教案第五章万有引力场 3.匀质球体对球内质点的引力和引力势能 如图，球体半径为R,质量为m,质点m位于球内r处P点，因为P点处的球壳对 m的引力为零，P点内的球体对m的引力为： m为半径为：的球体的质量。言知P 则得：F=-Gmm, R (r<R) 即只与r以内的质量有关。 下面利于功能关系求其引力势能。 将质点由P点移至球体表面，根据功能关系有 F.本=E,)-E,(风 得，-E,风=-6爱(R-r 已知E风=-G贸 则得：E,0=-G票3R-r内( 则可根据表达式画出引力及引力势能的关系图如下： r t F(r) 、E=Gmm -Gmm(3R-ryR 4.质点在地球表面附近的重力势能 设地球为匀质球体，则地球表面高为h处的引力势能为： E(R+)=E(R)+Gmm.R.(R+) h 79
教案 第五章 万有引力场 79 3．匀质球体对球内质点的引力和引力势能 如图，球体半径为 R，质量为 m，质点 m 位于球内 r 处 P 点，因为 P 点处的球壳对 m 的引力为零，P 点内的球体对 m 的引力为： 2 r mm F G = − m为半径为 r 的球体的质量， r P 3 3 4 则得： r R mm F G 3 = − （r<R） 即只与 r 以内的质量有关。 下面利于功能关系求其引力势能。 将质点由 P 点移至球体表面，根据功能关系有 F dr E (r) E (R) p p R r = − 得 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 3 R r R mm Ep r Ep R G − − = − 已知 R mm Ep R G ( ) = − 则得： (3 ) 2 ( ) 2 2 3 R r R mm Ep r G − = − （R>r） 则可根据表达式画出引力及引力势能的关系图如下： 4．质点在地球表面附近的重力势能 设地球为匀质球体，则地球表面高为 h 处的引力势能为： ( ) ( ) ( ) R R h h E R h E R Gmm e e p e p e e + + = + O r P m m EP(r) R r O EP=-Gmm(3R 2 -r 2 )/R EP=-Gmm/r r O F=-Gmm/r2 EP(R) F=-Gmmr/R3 F(r)
教案第五章万有引力场 R、m分别为地球的半径和质量。 设ER)=O,即选地球表面处为势能零点，且R(R+M三R,则有： E,(代+)±Gmh=gh:其中g=G为地球表面附近的重力加速度。 R 同理可得地球内部r处质点的势能为： Ep(r)=-mgh 例题：有一质量为m,长为1，质量线密度为入的匀质细棒，求在棒的延长线上距离端点 为r的质点，所受到棒的引力及引力势能： 解：速度如图所示坐标系取微元dm'=k,则 dE-_GmdmGimids ---5---p 点，-E,=-0m空-6mah石 面F=G F=-rom=60月 方向沿x轴正向，即为吸引力。 利用F与E,的关系也可求得F。 F告=oa( §5行星的椭圆轨道和面积定律的验证The application of keppler's law 1.椭圆轨道的论证： 开普勒第一定律是根据大量的观察数据总结得出来的，既然天体之间的相互作用力 为万有引力，那么从引力定律出发就应当得到开普勒第一定律，1684年，牛顿就作了此 计算，结论是正确的。 下面我们在相坐标中来进行验证。 设太阳的质量为m',行星的质量为m,如图所示，则有：
教案 第五章 万有引力场 80 Re、me分别为地球的半径和质量。 设 Ep(Re)=0，即选地球表面处为势能零点，且 2 ( ) Re Re + h = Re ，则有： h mgh R mm E R h G e e p e + = = 2 ( ) ；其中 2 e e R Gm g = 为地球表面附近的重力加速度。 同理可得地球内部 r 处质点的势能为： Ep(r)=-mgh 例题：有一质量为 m，长为 l，质量线密度为的匀质细棒，求在棒的延长线上距离端点 为 r 的质点，所受到棒的引力及引力势能： 解：速度如图所示坐标系取微元 dm = dx ，则 x Gm dx x Gmdm dEp = − = − r l r Gm x dx E dE Gm r l r r l r p p + = = − = + + ln 而 2 x mdm dF G = + = = = − + + r l r G m x dx F dF Gm r l r r l r 1 1 2 方向沿 x 轴正向，即为吸引力。 利用 F 与 Ep 的关系也可求得 F。 i r l r i G m dr dE F p + = − = − 1 1 §5 行星的椭圆轨道和面积定律的验证 The application of keppler’s law 1．椭圆轨道的论证： 开普勒第一定律是根据大量的观察数据总结得出来的，既然天体之间的相互作用力 为万有引力，那么从引力定律出发就应当得到开普勒第一定律，1684 年，牛顿就作了此 计算，结论是正确的。 下面我们在相坐标中来进行验证。 设太阳的质量为 m，行星的质量为 m，如图所示，则有： dm r m P O x e O m r m P vr 参考轴 P v v er
教案第五章万有引力场 i=v,e,+voe 2=+ 行星的角动量是守恒的：甲L=心出恒量 (1) 能量为：E=m-Gm=-恒量，代入产表达式得 =出+m(9-6-恒量 (2) 由(1)式和(2)式可得： LIr2 V2nE+cmm）2=d 积分后可得：=41+ecos0) (3) 脚4，e (3)式是典型的圆锥曲线方程，因为E<0,故偏心率<1：因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2.面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在d血时间内，径矢F扫过的面积为杰=d0 则会出0m恒量 1 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 81
教案 第五章 万有引力场 81 r r o o v v e v e = + 2 2 2 r o v = v +v 而 dt dr vr = ； dt d v r = ； 2 2 2 2 + = dt d r dt dr v 行星的角动量是守恒的：即 = = dt d L mr 2 恒量 （1） 能量为： r mm E mv G = − 2 2 1 =恒量，代入 v 2 表达式得 = − + = r mm G dt d mr dt dr E m 2 2 2 2 1 2 1 恒量 （2） 由（1）式和（2）式可得： dr d r L r m E Gmm L r = − + 2 2 2 1 2 / 积分后可得： (1 cos ) 1 A e r = + （3） 其中 2 2 L Gm m A = ； 1/ 2 2 2 3 2 2 1 = + G m m EL e （3）式是典型的圆锥曲线方程，因为 E<0，故偏心率 e<1；因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2．面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在 dt 时间内，径矢 r 扫过的面积为 ds r d 2 2 1 = 则 = = = = = m L mr m r dt d r dt ds 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 恒量 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 O r d