2.时点固定效应模型如果一个面板数据模型定义为(12.8)Yit = %+Xit'β+ uit i= 1, 2, ..., N; t = 1, 2, ..., T.其中yi为被解释变量（标量），Xi为k×1阶解释变量列向量（包括k个回归变量），为k×1阶回归系数列向量，%是模型截距项，是随机变量，表示对于T个截面有T个不同的截距项，且其变化与Xi有关系：ui为随机误差项（标量），满足通常假定条件。则称此模型为时点固定效应模型（timefixedeffectsmodel）。时点固定效应模型（12.7）的假定条件与个体固定效应模型的假定条件类似，惟一区别是这里假定与Xi存在相关性。（第4版308页）
2. 时点固定效应模型 如果一个面板数据模型定义为， yit = t + Xit ' + uit , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T。 (12.8) 其中 yit为被解释变量（标量），Xit为 k 1 阶解释变量列向量（包括 k 个回归变量）， 为 k 1 阶回归系数列向量，t是模型截距项，是随机变量，表示对于 T 个截面有 T 个不同的截距项，且其变化与 Xit有关系；uit为随机误差项（标量），满足通常假 定条件。则称此模型为时点固定效应模型（time fixed effects model）。 时点固定效应模型(12.7)的假定条件与个体固定效应模型的假定条件类似，惟 一区别是这里假定t与 Xit存在相关性。 （第4版308页）
设定时点固定效应模型的原因解释如下。假定有面板数据模型(12.9)Yit= % +βXit +β Zt+uit i=1, 2, ..., N; t =1, 2, .... T其中%为常数，不随时间、截面变化：z.表示随不同截面（时间）变化，但不随个体变化的难以观测的变量。以例12.1为例，“全国居民消费价格指数（CPI）”就是符合这种要求的一个解释变量。对于不同时点，这是一个变化的量，但是对于不同省份（个体），这是一个不变化的量。“全国居民消费价格指数（CPI）”是引起家庭人均消费（CPi）变化的解释因素之一。上述模型可以被解释为含有T个截距，即每个截面都对应一个不同截距的模型令%=%+βZt，于是式（12.9）变为Yit= %+βiXit +uit, i=1, 2, .., N; t= 1, 2, ..., T这正是时点固定效应模型形式。对于每个截面，回归函数的斜率（β）相同，却因截面不同（时点）而异。可见时点固定效应模型中的截距项包括了那些随不同截面（时点）变化，但不随个体变化的难以观测的变量的影响
设定时点固定效应模型的原因解释如下。假定有面板数据模型 yit = 0 +1 xit +2 zt + uit , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T (12.9) 其中0 为常数，不随时间、截面变化；zt 表示随不同截面（时间）变化，但不随个 体变化的难以观测的变量。 以例 12.1 为例，“全国居民消费价格指数（CPI）”就是符合这种要求的一个解 释变量。对于不同时点，这是一个变化的量，但是对于不同省份（个体），这是一 个不变化的量。“全国居民消费价格指数（CPI）”是引起家庭人均消费（CPit）变 化的解释因素之一。 上述模型可以被解释为含有 T 个截距，即每个截面都对应一个不同截距的模型。 令t = 0 +2 zt，于是式（12.9）变为 yit = t +1 xit + uit , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T 这正是时点固定效应模型形式。对于每个截面，回归函数的斜率（1）相同，t 却 因截面不同（时点）而异。可见时点固定效应模型中的截距项t 包括了那些随不同 截面（时点）变化，但不随个体变化的难以观测的变量的影响
3.个体时点双固定效应模型如果一个面板数据模型定义为，Yit=αi+%+Xit'β+uiti=1,2,...,N;t=1,2,...,T(12.10)其中yit是被解释变量；Xi是k×1阶解释变量列向量（包括k个回归量）；αi是随机变量，表示对于N个个体有N个不同的截距项，且其变化与X有关系；%是随机变量，表示对于T个截面（时间）有T个不同的截距项，且其变化与X，有关系；是k×1阶回归系数列向量；uit是误差项；则称此模型为个体时点双固定效应模型（timeandentityfixedeffectsmodel）。本模型假定条件与个体固定效应模型（12.2）的假定条件类似，满足假定(uitlXit，αi，)=0。区别是这里假定α;和分别与Xit存在相关性。如果模型形式是正确设定的，并且满足模型通常的假定条件，对模型（12.10）进行混合OLS估计，全部参数估计量都不是一致估计量。原因就是αi、%与Xi相关，破坏了对回归模型的基本假定条件。正如个体固定效应模型可以得到一致的、甚至有效的估计量一样，一些计算方法也可以使个体时间双固定效应模型得到更有效的参数估计量。（第4版309页）
3. 个体时点双固定效应模型 如果一个面板数据模型定义为， yit = i +t +Xit ' +uit , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T (12.10) 其中 yit是被解释变量；Xit是 k 1 阶解释变量列向量（包括 k 个回归量）；i是随机 变量，表示对于 N 个个体有 N 个不同的截距项，且其变化与 Xit有关系；t是随机 变量，表示对于 T 个截面（时间）有 T 个不同的截距项，且其变化与 Xit有关系； 是 k 1 阶回归系数列向量；uit 是误差项；则称此模型为个体时点双固定效应模型 （time and entity fixed effects model）。本模型假定条件与个体固定效应模型（12.2） 的假定条件类似，满足假定(uit Xit , i , t ) = 0。区别是这里假定i和t分别与 Xit存 在相关性。 如果模型形式是正确设定的，并且满足模型通常的假定条件，对模型（12.10） 进行混合 OLS 估计，全部参数估计量都不是一致估计量。原因就是i、t 与 Xit相 关，破坏了对回归模型的基本假定条件。正如个体固定效应模型可以得到一致的、 甚至有效的估计量一样，一些计算方法也可以使个体时间双固定效应模型得到更有 效的参数估计量。 （第4版309页）
