例:求图示函数的拉氏变换|0 解 方法一:利用叠加性和时延性 f(t)=tu(t)-2(t-1)u(t-1)+(t-2)u(t-2) ELtu(t]= [f(t-t]=F(s)e-° F1(S) e (1-e)2 方法二:利用微分、积分定理 f1(t) =L6(t)-28(t-1)+6(t-2)] (1-e-)2 92]=(0)+10)-9(0) f1(0-)=0,f(0-)=0 s2F1()=(1-e-)2 F(s)=_1 (1-e-1)2
11 例：求图示函数的拉氏变换。 解： 方法一：利用叠加性和时延性 方法二：利用微分、积分定理
(5)尺度变换性 若f(r) F(S) 则f (-)(a>0) f(at-b)→-F(-)e“(a>0,b>0) 例:已知函数f(r)=Au()-An(t-4),求f(2-2)的拉氏 变换。 A A f()= A 解: (1-e-) Lf(2t-2)=F(Ge-=-(1-e2")e 此靠部电火兽电信二假院 (6)s域平移性 若f()C→F() F(s+a) 例:求∫(1)=e" cos(ar)的拉氏变换 解 cosar= 由域平移性得Le" cos(ar S+a c+(+a 此京部电火兽电信二假院
12 北京邮电大学电信工程学院 23 (5) 尺度变换性 ( ) ( 0, 0) 1 ( − ) → > > − e a b a s F a f at b a b s 例： 已知函数 ，求 的拉氏 变换。 f (t) = Au(t)− Au(t −4) f (2t − 2) 解： [ ( )] (1 ) 4s 4s e s A e s A s A L f t − − = − = − s s s e e s A e s L f t F − − − − = = (1− ) 2 2 1 ) 2 ( 2 1 [ (2 2)] 2 ( ) ( 0) 1 ( ) ( ) ( ) ⎯⎯→ > ⎯⎯→ a a s F a f at f t F s L L 则 若 北京邮电大学电信工程学院 24 （6）s域平移性 例： 求 的拉氏变换。 f (t) e cos( t) at ω − = 2 2 [cos( )] s s L t + = ω 解： Q ω 2 2 ( ) [ cos( )] s a s a s L e t at + + + ∴ = − ω 由 域平移性得 ω ( ) ( ) ( ) ( ) f t e F s a f t F s at ⎯⎯→ + ⎯⎯→ − L L 则 若
43拉氏变换的基本性质 (7)s域微分性若()-→F(s) 则-gf(t sdF(s) ds t"f(t)→(-1) dF (s) dn(n为正整数) (8)s域积分性若f()→F( 则 f(t) F(s)ds 此靠部电火兽电信二假院 4.3拉氏变换的基本性质 (9)卷积 若f()-CF1(s),f2(t)-C→F2(s) 则;(o/④0)-→1.F()*F(s 2 f1(t)*∫2(1)→>F1(S)·F2(s) 此京部电火电信二《院
13 北京邮电大学电信工程学院 25 （7）s域微分性 ( ) ( ) ( ) ( 1) n为正整数 ds dF s t f t n n n n → − （8）s域积分性 ∫ ∞ → → s F s ds t f t f t F s ( ) ( ) ( ) ( ), 则 若 4.3 拉氏变换的基本性质 ds sdF s tf t f t F s ( ) ( ) ( ) ( ) − ⎯⎯→ ⎯⎯→ L L 则 若 北京邮电大学电信工程学院 26 (9)卷积 4.3 拉氏变换的基本性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 f t f t F s F s F s F s i f t f t f t F s f t F s ∗ → • • ⎯⎯→ ∗ ⎯⎯→ ⎯⎯→ π L L L 则 若
43拉氏变换的基本性质 (0)极值性若(0-→F(0-→4“1 则初值f(04)=lim|F(s 终值imf(t)= Flim sF(s 证明 由原函数微分定理知 F(s)-∫(0)=L dt f(te dt 此靠部电火兽电信二假院 f(redt+ f(e-dt (0,)-f0)+「J(ae"dt 2=/0,+ esdt 当s→∞时,上式右端第二项的极限为 limI df(t)-st df(t) lime kt=O lims(s)=f(0n) 值定理 limsF(s)=f(0, )+lim[r d(d)"d=f(0, )+limf(-r(0, Iimf()= lims(s)←终值定理
14 北京邮电大学电信工程学院 27 (10) 极值性 证明： 由原函数微分定理知 ∫ +∞ − − = 0 ' f (t)e dt st ] ( ) ( ) (0 ) [ dt df t sF s − f − = L 4.3 拉氏变换的基本性质 lim ( ) lim[ ( )] (0 ) lim[ ( )] ] ( ) [ ( ) ( ) ( ), 0 1 1 f t sF s f sF s dt df t dt df t f t F s t s s →∞ → →∞ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 终值 ＝ 则初值 ＝ 若 ＋ L L L ∫ ∫ ∫ +∞ − + − +∞ − − + + + − = − + = + 0 ' 0 ' 0 0 ' (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) f f f t e dt f t e dt f t e dt st st st e dt dt df t sF s f st ∫ ∞ − + + ∴ = + 0 ( ) ( ) (0 ) [lim ] 0 ( ) ] ( ) lim[ 0 0 = = → ∞ ∫ ∫ ∞ − →∞ ∞ − →∞ + + e dt dt df t e dt dt df t s st s st s 当 时，上式右端第二项的极限为 lim ( ) (0 ) + →∞ ∴ sF s = f s (0 ) lim ( ) (0 ) ( ) lim ( ) (0 ) lim 0 0 0 + →∞ + ∞ − → + → ∴ = + = + − ∫ + e dt f f t f dt df t sF s f t st s s lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t→∞ s→ ∴ = 初值定理 终值定理
注意 1.初值定理中要求F()是真分式。F(s)=F(S)-k f(02)=limsF(s)-ks=lims(s)I F(S)中有常数项,说明f()中有8)项。 2终值定理仅当sF(在平面的虚轴上及其右边 都没有极点时,才可应用。 例:已知F(s)=,求f(0,)。 解 f(o+=lim f(t)=lim SF(S) →0 s→ 此靠部电火兽电信二假院 例:已知F(s),求f(0,)。(1)F(s)= s2+2s+1 (s-1)(+2)(s+3) (2)F(s)= s3+s2+2s+1 (s+1)(8+2)(s+3) 解: ()f(0)=im8-1(+2)(+3)=1 由于F(S)在右半S平面有极点S=1,故f(t)的终值不存在 (2)由于F(s)分子的阶次等于分母的阶次,故利用长除法 5s2+9s+5 F(s)=1-s+6s2+11+6 fco=lim S (6+9+5)m()=lmns+8+23+ m。s+6s3+11s+
15 北京邮电大学电信工程学院 29 注意 2. 终值定理仅当sF(s)在s平面的虚轴上及其右边 都没有极点时，才可应用。 ( 0 ) lim ( ) lim ( ) 1 0 = = = → → ∞ + + f f t sF s t s 解： 例： 已知 ，求 。 (0 ) + f s F s 1 ( ) = F (s) = F(s)−k 1 F(s) 中有常数项，说明 f(t) 中有 项。 δ (t) 1. 初值定理中要求 是真分式。 ( ) 1 F s (0 ) lim[ ( ) ] lim[ ( )] 1 f sF s ks sF s s→∞ s→∞ + = − = 例： 已知 ，求 。 F(s) (0 ) + f 解：