性质(a⊥a,a∥B→a⊥B);(4面面垂直的性质(a⊥B,a∩B=a, B→l⊥a) 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 训练1】(2019·南宁二中、柳州高中联考)如图,三棱柱ABC一ABG中,已 知AB⊥侧面BBGC,AB=BC=1,BB1=2,∠BC=60 (1)求证:BC1⊥平面ABG 2)E是棱CG上的一点,若三棱锥EABC的体积为,求线段CE的长 (1)证明:AB⊥平面BCC,BCc平面BBCC, AB⊥BC, 在△CBG中,BC=1,CG=BB=2,∠BCG=60° 由余弦定理得B=BC+0-2BC·CG·cos∠BCG=12+22-2×1×2cos60° 3,∴B=3, ∴BC+B=C,∴BC⊥BC, 又AB,B平面ABC, BCn AB=B,∴BC⊥平面ABC (2)解∵AB⊥平面BBCC,∴VA=MB=5S△B·AB==△B·1 12 4=2 CE.BC. sin∠BCE=2C ∴CE=1 考点二面面垂直的判定与性质 【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥ 底面ABCD,PA⊥AD,B和F分别是CD和PC的中点,求证:
性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a， l⊥a，l⊂β⇒l⊥α). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 (2019·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已 知 AB⊥侧面 BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°. (1)求证：BC1⊥平面 ABC； (2)E 是棱 CC1上的一点，若三棱锥 E－ABC 的体积为 3 12 ，求线段 CE 的长. (1)证明 ∵AB⊥平面 BB1C1C，BC1⊂平面 BB1C1C， ∴AB⊥BC1， 在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°， 由余弦定理得 BC 2 1＝BC 2＋CC 2 1－2BC·CC1·cos∠BCC1＝1 2＋2 2－2×1×2cos 60°＝ 3，∴BC1＝ 3， ∴BC 2＋BC 2 1＝CC 2 1，∴BC⊥BC1， 又 AB，BC⊂平面 ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面 ABC. (2)解 ∵AB⊥平面 BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝ 1 3 S△BCE·AB＝ 1 3 S△BCE·1＝ 3 12 ， ∴S△BCE＝ 3 4 ＝ 1 2 CE·BC·sin∠BCE＝ 1 2 CE· 3 2 ， ∴CE＝1. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥ 底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)P⊥底面ABCD 2)B∥平面PAD (3)平面BEF⊥平面PCD 证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD 且PA垂直于这两个平面的交线AD,Pc平面PAD, ∴PA⊥底面ABCD (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 ∴AB∥D,且AB=DE 四边形ABED为平行四边形 ∴BE∥AD 又∵B平面PAD,AD平面PAD, ∴B∥平面PAD (3)∵AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 ∴BE⊥D,AD⊥C, 由(1)知PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA,AD平面PAD ∴CD⊥平面PAD,又PD平面PAD ∴CD⊥PD ∵E和F分别是CD和PC的中点, ∴PD∥EF ∴CD⊥B,又B⊥mD且Bm∩BE=E, ∴CD⊥平面BEF,又CDC平面PCD, ∴平面BEF⊥平面PC 规律方法1.证明平面和平面垂直的方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直 的判定定理 2.已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂
(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA⊂平面 PAD， ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点， ∴AB∥DE，且 AB＝DE. ∴四边形 ABED 为平行四边形. ∴BE∥AD. 又∵BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD，且 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD， ∴CD⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， ∴CD⊥PD. ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD， ∴平面 BEF⊥平面 PCD. 规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直 的判定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂
线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直 【训练2】(2019·泸州模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形, AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=AB,侧面SAD⊥底面ABCD 2 (1)求证:平面SBD⊥平面SAD (2)若∠DM=120°,且三棱锥SBCD的体积为12,求侧面△SB的面积 (1)证明设BC=a,则CD=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形,且 ∠BCD=90°, 则BD=√2a,∠CBD=45 所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°, 在△ABD中 AD=√A+DP-2AB·DB·cos45°=V2a, 因为AD+B=4a2=AB,所以BD⊥AD, 由于平面SAD⊥底面ABCD,平面SMD∩平面ABCD=AD,BC平面ABCD 所以BD⊥平面SMAD, 又BDc平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD (2)解由(1)可知AD=SD=V2a,在△SMD中,∠SDA=120°,S=2in60 作SH⊥AD,交AD的延长线于点H 则sy=sn60°-36a 由(1)知BD⊥平面SAD 因为S平面SAD,所以BD⊥ 又AD∩BD=D,所以SH⊥平面ABCD 所以SH为三棱锥S-BCD的高
