43黄管中的层流 =花-品-a0sm% 4.3圆管中的层流 层流运动相对于素流面言比较简单，先研究圆管中的层流运动不仅有 义，也为后面深人研究复杂的素流运动做好必要的准备。本节要讨论管中层流的速度分 布、内摩擦力分布、流量和水头报失的计算第间题。 43.1分析层流运动的两种方法 第一种方法是从N5方程式出发，结合层流运动的数学特点建立常微分方程。第二种 方法是从微元体的受力平衡关系出发建立层流的常微分方程。这两种方法各有特点。第 4311NS方程分析法 定常不可压缩完全扩展段的管中层液具有如下五 方销有向运动。取如图4所示生标系 使y轴与管输线重合。由于流体只有轴向运动。因此 品，0，品=鸟，=0，NS方程可简化为 图44图件层德 架=0 影+安到导+品 (49 2-b熙=0 (2)流体运动定常、不可压缩。对定常流动，北=0，由不可压缩流体的连线性方程 可得警=0，于是的=0。 (3)速度分布的轴对称性。在管中的过流新面上，各点的流速是不同的，。但圆管流动 是对称的，因面速度品，沿x方向、：方向以及任意率径方向的变化规律相同，且只随：变 化，有空.兽.空-
86 (④)等径管路压强变化的均匀性。由于驶面摩擦及流体内部的摩擦，压强沿流动方向 是逐渐下降的。但在等径管路上这种下降是均匀的，单位长度上的压强变化率可以用 任何长度1上压强变化的平均值表示，即2=史=》二户。一史，式中“一”号说明压 强是沿流动方向下降的 (5)管路中质量力不影响流体的流动性能。如果管路是水平的，则X=Y=0,Z 根服上述五个特点，式49)可以化简为 当2=0 积分得 一出c 当，=0时，管轴线上的流体速度有最大值，=0，可求得积分常数C=0,放 尝出 (4.10】 这就是圆管层流的运动常微分方程。 个圆柱体处于平衡状态，因而作用在圆柱体上的外力在y方向的投影和为零。作用在圆七 体上的外力有：两端面上的压力(P,一内)，圆柱面上的摩擦力t2。由ΣF,=0,可得 （p,=2）mr=下2■l■0 层流的牛顿内摩擦定律为【：一：，由以上两式可得 华出 这样也得出了与第一种方法相同的结果。由以上分析可见。第二种方法比较简徒不 过这种方法也同样包含着第一种方法所论述的流体运动的数学特点，因为只有在定常、单 资破、结时称。等艳均匀度等特配下才有可能取出上平者面在华，是有有务受方 4.32圆管层流的速度分布和切应力分布 对式(410)进行积分可得 ,=-+c
43管中的汽 银据边界条件：当R时，=0，于是C一岩，因此圆管层流的速度分布为 ,=架(-) (4.11） 大盘式称为质花突须公式。它说用出流断面上的速度与半径度二次长特装物面关系。其 5所示 相45圆管层流的速度分在和切应力分布 当，=0时，由式(4.)可求出圆管层流中管轴上的流速，即最大流速为 = (4.12) 根据牛顿内摩擦定律，在圆管中可得 t:告-尝=舒 (4.13) . (4.14) 433圆管层泼的流量和平均速度 在圆管中半径，处取厚度为山的微小圆环，其断面积为d4=2心。管中流量为 Q=,d4=(-72m== (4.15) 上式称为哈根-泊肃叶(Hgen-Poiseuille)定律，它与精密实验的测定结果完全一致 所谓NS方程的准确解主要是通过这一公式得到确认的。这一定律验证了层流理论和实发 “ 在围定内轻d、长度1的管路两柴测出压强差4如·户，一内及流出一定体积V的时间
4整性流体运动及其力计算 按上式即可计算出流体的动力酷度： 网管中的平均速度为 (4.16) 434侧管层流的沿程损失 根据伯努利方程可知，等径管路的沿程损失就是管路两端压强水头之差，即 A=9-装= (4.17) 在雷诺实验中曾经指出，层流沿程损失与：的一次方成正比，现在知道其比例常数志 就是装或，理论分析和实验结果是一的， 工程计算中，圆管中的沿程水头损失习惯用兰子表示。因此 =兴船品能远小绿 (4.18) 式中，A=然称为层流的沿程阻力系数或摩阻系数，它仅与雷诺数R有关。式(4.18)是 计算沿程损失的常用公式称为达西(LDa)公式。 用泵在件路中输送流体，管常要求计算用来克聚沿程阻力所消耗的功率。若管中流体 的重度y和流量Q均为已知，则流体以层藏状态在长度为！的管中运动时所消耗的功率为 N=0%=0 (4.19) 43.5层流起始段 國管层流的速度抛物线规律并不是刚入管口就能立刻形成，而是要经过一段距离，这 段距离称为层 如图46所不向煎物面分布提律转化 因而在的段内 体的内率擦力大于完全扩了的层流中的流体内摩擦力，反映在沿程阻力系数上。成为 A·（面A>64)。层流起始段的长度L有不同的计算公式。其中之一为 L0.0275dR 420 在裤压多的 A=忍，这样就适当修正了起始段的影响 图46层流起始段
4明管中的家 【例题4.3)在长度1=1000m、直径d=300mm的管路中输送重度为9.3引kN/m'的重 油，其重量流量为G:230tNh,求油影分别为10℃（知=25em)和0T("= 重油的平均速度为 0t的雷话数为·以，=65<m 40℃的面诺数为4=过。070：1942<2 重清的液动状态均为层流，由达酒公式(418)可得相应的浴程水头损失为 ·-总者品5×智=强1n抽性 号法-总岳品*8=柱 由计算可知，重油在40℃时流动比在10℃时流动的水头损失小 4.4圆管中的素流 实际流体运动中，地大多数是素流（也称为润流），因此，研究素流流动比研究层流 中的某一位置时，其运动要素：、。等都是随时同而刷烈变动的。牛顿内摩擦定律不能 适用。 验和实验资料。 44.1运动要素的脉动与时均化 如图4了所示当流体作层流运动，经过 处的流体质点，将浴者南折、杂的格到 <代 点面在 一同 业，经过处的流体质 点。并且于不同到达处（或C处）的流体 用47素流运动调