12.2.3随机效应模型（第4版310页）对于面板数据模型(12.11)Yit=βo +Xi'β+ vi + uityi=1, 2, .., N; t=1, 2, ..., T如果yi是被解释变量（标量），Xi是kxl阶解释变量列向量（包括k个回归量），β是k×1阶回归系数列向量。对于不同个体回归系数湘同。β是常数。v是随机变量，其分布与Xi无关；ui为误差项，这种模型称作个体随机效应模型（entityrandomeffects model)。其假定条件是假定1:E(uit)=0，i=1,2,….,N;t=1,2,T。随机误差项uit的期望等于零。假定2：Var(ui)=ou，i=1,2,...,N;t=1,2,...,T。uit具有同方差性。假定3：Cov(uitui)=0,若ii,或tt。不同个体和不同时点对应的uit相互独立。假定4：Cov(uit, xi)=0。对所有的j=1,2，..k，以及i，t。假定5：E(v)=0，i=1,2....N;t=1,2,...,T。随机误差项uit的期望等于零。假定6：Var(v)=o，i=1,2,.,N;t=1,2,...,T。Vit具有同方差性。假定7：Cov(vi,vi)=0，若i+i。不同个体对应的v;相互独立。假定8：Cov(vi,xi)=0。对所有的j=1,2,...,k，以及i，t。假定9：Cov(vi,ui)=0。对所有的i和t。假定10：rk(XitXi)=rk(Xi)=k。Xit不降秩。解释变量不存在完全共线性。假定1l：N-→>80，T-→>8时，T-X'X→Q。其中Q是一个有限值的非退化矩阵。进一步假定， vi～iid(0, ,)， uit~iid(0, u)
12.2.3 随机效应模型 对于面板数据模型 yit = 0 +Xit ' + vi + uit , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T (12.11) 如果 yit是被解释变量（标量），Xit是 k 1 阶解释变量列向量（包括 k 个回归量）， 是 k 1 阶回归系数列向量。对于不同个体回归系数相同。0是常数。vi是随机变 量，其分布与 Xit无关；uit 为误差项，这种模型称作个体随机效应模型（entity random effects model）。 其假定条件是 假定 1：E(uit ) = 0, i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T。随机误差项 uit的期望等于零。 假定 2：Var(uit ) = u 2 , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T。uit 具有同方差性。 假定 3：Cov(uit , ui't') = 0, 若 i i' ,或 t t'。不同个体和不同时点对应的 uit 相 互独立。 假定 4：Cov(uit , xjit) = 0。对所有的 j = 1, 2, ., k，以及 i ，t。 假定 5：E(vi ) = 0, i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T。随机误差项 uit的期望等于零。 假定 6：Var(vi ) = v 2 , i = 1, 2, ., N; t = 1, 2, ., T。vit 具有同方差性。 假定 7：Cov(vi , vi' ) = 0, 若 i i'。不同个体对应的 vi相互独立。 假定 8：Cov(vi , xjit) = 0。对所有的 j = 1, 2, ., k，以及 i，t。 假定 9：Cov(vi , uit) = 0。对所有的 i 和 t。 假定 10：rk(Xit 'Xit ) = rk(Xit ) = k。Xit不降秩。解释变量不存在完全共线性。 假定 11：N→， T→时，T –1 X 'X → Q。其中 Q 是一个有限值的非退化矩 阵。 进一步假定， vi iid(0, v 2 )， uit iid(0, u 2 ) （第4版310页）
对于个体随机效应模型，E(vilXi)=0，则E(yitlXi）=β+Xiβ,对yit可以识别，所以随机效应模型参数的混合OLS估计量具有一致性，但不具有有效性。相类似，也可以定义时点随机效应模型和个体时点双随机效应模型（略），但个体随机效应模型在实际中较为常用。注意：术语“随机效应模型”和“固定效应模型”用得并不十分恰当，原因是固定效应模型和随机效应模型中的α都是随机变量，所以上述术语容易产生误解。其实固定效应模型应该称之为“相关效应模型”，而随机效应模型应该称之为“非相关效应模型”。这种称谓从含义上更为准确
对于个体随机效应模型，E(vi Xit ) = 0，则 E(yit Xit ) = 0 + Xit '，对 yit可以识别， 所以随机效应模型参数的混合 OLS 估计量具有一致性，但不具有有效性。 相类似，也可以定义时点随机效应模型和个体时点双随机效应模型（略），但 个体随机效应模型在实际中较为常用。 注意：术语“随机效应模型”和“固定效应模型”用得并不十分恰当，原因是 固定效应模型和随机效应模型中的i 都是随机变量，所以上述术语容易产生误解。 其实固定效应模型应该称之为“相关效应模型”，而随机效应模型应该称之为“非 相关效应模型”。这种称谓从含义上更为准确