《高等代数2》课程教学大纲一、课程信息课程名称：高等代数2Advanced Algebra 2课程代码：06E2105B课程类别：专业基础课程/必修课适用专业：应用统计学课程学时：75学时课程学分：4学分修读学期：第3学期先修课程：高等代数1、数学分析1、数学分析2、解析几何二、课程目标高等代数是应用统计学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习后续课程提供必要的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。本课程分两个学期开设，高等代数1在第二学期开设，高等代数2在第三学期开设。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.系统掌握线性空间、线性变换、元-矩阵、欧几里得空间等代数核心理论；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；能够运用高等代
《高等代数 2》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：高等代数2 Advanced Algebra 2 课程代码：06E2105B 课程类别：专业基础课程/必修课 适用专业：应用统计学 课程学时：75学时 课程学分：4学分 修读学期：第3学期 先修课程：高等代数1、数学分析1、数学分析2、解析几何 二、课程目标 高等代数是应用统计学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的 一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有 较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识 建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和 抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、 特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习后续课程提供必要的基础理论 知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。 高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一 元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二 次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。 本课程分两个学期开设，高等代数 1 在第二学期开设，高等代数 2 在第三学 期开设。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1.系统掌握线性空间、线性变换、 -矩阵、欧几里得空间等代数核心理论； 进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；能够运用高等代
数的基本知识和基本原理进行运算，并正确求得运算结果；能够将社会经济问题转换为数学专业问题：能够达到复杂社会经济问题中的计算水平。【支撑毕业要求指标点1.1、5.2】2.理解基本定理的证明过程；训练学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；提高学生的专业能力素质，使学生获得分析、推断和预测社会经济问题的意识与能力。【支撑毕业要求指标点1.3】3.培养在高等代数基本理论的指导下，运用高等代数知识建立简单的数学模型，并正确求解的能力：学会独立思考，具有批判性思维素养，从而具备对社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合的能力：通过习题讲解讨论等方式，提高学生的信息综合能力。【支撑毕业要求指标点1.4、4.4】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的率业要求支撑的毕业要求指标点【1.1】掌握数学、自然科学、经济学和统计学等专业基本知识和基本原理，具备使用工具性语言描述社会经济问题的能力。1.工程知识课程目标1【5.2】掌握常用的数据采集、处理、分析工具，能够针对社会经5.现代工具运用济领域复杂实际问题，选择和使用恰当的技术、工具和模拟软件，对复杂社会经济问题进行分析、计算与设计。【1.3】掌握统计学的基本思想和方法，应用于社会经济问题的分1.工程知识课程目标2析、推断和预测。【1.4】能正确利用统计思想和方法分析判断软件的计算结果，对1.工程知识社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合。课程目标34.科学研究【4.4】能对实验结果进行分析和解释，并通过信息综合得到合理有效的结论。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排20第六章线性空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、3
数的基本知识和基本原理进行运算，并正确求得运算结果；能够将社会经济问题 转换为数学专业问题；能够达到复杂社会经济问题中的计算水平。【支撑毕业要 求指标点 1.1、5.2】 2.理解基本定理的证明过程；训练学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；提 高学生的专业能力素质，使学生获得分析、推断和预测社会经济问题的意识与能 力。【支撑毕业要求指标点 1.3】 3.培养在高等代数基本理论的指导下，运用高等代数知识建立简单的数学模 型，并正确求解的能力；学会独立思考，具有批判性思维素养，从而具备对社会 经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合的能力；通过习题讲解讨论等 方式，提高学生的信息综合能力。【支撑毕业要求指标点 1.4、4.4】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 1.工程知识 5.现代工具运用 【1.1】掌握数学、自然科学、经济学和统计学等专业基本知识和 基本原理，具备使用工具性语言描述社会经济问题的能力。 【5.2】掌握常用的数据采集、处理、分析工具，能够针对社会经 济领域复杂实际问题，选择和使用恰当的技术、工具和模拟软件， 对复杂社会经济问题进行分析、计算与设计。 课程目标 2 1.工程知识 【1.3】掌握统计学的基本思想和方法，应用于社会经济问题的分 析、推断和预测。 课程目标 3 1.工程知识 4.科学研究 【1.4】能正确利用统计思想和方法分析判断软件的计算结果，对 社会经济问题的解决方案进行评估、比较、分析和综合。 【4.4】能对实验结果进行分析和解释，并通过信息综合得到合理 有效的结论。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第六章 线性空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 20
22第七章线性变换案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、310第八章入-矩阵案例式教学、翻转课堂、课堂讲课程目标1、221第九章欧几里得空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标12第十章双线性函数与辛空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标3合计75学时（二）具体内容第六章线性空间（20学时）【教学自标与要求】1、教学目标：线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习：线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使学生学到线性空间讨论的三种研究途径。2、教学要求：（1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。（2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及4条基本性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。（3）理解向量是一个典型的数域上的线性空间，其中的线性相关性理论可以移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间的基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。（4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。（5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理：掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。（6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。（7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。（8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。【教学重点与难点】
