王例2利用定义计算定积分 解在1,2中插入分点q,q2,…,qn, 典型小区间为q2,q,(i=1,2,…,n) 小区间的长度△x=q-q=q(q-1), 取1=q,(i=1,2,…,n) ∑f(5)Ax=∑A=∑1q(q-1) i=1 上页
例2 利用定义计算定积分 . 2 1 1 dx x 解 在[1,2]中插入分点 2 1 , , , n− q q q , 典型小区间为[ , ] i 1 i q q − ，（i = 1,2, ,n） 小区间的长度 ( 1) 1 1 = − = − − − x q q q q i i i i , 取 −1 = i i q ，（i = 1,2, ,n） i i n i f x = ( ) 1 i n i i = x =1 1 ( 1) 1 1 1 1 = − − = − q q q i n i i
=∑(q-1)=m(q-1)取q”=2即q=2n i=1 ∑/(5)Ax=m2-1 i=1 lim x(2-1)=lim x→+ x++eosIn 2 imn(2"-1)=ln2,x n→0 2 -dx =li △x;=limn(2"-1)=l2. -0 ∑ i=1 n→0 上页
= = − n i q 1 ( 1) = n(q −1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 (2 1), 1 = − n n lim (2 1) 1 − →+ x x x x x x 1 2 1 lim 1 − = →+ = ln2, lim (2 1) 1 − → n n n = ln2, dx x 2 1 1 i n i i = x = → 1 0 1 lim lim (2 1) 1 = − → n n n = ln2. i i n i f x = ( ) 1
例3设函数∫(x)在区间0,1上连续,且取正值 2 n ln∫(x)dx 试证lim n→0 =e 王证明利用对数的性质得 ()((m n→ 上页
例 3 设函数 f ( x)在区间[0,1]上连续，且取正值. 证明 n n n n f n f n f → 1 2 lim → = n n n n f n f n f e 1 2 ln limn n n n f n f n f → 1 2 试证 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e 利用对数的性质得
极限运算与对数运算换序得 limIn n→00 (2) n -e lim ∑ n→)0n n→0 n)n =已 =已 指数上可理解为:In∫(x)在0,1区间 上的一个积分和.分割是将0等分 分点为x;=-,(i=1,2,…,n) n 上页
= = → n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1 = = → 指数上可理解为：ln f (x)在[0,1] 区间 上的一个积分和． 分割是将[0,1]n等分 分点为 n i xi = ，（i = 1,2,,n） → = n n n n f n f n f e 1 2 lim ln 极限运算与对数运算换序得
因为∫(x)在区间[0,1上连续,且f(x)>0 所以nf(x)在0,1上有意义且可积 生z八 L In f()dx n, n 2 n 故lim n In f(x)dx 上页
n n i f n n i 1 lim ln 1 → = = 1 0 ln f (x)dx 故 n n n n f n f n f → 1 2 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e 因为 f (x)在区间[0,1]上连续，且 f (x) 0 所以ln f (x)在[0,1]上有意义且可积