例:求图示信号的拉氏变换 解: 周期性矩形信号的第一个 周期的信号可以表示为: f1(n)=()-u(t-z 11 Lf()=F1()=--e=-(1-e-) fr()=f1(t)u)+f1(t-m叫(-T+…f1(t-nnut-n Lr()=F(s)+F(sl+…f1(s)mr=F(s∑er F(s), 周期化因 子 e Lf(t) e L1() 16
16 例： 求图示信号的拉氏变换。 解： 周期性矩形信号的第一个 周期的信号可以表示为： ( ) ( ) ( ) 1f t = u t − u t −τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fT t = f1 t u t + f1 t −T u t −T +Lf1 t −nT u t −nT (1 ) 1 1 1 [ ( )] ( ) 1 1 sτ sτ e s e s s L f t F s − − = = − = − sT s T s e e L f t − − − • − ∴ = 1 1 1 [ ( )] τ 周期化因 子 T sT e L t − − = 1 1 [δ ( )] ∑ ∞ = − − − = + + = 0 1 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) n sT snT nsT T L f t F s F s e LF s e F s e sT e F s − − = 1 1 ( ) 1
44拉普拉斯逆变换 1部分分式分解法 采用部分分式分解的方法, 把F(s)分解为若干简单函数 之和,逐个求得逆变换 此靠部电火兽电信二假院 44拉普拉斯逆变换 1部分分式分解 设F(S)= A(S)anS"+an1s"+…+a (有理式 B(s) b, s"+b 则A(s)=an( )( 其中21z2…称F(s)的零点 B(s)=b,(s- Pu(s-P2)(s-P, 其中p1,P2,…Pn称F(s)的极点 此京部电火电信二《院 17
17 北京邮电大学电信工程学院 33 4.4 拉普拉斯逆变换 1.部分分式分解法 采用部分分式分解的方法， 把 F(s)分解为若干简单函数 之和，逐个求得逆变换。 北京邮电大学电信工程学院 34 1.部分分式分解 4.4 拉普拉斯逆变换
44拉普拉斯逆变换 1.部分分式分解(极点为实数,无重根,m<n) Fs) (s-P)(s-p)(s-s 需要确定K1K2K3 F(S) k11K2 K s-A S-P25-p3 K=(S-P)F(S)Is f(=Ke+ke+ke 此靠部电火兽电信二假院 44拉普拉斯逆变换 1.部分分式分解(包含共轭复数极点) F(s)= A(s) D(SI(s+a)+BI Ds(sta-jp)state =F(S) (s+ajB)(statiC) K K 十 此京部电火电信二《院
18 北京邮电大学电信工程学院 35 1.部分分式分解（极点为实数，无重根,m<n） ( )( )( ) ( ) 1 2 3 ( ) s p s p s p As F s − − − = 3 3 2 2 1 1 ( ) s p K s p K s p K F s − − − = + + pt p t p t f t Ke Ke Ke 1 2 3 1 2 3 ( )= + + 需要确定 i i i s p K s p F s = − = ( ) ( )| K1 K2 K3 4.4 拉普拉斯逆变换 北京邮电大学电信工程学院 36 1.部分分式分解（包含共轭复数极点） ( )[( ) ] ( ) ( ) 2 2 +α + β = D s s A s F s ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) D s s α jβ s α jβ s α jβ s α jβ As F s + − + + + − + + = × = × = + +⋅⋅⋅ ( + − ) ( + + ) 1 2 α β s α jβ K s j K 4.4 拉普拉斯逆变换
1.部分分式分解(包含共轭复数极点) K=(s+a-P)F(s) +jB) ejB 令K1=A+jBk1=K1 将F(S)中与共轭复数极点有关部 分的逆变换用∫()表示 K f(t=LI S+a+ e(K,e+kie)=2e ACos(Ar)-Bsin(Ar)I 此靠部电火兽电信二假院 44拉普拉斯逆变换 1.部分分式分解(有多重极点) F(S) A(s) 1)D(s)(-p)y Ds 欲确定K1=(s-P)F(s)nF(s)=(S-pF(s) F()=K1+K2(-p)+…+K1(S=p)+B(-p) K (1-1)!d2l F1(s) P 12…k 此京部电火电信二《院
19 北京邮电大学电信工程学院 37 将F(s)中与共轭复数极点有关部 分的逆变换用 表示 f (t) c β α β α β α β j F j K s j F s s j 2 ( ) ( ) ( )| 1 1 − + = + − =− + = ∗ K2 =K1 令K1 = A+ jB ( ) 2 [ cos( ) sin( )] ( ) [ ] 1 1 1 1 2 e K e K e e A t B t s j K s j K f t L t j t j t t c β β α β α β α β β α = + = − + + + + − = − ∗ − − − 1.部分分式分解（包含共轭复数极点） 北京邮电大学电信工程学院 38 1. 部分分式分解（有多重极点） ( ) ( ) ( ) 1 ( ) s p D s A s F s k − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1 11 D s E s s p K s p K s p K k = k + k +⋅⋅⋅+ + − − − − k D s k E s F(s) K K (s p ) K k (s p ) (s p ) ( ) 1 1 ( ) 1 = 11 + 12 − 1 +⋅⋅⋅+ 1 − 1 + − − 1 1 1 ( )| ( 1)! 1 1 1 s p ds d i i K i F s i − − = − = ⋅ i =1,2,⋅⋅⋅,k 1 ( ) ( )| 11 1 s p k K s p F s 欲确定 = − = ( ) ( ) ( ) 1 1 F s s p F s k 令 = − 求得： 4.4 拉普拉斯逆变换
已知F(s) 0(S+2)(S+5 ,求其逆变换 s(S+1)(s+3) 解:部分分解法F(s)=-+ 其中k1=F(s。 10(s+2)(s+5 100 (s+1)(s+3) (s+1)F(s 10(s+2)(s+5 20 (S+1)(s+3 k=(s+3)F( 0(s+2)(S+5) 10 S(S+ 1) 10020 13(s+3) 10 f(t)=( 20e )u(t)
20 已知 ，求其逆变换。 ( 1)( 3) 10( 2)( 5) ( ) + + + + = s s s s s F s 3( 3) 10 1 20 3 100 ( ) + − + ∴ = − s s s F s ) ( ) 3 10 20 3 100 ( ) ( 3 f t e e u t −t − t ∴ = − −