安徽建筑工业学院：《弹性力学》第七章 空间问题的基本理论

→二、变形相容方程(协调方程) 空间中,不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件 916+0=072061=(0+8=+0ym) ay- Ox axon y Yaz ae a8 a y ar a 2 dz Oxaz Oy ay Oz Ox 06+2 y 202E:007y+y=+0 axo Oxy az az ax ay 其中左边三个形式上是类似的,第一个为平面问题的 一连续性方程。(推导见§2-8) 右边三式可按第一式由x→》y→Z>x轮换字母获得

二、变形相容方程（协调方程） 空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件。 y x x y x y xy    =   +      2 2 2 2 2 z y y z yz y z    =   +      2 2 2 2 2 x z x y z x xz    =   +      2 2 2 2 2 2 ( ) 2 y z x x y z x yz xz xy   +   +   −   =        2 ( ) 2 x z y y z x y xz xy yz   +   +   −   =        2 ( ) 2 x y z z x y z xy yz xz   +   +   −   =        其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的 连续性方程。（推导见§2-8） 右边三式可按第一式由x→y → z → x轮换字母获得

三、物理方程:(广义虎克定律) Ex=[ox-(+0:)、 E 若 En=[on-(0-+0,) E E0:(o (7-10) 2(1+4) T E 2(1+4) E O.0.0.T 2(1+) E 一则:物理方程用矩阵表示:{}=[C]o (7-12A

三、物理方程：(广义虎克定律） [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 z z x y y y z x x x y z E E E                = − + = − + = − + xy xy zx zx yz yz E E E          2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) + = + = + = （7-12） 若：   T x y z xy yz xz xz yz xy z y x [      ]        =                     = 则：物理方程用矩阵表示： = C （7-12A）

式中 0 0 [C」 E0002(1+L)0 00002(1+)0 000 0 02(1+4)」 用应变表示应力=—E(-P) C F C F (1+)(1-2p E(1-1),,H E E 8) (1+1)1-2)1-1-4 E(1-p) c f C F (1+)(1-21)1-2 E E E y 2(1+) 2(1+)

式中：                     + + + − − − − − − = 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 [ ]          E C 用应变表示应力： xy xy xz xz z z x y y y x z x x y z E E E E E                                        2(1 ) ; 2(1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) + = + = − + − + + − − = − + − + + − − = − + − + + − − = ; (1 ) yz yz E    + =

方程用矩阵表示: 式中[D为弹性矩阵表示为: 000 000 11ao LDL=E( (1-) (1+1)(1-24)0001-2100 2(1-) ( 0 2(1-) 00 000 1-2 2(1-=p 注意:[D]=[C]1

方程用矩阵表示： = D 式中[D]为弹性矩阵表示为：                                 − − − − − − − − − − − − + − − = 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 (1 )(1 2 ) (1 ) [ ]                     E  D 注意： [D]=[C]-1

四、体积应变:e=6x+E,+E2→体积应变 由(7-12A):e=Ex+E,+E 1-21, (+O,+O) E 令:σ+0+G=→体积应力 e=.+E.+E (7-13) E E 体积弹性模量 1-2

四、体积应变： 由（7-12A)： x y z e =  +  +  ( ) 1 2 x y z x y z E e        + + − = = + + 令：σx+ σy +σz=Θ  − =  = + + E e x y z     1 2 →体积应力 →体积应变 体积弹性模量 1− 2 E (7-13)