拉氏变换的收敛域 limt"e-at=0(a>0),也称为指数阶信号。 →0 不收敛信号e,t(0≤1≤∞ 是非指数阶信号,无法进行拉氏变换 除非(0≤t≤7) 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 此靠部电火兽电信二假院 一些常用函数的拉氏变换 阶跃函数u() Lu(oI dt 指数函数e -(a+s 0>- a+s0 a+ 增长函数t L[c]=re"dt 此京部电火电信二《院 6
6 北京邮电大学电信工程学院 11 •不收敛信号 , (0 ) 2 2 e te ≤t ≤∞ t t 是非指数阶信号，无法进行拉氏变换。 除非 (0 ≤ t ≤ T) • lim − = 0( > 0),也称为指数阶信号。 →∞ σ n σt t t e •一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 拉氏变换的收敛域 北京邮电大学电信工程学院 12 一些常用函数的拉氏变换 阶跃函数u(t) s s e L u t e dt st st 1 0 [ ( )] 0 = ∞ = = − − +∞ − ∫ ( ) 1 0 [ ] ( ) 0 a a s a s e L e e e dt a s t at at st > − + = ∞ + = = − − + +∞ − − − ∫ σ ( 0) ! [ ] 1 0 = = > + +∞ − ∫ n s n L t t e dt n n n st 指数函数 at e− 增长函数 n t
一些常用函数的拉氏变换 冲激函数 LS(]= &(t)e dt=1 L[S(t-to]= 8(t-to De 'dt=e 此靠部电火兽电信二假院 43拉氏变换的基本性质 (1)线性若()-2→F(s,f()-2→F( 则k,f()+k2f2()-2→kF(s)+kF2(s) 例:求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。 解: f(o=u(tcos ot=u(te 2 Le“] F(S)=( a+s 2S2+2 同理I(my=(1 S-JO S+J@ 2j S 此京部电火电信二《院
7 北京邮电大学电信工程学院 13 冲激函数 [ ( )] ( ) 1 0 = = ∫ +∞ − − L t t e dt st δ δ 0 0 0 0 [ ( )] ( ) st st L t t t t e dt e − +∞ − − = − = ∫ − δ δ 一些常用函数的拉氏变换 北京邮电大学电信工程学院 14 4.3 拉氏变换的基本性质 (1) 线性 例： 求单边正弦、余弦信号的拉氏变换。 ) 2 ( ) ( ) cos ( )( j t j t e e f t u t t u t ω ω ω − + = = 2 2 2 1 ) 1 1 ( ) ( ω ω +ω = − + + ∴ = S S S j S j F S a s L e at + = − 1 [ ] 2 2 2 1 ) 1 1 : [ ( )sin ] ( ω ω ω ω + = + − − = S j S j j S 同理 Lu t t 解：
43拉氏变换的基本性质 若f(()-2F(s) (2)时域平移性 则f(t-t(-t 证明: L(60(=4)=[U(-6-1)y=“d f(t-to )e dt f(r)ee dr=e F(s) 此靠部电火兽电信二假院 例:已知f()=m(≠D,求f的拉氏变换。 解:F(S)=L1t-1)]=l(t-1)a(t-1)+l(t-1) 例:已知f(0=2c0s+m0,求m的拉氏变换。 解 ∫(t)=(√2 cost cos"-√2 sint sin"u(t)=(cost-sin)a() F(s)=( 1+s21+s21+s
8 北京邮电大学电信工程学院 15 (2) 时域平移性 ∫ +∞ − − − = − − 0 0 0 0 0 L[ f (t t )u(t t )] [ f (t t )u(t t )]e dt 证明： st ∫ +∞ − = − 0 ( )0 t st f t t e dt ( ) ( ) 0 0 0 f e e d e F s st s −st +∞ − − ∫ = τ τ = τ 4.3 拉氏变换的基本性质 例： 已知 f(t)=tu(t-1)， 求 f(t) 的拉氏变换。 F(S) = L[tu(t −1)]= L[(t −1)u(t −1)+u(t −1)] s e s s − = + ) 1 1 ( 2 例： 已知 ， 求 ) ( ) f(t) 的拉氏变换。 4 f (t) 2cos(t u t π = + ) ( ) (cos sin ) ( ) 4 2 sin sin 4 f (t) = ( 2 cost cos − t u t = t − t u t π π 2 2 2 1 1 ) 1 1 1 ( ) ( s s s s s F s + − = + − + ∴ = 解： 解：
(3)时域微分性 若()-C→F(s) 则 df (t)L sF()-f(o_) dt 证明 df(t) =sF(s)-∫(0 拉氏变换已 虑了初始条 可推广至:“0F()-rm0.) 电感的s域模型 i(t) 设L1()=l4(s,LU1(O)=U4(s) +U(t) U10=lmL(o) a∴U1(S)=(S)-i10)=sL1(s)-Li1(0) 故电路等效为: Li 电感的s城棋型 +U2(s)- 此京部电火电信二《院
9 (3) 时域微分性 拉氏变换已考 虑了初始条件 证明： ∫ ∫ ∞ − − − +∞ − − − − − ∞ = = 0 0 ' [ ( ) ] 0 ] ( ) ( ) ( ) [ f t e dt f t e sf t e dt dt df t L st st st ( ) (0 ) = − − sF s f 可推广至： ( ) (0 ) ( ) ( ) 1 0 1 − − = − − ⎯⎯→ −∑ r n r n n r n n s F s s f dt d f t L ( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ⎯⎯→ − − ⎯⎯→ sF s f dt df t f t F s L L 则 若 北京邮电大学电信工程学院 18 电感的s域模型 故电路等效为： 电感的s域模型 i (t) L + U L (t) − L L[i (t)] I (s), L[U (t)] U (s) 设 L = L L = L ( ) [ ( ) (0 )] ( ) (0 ) ∴ L = L − L − = L − LiL − U s L sI s i sLI s dt di t U t L L L ( ) ( ) =
(4)时域积分性 若f()C→F() d-,F(+f(0 证明:r=,1orr ① F(s) 电容器的s域模型 a L(i (D)=I(s), Lv(D)=V(s) t vr(t) v() C。(z)d dt (s),i-(0) 路 "(0) l2(s)5 电容器的 效 → 为 此京部电火电信二《院
10 (4) 时域积分性 证明： s F(s) = s f s F s f d f t F s t ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (−1) −∞ ⎯⎯→ + ⎯⎯→ ∫ L L 则 τ τ 若 北京邮电大学电信工程学院 20 电容器的s域模型 C + vC (t) − i (t) C + − I (s) C SC 1 V (S) C (0 ) 1 S C − v 电容器的 S 域模型 电 路 等 效 为 L[i (t)] I (s), L[v (t)] V (s) 设 c = C c = C ∫−∞ = t c ci C v t (τ )dτ 1 ( ) (0 ) 1 ( ) 1 ] ( ) (0 ) [ 1 ( ) ( 1) − − − ∴ = + = c + c c c c v s I s s sC i s I s C V s