线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2019·泸州模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝ 1 2 AB，侧面 SAD⊥底面 ABCD. (1)求证：平面 SBD⊥平面 SAD； (2)若∠SDA＝120°，且三棱锥 S－BCD 的体积为 6 12 ，求侧面 △SAB 的面积. (1)证明 设 BC＝a，则 CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且 ∠BCD＝90°， 则 BD＝ 2a，∠CBD＝45°， 所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°， 在△ABD 中， AD＝ AB 2＋DB 2－2AB·DB·cos 45°＝ 2a， 因为 AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以 BD⊥AD， 由于平面 SAD⊥底面 ABCD，平面 SAD∩平面 ABCD＝AD，BD⊂平面 ABCD， 所以 BD⊥平面 SAD， 又 BD⊂平面 SBD，所以平面 SBD⊥平面 SAD. (2)解 由(1)可知AD＝SD＝ 2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60° ＝ 6a. 作 SH⊥AD，交 AD 的延长线于点 H， 则 SH＝SDsin 60°＝ 6 2 a， 由(1)知 BD⊥平面 SAD， 因为 SH⊂平面 SAD，所以 BD⊥SH. 又 AD∩BD＝D，所以 SH⊥平面 ABCD， 所以 SH 为三棱锥 S－BCD 的高
所以Vm= 2X2=16 解得a=1 由BD⊥平面SAD,SD平面SAD,可得BD⊥S, 则SB=√s+BD=V2+2=2 又AB=2,sA=V6, 在等腰三角形SBA中, 610 边SA上的高为1/4 则△SAB的面积为×√6× 考点三平行与垂直的综合问题…多维探究 角度1多面体中平行与垂直关系的证明 【例3-1】(2018·北京卷)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为矩形,平 面PAD平面ABC,P⊥P,P=PD,E,F分别为AD,PB的中点 (1)求证:PE⊥BCG; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD (3)求证:BF∥平面PD 证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD 因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD 所以PE⊥BC (2)因为底面ABCD为矩形
所以 VS－BCD＝ 1 3 × 6 2 a× 1 2 ×a 2＝ 6 12 ， 解得 a＝1. 由 BD⊥平面 SAD，SD⊂平面 SAD，可得 BD⊥SD， 则 SB＝ SD 2＋BD 2＝ 2＋2＝2. 又 AB＝2，SA＝ 6， 在等腰三角形 SBA 中， 边 SA 上的高为 4－ 6 4 ＝ 10 2 ， 则△SAB 的面积为1 2 × 6× 10 2 ＝ 15 2 . 考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究 角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 3－1】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平 面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点. (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (3)求证：EF∥平面 PCD. 证明 (1)因为 PA＝PD，E 为 AD 的中点， 所以 PE⊥AD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC∥AD. 所以 PE⊥BC. (2)因为底面 ABCD 为矩形
所以AB⊥AD 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD 所以AB⊥平面PAD 所以AB⊥PD 又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB又P平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD (3)如图,取PC中点G,连接FG,DG 因为F,G分别为PB,PC的中点 所以FG∥BC,F=BC 因为ABCD为矩形,且E为AD的中点 所以DE∥BC,DE=BC 所以DE∥FG,DE=FG 所以四边形DEFG为平行四边形 所以EF∥DG 又因为平面PD,DGc平面PC, 所以EF∥平面PCD 规律方法1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面 垂直间的转化 2.垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 角度2平行与垂直关系中的探索性问题 【例3-2】如图,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC= ∠BAC=60
所以 AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 AB⊥平面 PAD. 所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD，且 PA∩AB＝A， 所以 PD⊥平面 PAB.又 PD⊂平面 PCD， 所以平面 PAB⊥平面 PCD. (3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FG∥BC，FG＝ 1 2 BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DE∥BC，DE＝ 1 2 BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EF∥DG. 又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD. 规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面 垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度 2 平行与垂直关系中的探索性问题 【例 3－2】 如图，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2， ∠BAC＝60°