生三、存在定理 定理1当函数f(x)在区间a,b上连续时, 称f(x)在区间[a,b上可积 定理2设函数f(x)在区间4,b上有界, 且只有有限个间断点,则∫(x)在 区间4,b上可积 上页
定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则 f (x)在 三、存在定理 区间[a,b]上可积
庄四、定积分的几何意义 f(x)>0,f(x)=A曲边梯形的面积 生<0,g/k=4曲边梯形的面积 ∫∫(x)d=A1-A2+4-4, 上页
f (x) 0, = b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 f (x) 0, = − b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 的负值 A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 f (x)dx A A A A b a = − + − 四、定积分的几何意义
几何意义 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条 直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和 c在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面 积取负号. 工工工 十 上页
几何意义： 积取负号． 在 轴上方的面积取正号；在 轴下方的面 直线 之间的各部分面积的代数和． 它是介于 轴、函数 的图形及两条 x x x a x b x f x = , = ( ) + + − −
士 例1利用定义计算定积分x c解将[0,1m等分,分点为x ( 二1 9 n n 小区间x=1,x1的长度△x;=-,(=1,2,…,n) 取5;=x1,(i=1,2,…,n) 王立八5△x=2点Ax=∑x△r, i=1 = i=1 上页
例1 利用定义计算定积分 . 1 0 2 x dx 解 将[0,1]n等分，分点为 n i xi = ，(i = 1,2,,n) 小区间[ , ] xi−1 xi 的长度 n xi 1 = ，(i = 1,2,,n) 取 i = xi，(i = 1,2, ,n) i i n i f x = ( ) 1 i i n i = x = 2 1 , 1 2 i n i = xi x =
2 ∑ 11 ln(n+1)(2n+1) n) nn i= n 6 =-1+-‖2+ [x2=im∑点△A n →0→n→ =lim1+-‖2+ n→>∞6 3 上页
n n i n i 1 2 1 = = = = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + = n n n n , 1 2 1 1 6 1 + = + n n → 0 n → x dx 1 0 2 i i n i = x = → 2 1 0 lim + = + n→ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 =