第七章 线性变换 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 22 第八章 -矩阵 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 10 第九章 欧几里得空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1 21 第十章 双线性函数与辛空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 3 2 合计 75 学时 （二）具体内容 第六章 线性空间（20 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习：线性空间的定义与简 单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、 子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使 学生学到线性空间讨论的三种研究途径。 2、教学要求： （1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。 （2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及 4 条基本 性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。 （3）理解向量是一个典型的数域 上的线性空间，其中的线性相关性理论可 以移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间 的基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。 （4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 （5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理；掌握向 量组生成子空间的定义及等价条件。 （6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 （7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 （8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要 条件。 【教学重点与难点】
1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直和，线性空间的同构。2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。【学习内容】1.集合·映射2.线性空间的定义与简单性质3.维数·基与坐标4.基变换与坐标变换5.线性子空间6.子空间的交与和7.子空间的直和8.线性空间的同构【思政元素融入点】线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象能力和勇于探索的科学精神。第七章线性变换（22学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形、最小多项式等内容。2、教学要求：（1）掌握线性变换的定义及性质。（2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性变换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多项式是可交换的。（3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。（4）理解线性变换的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，掌握它们与矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的关系；会通过求矩阵的特征值和
1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关 系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直 和，线性空间的同构。 2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。 【学习内容】 1. 集合·映射 2. 线性空间的定义与简单性质 3. 维数·基与坐标 4. 基变换与坐标变换 5. 线性子空间 6. 子空间的交与和 7. 子空间的直和 8. 线性空间的同构 【思政元素融入点】 线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽 象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象 能力和勇于探索的科学精神。 第七章 线性变换（22 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变 换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角 矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形、最小多项 式等内容。 2、教学要求： （1）掌握线性变换的定义及性质。 （2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性 变换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多 项式是可交换的。 （3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换 在不同基下的矩阵相似等性质。 （4）理解线性变换的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，掌握 它们与矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的关系；会通过求矩阵的特征值和
特征向量来求线性变换的特征值和特征向量：了解（可逆）线性变换（矩阵）的特征值和特征向量与逆变换（矩阵）及线性变换（矩阵）多项式的特征值和特征向量之间的关系；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系；正确理解哈密尔顿-凯莱定理。（5）掌握n维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的3组充要条件和一个充分但不必要的条件。（6）掌握线性变换的值域、核及秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，知道有限维线性空间的线性变换是单射与是满射的等价性；理解值域与核的和可能是直和也可能不是。（7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是-子空间；理解两个可交换的线性变的任一个的值域与核是另一个的不变子空间；深刻理解线性变换的矩阵可准对角化与空间变分解成不变子空间的直和的等价性；了解将线性空间按线性变换的特征多项式分解成不变子空间的直和的条件。（8）正确理解若尔当（Jordan）标准形。（9）理解数字方阵的最小多项式的概念及基本性质，会用试因式法和不变因式法求最小多项式；了解最小多项式的一些应用。【教学重点与难点】1、教学重点：线性变换的概念及运算，线性变换与矩阵的联系，矩阵相似，线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，哈密尔顿-凯莱定理，线性变换（矩阵）的对角化，不变子空间，最小多项式及其应用。2、教学难点：线性变换的值域与核，线性变换（矩阵）的对角化。【学习内容】1.线性变换的定义2.线性变换的运算3.线性变换的矩阵4.特征值与特征向量5.对角矩阵6.线性变换的值域与核7.不变子空间8.若尔当（Jordan）标准形介绍9.最小多项式【思政元素融入点】
特征向量来求线性变换的特征值和特征向量；了解（可逆）线性变换（矩阵）的 特征值和特征向量与逆变换（矩阵）及线性变换（矩阵）多项式的特征值和特征 向量之间的关系；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系；正确理解哈密尔顿 -凯莱定理。 （5）掌握 n 维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的 3 组充 要条件和一个充分但不必要的条件。 （6）掌握线性变换的值域、核及秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变 换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，知道有限 维线性空间的线性变换是单射与是满射的等价性；理解值域与核的和可能是直和 也可能不是。 （7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是σ-子空间；理解两 个可交换的线性变的任一个的值域与核是另一个的不变子空间；深刻理解线性变 换的矩阵可准对角化与空间变分解成不变子空间的直和的等价性；了解将线性空 间 按线性变换的特征多项式分解成不变子空间的直和的条件。 （8）正确理解若尔当（Jordan）标准形。 （9）理解数字方阵的最小多项式的概念及基本性质，会用试因式法和不变 因式法求最小多项式；了解最小多项式的一些应用。 【教学重点与难点】 1、教学重点：线性变换的概念及运算，线性变换与矩阵的联系，矩阵相似， 线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式，哈 密尔顿-凯莱定理，线性变换（矩阵）的对角化，不变子空间，最小多项式及其 应用。 2、教学难点：线性变换的值域与核，线性变换（矩阵）的对角化。 【学习内容】 1. 线性变换的定义 2. 线性变换的运算 3. 线性变换的矩阵 4. 特征值与特征向量 5. 对角矩阵 6. 线性变换的值域与核 7. 不变子空间 8. 若尔当（Jordan）标准形介绍 9. 最小多项式 【思政元素融入点】