I无体力情形 00x+ ty二0 ax dy (7.15) 0t型+ 0y二0 Ox y 应力协调方程：7(o,+0,)=0。 如果能找到一个函数A,使得0，= 0A ,则平衡方程第一式可自动满足，A可 Cx 以按下面的步骤来求 y) (7.16) (x0）(0%） an (0） 同理，存在函数B,使得O,=- -,Tx ,平衡方程第二式自动满足，并且有 O ov 8A OB=0 (7.17 ax dy 8 aU aUaU aU 再引进函数U,使A= ,则0x= y 0x2w=- Oxoy 将应力的表达式代入应力协调方程，有 727U=0 (7.18) 即 aU 分+2_⊙0，+Y=0 (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U。 Ⅱ有体力情形 ()常体力，∫，∫，都是常量 平衡方程 0o+g+j=0 Ox dy 0ts0c+f=0 Ox ay (7.20) 可改写为 6
6 I 无体力情形 0 0 x xy xy y x y x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.15) 应力协调方程： 2 ( )0 ∇ += σ σ x y 。 如果能找到一个函数 A ，使得 , x xy A A y x σ τ ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则平衡方程第一式可自动满足， A 可 以按下面的步骤来求 00 00 00 (,) (,) (,) (,) (,) (,) ( ) ( (,) (,) ) xy xy xy xy x xy xy xy A A A dA d d d d ξ η τ ξη ξ σ ξη η ξ η ∂ ∂ = = + =− + ∂ ∂ ∫∫ ∫ (7.16) 同理，存在函数 B ，使得 , y xy B B x y σ τ ∂ ∂ =− = ∂ ∂ ，平衡方程第二式自动满足，并且有 0 A B x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ (7.17) 再引进函数U ，使 , U U A B y x ∂ ∂ = =− ∂ ∂ ，则 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 将应力的表达式代入应力协调方程，有 2 2 ∇ ∇ = U 0 (7.18) 即 4 44 4 22 4 2 0 U UU x xy y ∂ ∂∂ + + = ∂ ∂∂ ∂ (7.19) 平面问题就归结为寻找满足边界条件的双调和函数U 。 II 有体力情形 (1) 常体力， , x y f f 都是常量 平衡方程 0 0 x xy x xy y y f x y f x y σ τ τ σ ⎧∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎩ ⎪ ∂ ∂ (7.20) 可改写为
o,+f+0型=0 +- Ox y (7.21) a(o,+fy) =0 Ox y 令O+x=O,O,+∫y=σ，t=T,因为体力是常量，所以仍然有 7(o+σ，)=0。同样引入Aiy应力函数U',满足双调和方程，应力分量可表示为 a'U' 2'=U,o=ay,5=- a2, Oxoy (fx 但对这类问题应注意边界条件的表述，T'=(T +o f.y i+(nLx.). 其中n=(n,2)为边界的法向，f为边界上己知面力。 (2)体力有势，即∫= d 一，0为势函数。 令o:=0+,O,=0,+p,t,=t,’则o,O),t满足无体力的平衡方程，可以用 OU Aiy应力函数表示应力分量，σ：= U aU 2,s r2,、 Oxoy 但这时应力协调方程为：7(o+σ)=(1-y)7p,应力函数U满足下列方程 V27U=(1-y)70 (7.22) 如果p是调和函数则有727U=0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 >平面问题的解法 逆解法：猜到Aiy应力函数U的形式或给定U的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U的形式，如x(y),(x) 等，求出U后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的Hamilton体系、辛体系解法。 7.3平面问题的直角坐标解法 7.3.1多项式解 以下假设无体力。 (1)应力函数取一次式U=a+bx+Cy,显然是双调和函数，算出应力分量都是零
7 ( ) 0 ( ) 0 x x xy xy y y f x x y f y x y σ τ τ σ ⎧∂ + ∂ + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂+ ⎪ + = ⎪ ⎩ ∂ ∂ (7.21) 令 , , x x x y y y xy xy σ += += = fx fy σσ στ τ ′ ′′ ，因为体力是常量，所以仍然有 2 ( )0 σ σ x y ∇ += ′ ′ 。同样引入 Airy 应力函数U′ ，满足双调和方程，应力分量可表示为 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂∂ ∂ ′′ ′ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但对这类问题应注意边界条件的表述， 1 2 0 ( ) ( , ) 0 x x y y f x nfx nf y f y ⎛ ⎞ ′ = + =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n i i TT t ， 其中 1 2 n = (, ) n n 为边界的法向， t 为边界上已知面力。 (2) 体力有势，即 , x y f f x y ∂ ∂ ϕ ϕ = = ∂ ∂ ，ϕ 为势函数。 令 , , σ x σ ϕσ σ ϕτ τ x y y xy xy ′′′ =+ =+ = ，则 , , σ x σ τ y xy ′ ′ ′ 满足无体力的平衡方程，可以用 Airy 应力函数表示应力分量， 22 2 2 2 , , x y xy UU U y x xy σστ ∂ ∂ ∂ ′ ′′ = = =− ∂ ∂ ∂∂ 。 但这时应力协调方程为： 2 2 1 ( ) (1 ) ∇ + =− ∇ σ x y ′ ′ σ νϕ ，应力函数U 满足下列方程 22 2 1 ∇ ∇ =− ∇ U (1 ) ν ϕ (7.22) 如果ϕ 是调和函数则有 2 2 ∇∇ = U 0。 常见的体力有重力和惯性力，有体力的问题，解题时应注意边界条件的表达。 ¾ 平面问题的解法 逆解法：猜到 Airy 应力函数U 的形式或给定U 的形式看能解什么问题。 半逆解法：根据所研究问题的边界形状和受力状况假定应力函数U 的形式，如 xf y yf x ( ), ( ) 等，求出U 后，如果发现不满足边界条件或推出矛盾，须另做假设。 推理型解法：不必事先做假设，例如后面将要学习的复变函数解法，及近年来钟万勰院士大 力倡导的 Hamilton 体系、辛体系解法。 7.3 平面问题的直角坐标解法 7.3.1 多项式解 以下假设无体力。 (1) 应力函数取一次式U a bx cy =+ + ，显然是双调和函数，算出应力分量都是零
(2)二次式，U=ax2+bxy+Cy2,显然也是双调和函数。 (a)先看U=a2,O,=0,0,=2a,t,=0,可解决矩形板受y方向均匀拉伸或压缩问题。 2a 2a 图3 (b)U=y2,对应于x方向均匀拉伸或压缩问题。 (⊙)U=by,O,=0,0,=0,t=-b,可解决矩形板受均布剪力问题。 17 图4 (3)三次式，U=ay3,应力分量是：0=6ay,0,=0,T,=0，两端合力为零，只有力 矩，能解决矩形板的纯弯曲问题
8 (2) 二次式， 2 2 U ax bxy cy =++ ，显然也是双调和函数。 (a) 先看 2 U ax = ， 0, 2 , 0 x y xy σ == = σ τ a ，可解决矩形板受 y 方向均匀拉伸或压缩问题。 图 3 (b) 2 U ay = ，对应于 x 方向均匀拉伸或压缩问题。 (c) U bxy = ， 0, 0, x y xy σ = σ τ = =−b，可解决矩形板受均布剪力问题。 图 4 (3) 三次式， 3 U ay = ，应力分量是： 6 , 0, 0 x y xy σ = ay σ τ = = ，两端合力为零，只有力 矩，能解决矩形板的纯弯曲问题。 x y b 2a x y 2a