第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 拉普拉斯变换 系统函数 系统函数的零、极点分布分析 ·线性系统的稳定性 ·拉氏变换与傅氏变换的关系 此靠部电火兽电信二假院 41引言 拉氏变换作用? 目前,在连续、线性、 时不变系统分析中,利用 拉氏变换建立的系统函数 及其零、极点分析的概念 仍发挥重要作用 此京部电火电信二《院
1 北京邮电大学电信工程学院 1 第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 • 拉普拉斯变换 • 系统函数 • 系统函数的零、极点分布分析 • 线性系统的稳定性 • 拉氏变换与傅氏变换的关系 北京邮电大学电信工程学院 2 拉氏变换作用？ 目前，在连续、线性、 时不变系统分析中，利用 拉氏变换建立的系统函数 及其零、极点分析的概念 仍发挥重要作用。 4.1 引言
拉氏变换优点 求解常系数微分方程的步骤得到简化,初始条 件被自动计入,应用更加普遍 将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法” ·指数函数等以及有不连续点的函数,经拉氏变 换可转换为简单的初等函数 时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函 数的乘法运算,建立了系统函数的概念 利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统 性能 此靠部电火兽电信二假院 42拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换到拉氏变换 不满足狄里赫利 若乘一衰减因子em,G 为任意实数,则f(t)e- 条件的几种情况 收敛,满足狄里赫利条件 ) u(t)e 增长信号e(a>0 (o>a 周期信号cost e cos @,t 此京部电火兽电信二假院
2 北京邮电大学电信工程学院 3 • 求解常系数微分方程的步骤得到简化，初始条 件被自动计入，应用更加普遍。 • 将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法” • 指数函数等以及有不连续点的函数，经拉氏变 换可转换为简单的初等函数 • 时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函 数的乘法运算，建立了系统函数的概念 • 利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统 性能 拉氏变换优点 北京邮电大学电信工程学院 4 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 不满足狄里赫利 条件的几种情况 傅氏变换到拉氏变换 e (a >0) at t1 cosω 增长信号 周期信号 u(t) t u t e−σ ( ) e .e ( a) at t > − σ σ e t t 1 cosω −σ 若乘一衰减因子 ， 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件 e −σt σ t f t e − σ ( )
f()=f() dt= F(o+jo) 象函数 S=o+J F(s)=f(te- sdt S=o+io为复数,具有频率量纲,称为复频率 傅氏变换:实频率是振荡频率 拉氏变换:复频率SO是振荡频率,是衰减因子 f(r=f(e o F(0+ja)=f()e lot ondt F(o+joe de 2 f( F(o+jo)e d 2 已知s=σ+jo,所以ds=dσ+jdm, o为常量,则s=jdo 原函数 f(t) F(s)e
3 傅氏变换: 实频率 是振荡频率 拉氏变换: 复频率S 是振荡频率， 是衰减因子 ω ω σ t f t f t e−σ ( ) = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ω σ ω σ ω F f t e dt F j j t = = + ∫ ∞ −∞ − + ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st ( ) ( ) 象函数 s=σ+jω为复数，具有频率量纲，称为复频率。 s=σ+jω t f t f t e−σ ( ) = ( ) 1 F j f t e dt j t ∫ ∞ −∞ − + + = ( ) ( ) ( ) σ ω σ ω ∫ ∞ − ∞ − = σ + ω ω π σ ω f t e F j e d t j t ( ) 2 1 ( ) F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ ∴ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) 原函数 ∫ ∞ − ∞ + = σ + ω ω π σ ω f t F j e d ( j )t ( ) 2 1 ( ) σ ω σ ω σ ω ds jd s j ds d jd = = + = + 为常量，则 已知 ，所以
拉氏变换 F(s)= f(t)e-dt 拉氏反变换 f(t) °"F(s)e"ds 2 a-yon 单边拉氏变换为F(s)=f()e-dt 对于旷系统,相应的单边拉氏变换为 F(s)=f(t)- dt f(t)= F(s) ds 2rj O-yoo 42拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换和拉氏变换差别 傅氏变换 拉氏变换 f(1)<>F(O) f(t)<>F(s) 和a是实数 t是实数s是复数 ⑩只能描述振荡频率S不但能给出重复频率 还能表示幅度的增长速 率或衰减速率 此京部电火电信二《院
4 对于 系统，相应的单边拉氏变换为： − 0 F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st 拉氏变换 ( ) ( ) 拉氏反变换 ∫ ∞ − = 0 F (s) f (t)e dt st 单边拉氏变换为 F s e ds j f t j j st ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ ( ) 2 1 ( ) ∫ ∞ − − = 0 F (s) f (t)e dt st 北京邮电大学电信工程学院 8 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 傅氏变换和拉氏变换差别 傅氏变换 拉氏变换 f (t) ↔ F(ω) f (t) ↔ F(s) s 不但能给出重复频率， 还能表示幅度的增长速 率或衰减速率 ω只能描述振荡频率 t和ω是实数 t是实数,s是复数
42拉氏变换的定义、收敛域 收敛域:使F()存在的s的区域称为收敛域。 即:imf()e=0(a>0) →0 记为ROC( Region of Convergence) JO 0为 收敛区 收敛轴 0=0 此靠部电火兽电信二假院 拉氏变换的收敛域 满足imf(le-=0(a>)的信号称为指数阶信号 O 有始有终信号和能量有限信号个平面 的拉氏变换一定存在 等幅振荡信号和增长信号 如=0或0=a 以0为界O O0= 此京部电火电信二《院
5 北京邮电大学电信工程学院 9 lim ( ) 0 ( ) σ σ 0 σ = > − → ∞ t t 即： f t e 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 σ =σ0 σ 以 为界 σ 0 jω 收敛区 收敛轴 记为ROC（Region of Convergence）. 4.2 拉氏变换的定义、收敛域 北京邮电大学电信工程学院 10 •有始有终信号和能量有限信号 的拉氏变换一定存在 •等幅振荡信号和增长信号 如 0 σ 0 = 或 = a σ0 σ jω 整个平面 σ jω σ 0 = a 以 为界 σ 0 拉氏变换的收敛域 •满足 ( ) 0 ( ) 的信号称为指数阶信号. lim σ σ 0 α = > − →∞ t t f t e