数值分析 - Newton-Cotes公式

数值积分一般公式一般地，用,f(x)在[a,b]上的一些离散点a≤xo<xi<...<xn≤b上的函数值的加权平均作为f（)的近似值，可得nZAf(x,)f(x)dx ~机械求积公式i=0求积系数求积节点将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数，易于计算机实现注：求积公式并不局限于机械求积公式！6

6 数值积分一般公式 0 ( )d ( ) n b i i a i f x x A f x =    求积系数 求积节点 机械求积公式 ⚫ 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 ⚫ 无需求原函数，易于计算机实现 一般地，用f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a  x0 < x1 < ···< xn  b 上的函数值的加权平均作为f () 的近似值，可得 注：求积公式并不局限于机械求积公式!

代数精度定义：如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，求积公式都精确成立，但对次数为m+1的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度代数精度的验证方法将f(x)=1，x,x2，.…，xm依次代入，公式精确成立;将f(x)=xm+1代入，公式不精确成立。?

7 代数精度 定义：如果对于所有次数不超过m 的多项式f (x) ，求积公式 都精确成立，但对次数为m +1 的多项式不精确成立，则称该 求积公式具有 m 次代数精度 ⚫ 将 f (x) = 1, x, x 2 , . , x m 依次代入，公式精确成立; ⚫ 将 f (x) = x m+1 代入，公式不精确成立。 ⚫ 代数精度的验证方法

举例例：试确定A，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度I(J) [" f(x)dx ~ZA,f(x)≤I,(x)i=0解：依次将f(x)=1,x,x2,…，x"代入求积公式，使其精确成立，可得A+A +...+A,=b-aAX + A,x +...+A,x, =存在唯一解：Ax + A,x +...+ A,x?A, A, ..., A'.h3b+1n+1Ax" +Ax"+...+A,x'n+1具有至少n[" f(x)dx ~ZA f(x)所以求积公式为：次代数精度i=08

8 举例 例：试确定Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 0 ( ) ( ) ( )d ( ) n b i i a i n I f I x f x x A f x =   解：依次将f (x)＝ 1, x, x 2 , . , x n代入求积公式，使其精确成立，可得 A A A b a 0 1 + + + = − n 2 2 2 3 3 0 0 1 1 1 ( ) 3 A x A x A x b a + + + = − n n 1 1 0 0 1 1 1 ( ) 1 n n n n n A x A x A x b a n n n + + + + + = − + 2 2 0 0 1 1 1 ( ) 2 A x A x A x b a + + + = − n n . . 存在唯一解： 0 1 , , , A A A n    所以求积公式为： 0 ( )d ( ) n b i i a i f x x A f x  =   具有至少n 次代数精度

举例例：试确定系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。F f(x)dx ~ Af(-1)+ Af(0) + A,f(I)解：将f(x)=1,x,x2代入求积公式，使其精确成立，可得A +A + A, =(b-a)/1= 2-A+A=(b2-a)/2=0A, + A, =(b3 -a3) /3=2 /3解得A=1/3，A,=4/3，A,=1/3。所以求积公式为' J(x)dx ~ [(-1)+4f(0)+ f()]将f(x)x3代入可得：公式左边=0，公式右边=0，公式精确成立。将f(x）=x4代入可得：公式左边=2/5，公式右边=2/3，公式不精确成立所以此求积公式具有3次代数精度。9

9 举例 例：试确定系数Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的 代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 1 0 1 2 1 f x x A f A f A f ( )d ( 1) (0) (1) −  − + +  解：将f (x)＝1, x, x 2 代入求积公式，使其精确成立，可得 0 1 2 2 2 0 2 3 3 0 2 ( ) / 1 2 ( ) / 2 0 ( ) / 3 2 / 3 A A A b a A A b a A A b a  + + = − =  − + = − =  + = − =  解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 将 f (x)＝x 3 代入可得：公式左边=0，公式右边=0，公式精确成立。 将 f (x)＝x 4 代入可得：公式左边=2/5，公式右边=2/3，公式不精确成立。 所以此求积公式具有3 次代数精度。   1 1 1 ( )d ( 1) 4 (0) (1) 3 f x x f f f −  − + + 