第二节函教的基本性质
第二节 函数的基本性质
知识点一函数的单调性 1.单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 般地,设函数f(x)的定义域为L.如果对于定义 域内某个区间D上的任意两个自变量x,x2,当 定x〈x时,都有 义x1)(x2) f(ruf( ,那么就说函数f(x)在,那么就说函数f(x)在 区间D上是增函数 区间D上是减函数
知识点一 函数的单调性 1.单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在 区间D上是增函数 ，那么就说函数f(x)在 区间D上是减函数 f(x1 )<f(x2 ) f(x1 )<f(x2 )
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做 f(x)的单调区间 2.函数的最值 前提设函数厂=f(x)的定义城为,如果存在实数满足 对于任意x∈I,都有对于任意x∈I,都有 条件 fx)≤ f(x2M 存在x∈,使得)=M存在x∈,使得 f(xo=M 结论 M为最大值 M为最小值
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 减函数 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有 ； 存在x0∈I，使得f(x0 )＝M 对于任意x∈I，都有 ； 存在x0∈I，使得 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x)≥M 0 f x M ( ) =
°学妙用 单调性定义的两种变式 (1)设任意x1,x2∈[a,b],且x1<x2,则 X1 X2 >0(<0)÷f(x)在[a,b]上是增(减)函数 x1-x2 2x1-x2)(x1)-f(x2)]>0(<0f(x)在[a,b]上是增(减)函数 例如定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2(x1≠x)都有 f(xrf(x2) <0,若f2x+1)≤x-1),则x的取值范围为 x1-x2
►单调性定义的两种变式. (1)设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1＜x2，则 ① f（x1）－f（x2） x1－x2 ＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数. ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数. 例 如 定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1，x2(x1≠x2)都 有 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0，若 f(2x＋1)≤f(x－1)，则 x 的取值范围为 ________
解析由f(x1)-f(x2) <0知函数fx)为减函数, 所以2x+1≥x-1,解得x≥-2 答案[-2,+∞) 单调性的两个易错点:单调性;单调区间 (2)函数的单调递增(减)区间有多个时,不能用并集表示, 可以用逗号或“和” 例如函数f(x)=x+的单调递增区间为 解析由八x)图象易知递增区间为(-∞,-1],[1,+∞) 答案 1],[1
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间. 解析 由 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0 知函数 f(x)为减函数， 所以 2x＋1≥x－1，解得 x≥－2. 答案 [－2，＋∞) （2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。 例如 函数 f(x)＝x＋ 1 x 的单调递增区间为________. 解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)