Gauss公式Stokes公式微分形式的积分同理，当V是由有限个A型区域拼接而成的区域时，有apPdyΛdz=ddydzaaJav当V是由有限个B型区域拼接而成的区域时，有QQ[, Qdz A da = dadydz.dyJy这样我们就证明了当V分别可分成有限个A型，B型.C型区域的拼接时（11.1）仍成立.更一般地，有定理1（Gauss公式）设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成S的方向指向外侧.若函数P,Q,R在V上有连续的一阶偏导数，则有apaRaQPdy ^dz+QdzAda + Rda Ady =ddydz.ayac0zov(11.2)返回全屏关闭退出6/30
Gauss úª Stokes úª ©/ªÈ© Ón, V ´dk A .«© ¤«, k ZZ ∂V P dy ∧ dz = ZZZ V ∂P ∂x dxdydz. V ´dk B .«© ¤«, k ZZ ∂V Qdz ∧ dx = ZZZ V ∂Q ∂y dxdydz. ù·Òy² V ©O©¤k A ., B ., C .«© , (11.1) E¤á. /, k ½n 1 (Gauss úª) m« V d©¡1wVýµ4¡ S ¤, S ý. e¼ê P, Q, R 3 V þkëY ê, Kk ZZ ∂V P dy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy = ZZZ V ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z dxdydz. (11.2) 6/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例1计算Iy(α- z)dydz+adzda +(y+ z)dady,其中S是长方体 V=[0,a] ×[0,b] ×[0,c] 的外表侧面解因为y(α一z)，a，y?+az在空间中是Cl的，所以由Gauss公式得T(y + a)drdydzOydy+bcada二ac00bca?acb2X22abc(a + b)2返回全屏关闭退出7/30
Gauss úª Stokes úª ©/ªÈ© ~ 1 O I = ZZ S y(x − z)dydz + x 2dzdx + (y 2 + xz)dxdy, Ù¥ S ´N V = [0, a] × [0, b] × [0, c] Lý¡. ) Ï y(x − z), x2 , y2 + xz 3m¥´ C1 , ¤±d Gauss úª I = ZZZ V (y + x)dxdydz = ac Z b 0 ydy + bc Z a 0 xdx = acb2 2 + bca2 2 = abc(a + b) 2 . 7/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例2计算A：a dydz+ydzda +zdcdy,其中S = [(α, ,z) : α,y,z ≥ 0, a +y+z =1), 法向与 (1,1,1) 同向解设V是由S,Si,S2,S3所围成的四N面体，aV取外法向这里S1 = {(α, y, z) : a = 0, y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ 1)S2 = [(c, y, z) : ≥ 0, y = 0, z ≥ 0, a + z ≤ 1)S3 = [(c, y, z) : a ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, a +y≤ 1)由 Gauss 公式得1a dydz + y dzdc + z dady :3dadyd223Jav1J/+/L1. + dydz + y dzdc + z ddy =2JS1/ = 0, // = 0,=0.A2S3II返回全屏关闭退出-8/30
Gauss úª Stokes úª ©/ªÈ© ~ 2 O A = ZZ S x dydz + y dzdx + z dxdy, Ù¥ S = {(x, y, z) : x, y, z > 0, x + y + z = 1}, { (1, 1, 1) Ó. ) V ´d S, S1, S2, S3 ¤¤o ¡N, ∂V {, ùp S1 = {(x, y, z) : x = 0, y > 0, z > 0, y + z 6 1} S2 = {(x, y, z) : x > 0, y = 0, z > 0, x + z 6 1} S3 = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z = 0, x + y 6 1} x y z S S S 1 2 3 d Gauss úª ZZ ∂V x dydz + y dzdx + z dxdy = ZZZ V 3dxdydz = 3 · 1 3 · 1 2 = 1 2 . ∴ ZZ S x dydz + y dzdx + z dxdy = 1 2 − ZZ S1 + ZZ S2 + ZZ S3 . ∵ ZZ S1 = 0, ZZ S2 = 0, ZZ S3 = 0, ∴ A = 1 2 . 8/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例3计算A：y?dydz + yz? dzd + z? ddy,其中S 是球体 V ={(c,y,z): α2+y2 ＋z≤ z} 的表面, 方向朝外解V的参数方程是 = r cos sino, y = r sin g sino, z =+ r cos , (r, 0, p) E D.2其中 D: 0≤r ≤,0≤≤元,0 ≤≤ 2元. 由 Gauss 公式,A(y* + z* + r")dadydz1sin?(r2 + r cos + r? cos?0)r? sin drdodp4D1=2元+ r cos )r2 sin drde40<r≤0≤0≤元111元=2元2255231543I返回全屏关闭退出9/30
Gauss úª Stokes úª ©/ªÈ© ~ 3 O A = ZZ S xy2 dydz + yz2 dzdx + zx2 dxdy, Ù¥ S ´¥N V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 6 z} L¡, . ) V ë꧴ x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = 1 2 + r cos θ,(r, θ, ϕ) ∈ D, Ù¥ D : 0 6 r 6 1 2 , 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π. d Gauss úª, A = ZZZ V (y 2 + z 2 + x 2 )dxdydz = ZZZ D (r 2 sin2 θ + 1 4 + r cos θ + r 2 cos2 θ)r 2 sin θ drdθdϕ = 2π ZZ06r6 1 2 06θ6π (r 2 + 1 4 + r cos θ)r 2 sin θdrdθ = 2π 1 5 · 1 2 5 · 2 + 1 4 · 1 3 · 1 2 3 · 2 = π 15 . 9/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Gauss公式Stokes公式微分形式的积分例4计算A(y2+ z) dydz + (z2 + α) dzda + (α2 +y") ddy,S其中S是上半球面(c,y,z)α2+y+z=α2,z≥},方向朝上解令D是S在cy平面上的投影，即，?+y?≤aD的方向朝下，S与D围成半球体V.由Gauss公式(y? + z) dydz + (z? + a) dzda + (r2 + y") dedy =Odadydz=0,S+D(y+z) dydz+ (z"+")dzdac + (α+y")dacdyA-DZ(α2+y")dadyJ2+y?<a2Sr2.rdrdp0<r≤a0≤≤2元Ta412元a24返回退出全屏关闭10/30
Gauss úª Stokes úª ©/ªÈ© ~ 4 O A = ZZ S (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy, Ù¥ S ´þ¥¡ {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z > 0}, þ. ) - D ´ S 3 xy ²¡þÝK, =, x 2 + y 2 6 a 2 , D e, S D ¤¥N V. d Gauss úª ZZ S+D (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy = ZZZ V 0dxdydz = 0, ∴ A = ZZ −D (y 2 + z 2 ) dydz + (z 2 + x 2 ) dzdx + (x 2 + y 2 ) dxdy = ZZ x2+y26a2 (x 2 + y 2 )dxdy = ZZ 06r6a 06ϕ62π r 2 · rdrdϕ = 2π · 1 4 a 4 = πa4 2 . S D x y z 10/30 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