我们主要关心以下两个问题： （1）它是否收敛？ （2）当级数收敛时，如何求它的和？
课前导读 如果能直接由定义判断级数收敛，那是最理想的因为这样不仅 判断出级数的收敛性，并且还能求出级数的和.但是，这在大部分情 况下很难做到.然而我们感兴趣的往往是判断级数是否收敛而不是求 出级数的和.一般情况下，利用定义和性质来判断级数的收敛性是很 困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一 类级数找到突破口，那就是正项级数
课 前 导 读 如果能直接由定义判断级数收敛，那是最理想的.因为这样不仅 判断出级数的收敛性，并且还能求出级数的和.但是，这在大部分情 况下很难做到.然而我们感兴趣的往往是判断级数是否收敛而不是求 出级数的和.一般情况下，利用定义和性质来判断级数的收敛性是很 困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一 类级数找到突破口，那就是正项级数