将定义中的“行”换成“列”,就得到矩阵的初等列 换的定义将“r”换成“c”,就得到列变换的表示方 阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初 等变换 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称 矩阵A与B等价记作A≈B 2357 3263 01302 B=0124 00D0 0005
将定义中的“行”换成“列”,就得到矩阵的初等列 变 换的定义,将“r”换成“c”,就得到列变换的表示方 法. 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初 等变换. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称 矩阵A与B等价,记作 A B. − = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2 2 3 5 7 A = 0 0 0 5 0 1 2 4 3 2 6 3 B
上述两个矩阵具有如下特点: (1)每个台阶上只有一行; (2)每个台阶的第一个数不等于零 (3)台阶左下方的元素全为零。 具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。 再观察以下两个阶梯形矩阵: 1200 0010 01303 B 0001 0001 0000 00000 这两个阶梯形矩阵都具有如下特点:
上述两个矩阵具有如下特点： （1）每个台阶上只有一行； （2）每个台阶的第一个数不等于零； （3）台阶左下方的元素全为零。 具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。 再观察以下两个阶梯形矩阵： = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 3 0 3 1 0 2 0 1 B 这两个阶梯形矩阵都具有如下特点：
(4)每个台阶上的第一个数都是1,并且这些1 所在列的其它元素全为零 具有特点(4)的行阶梯形矩阵称为行最简阶 梯形矩阵。 定理1.11每个矩阵都可以经过有限次初等行变 换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵。 0006-2 例2试用初等行变换将 1-2-112 2-1043 3336 化为行阶梯形,进而化为行最简阶梯形矩阵
（4）每个台阶上的第一个数都是1，并且这些1 所在列的其它元素全为零。 具有特点（4）的行阶梯形矩阵称为行最简阶 梯形矩阵。 定理 1.1.1 每个矩阵都可以经过有限次初等行变 换化为行阶梯形矩阵, 进而化为行最简阶梯形矩阵。 例 2试用初等行变换将 − − − − = 3 3 3 6 4 2 1 0 4 3 1 2 1 1 2 0 0 0 6 2 A 化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵
解 A 1003 223 0231000 039 1026 623 2212
解 − − − − ⎯⎯ ⎯→ ⎯→ 3 3 3 6 4 2 1 0 4 3 0 0 0 6 2 1 2 1 1 2 A 1 2 r r − − − − ⎯⎯⎯→ − − 0 9 6 3 2 0 3 2 2 1 0 0 0 6 2 1 2 1 1 2 4 1 3 1 r 3r r 2r
1-2-112 1-2-112 0322-1 0322-1 n2分r3 0006-2 0006-2 0963-2 000-3l 1-2-112 r4+,r3 0322-1 B 0006-2 00000 继续使用初等行变换,将B化为行最简阶梯形矩阵:
− − − − − ⎯⎯⎯→ 0 9 6 3 2 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 r r − − − − − ⎯⎯⎯→ − 0 0 0 3 1 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 1 2 4 2 r 3r B 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 1 2 4 3 r 2 1 r = − − − − ⎯⎯⎯→ + 继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：