§13函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性,是认识函数的重要手段,而函数性质可以由函数图象直观 的反应出来,因此,函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手,抽象出此类函数的 共同特征,并用数学语言来定义叙述。基于此,本节的概念课教学要注重引导,注重知识的 形成过程,习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后,可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽 象定义。另外,为了方便学生做题及熟悉函数性质,还需要补充一些函数图象的知识,例如 平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之,本节 课的教学要从学生认知实际出发,坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学,引导学生对概念的形成有一个清晰的认识,尤其是 概念中的部分关键词要做深入讲解,用函数图象指导学生做题 教学目标 知识与技能 (1)能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 (2)会用单调性定义证明具体函数的单调性:会求函数的最值:会用奇偶性定义判断 函数奇偶性 (3)单调性与奇偶性的综合题 (4)培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 过程与方法 (1)从观察具体函数的图像特征入手,结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语 言形式化的建立相关概念 (2)渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 情感、态度与价值观 (1)使学生学会认识事物的一般规律:从特殊到一般,抽象归纳 (2)培养学生严密的逻辑思维能力,进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达
§1.3 函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观 的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的 共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的 形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽 象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如 平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节 课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是 概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。 教学目标 ➢ 知识与技能 （1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 （2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断 函数奇偶性 （3）单调性与奇偶性的综合题 （4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 ➢ 过程与方法 （1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语 言形式化的建立相关概念 （2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 ➢ 情感、态度与价值观 （1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳 （2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达
课时安排 (1)概念课:单调性2课时,最值1课时,奇偶性1课时 (2)习题课:5课时 第一课时单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增(减)函数的形式化定义,并能用定义解决简 单函数的单调性问题 教学难点 (1)在形成增函数、减函数形式化定义的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到 数学符号的语言表述 (2)用定义证明单调性的规范写法(主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取 x,x2,且x1<x2”的理解) 教学过程 、由特殊到一般,引入课题 学生画图y=x与y=-x,老师引导观察图象特点,说出自己关于图象的直观感受 提示:统一从左往右看,函数图象有什么图形特征?函数值有什么样的变化特点?能否 借助函数定义中x和y的对应来表达这种变化的规律? 二、新课教学 老师提问:上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类,那么对于一般的函数 无非是从左往右或升或降,那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律?(统一从左 往右看意即我们规定自变量x越来越大的情况下,上升意味着函数值y越来越大,下降意 味着函数值y越来越小.) 般地,设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x2,当x<x2时,都有
课时安排 （1）概念课：单调性 2 课时，最值 1 课时，奇偶性 1 课时 （2）习题课：5 课时 第一课时 单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简 单函数的单调性问题 教学难点 （1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到 数学符号的语言表述 （2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取 1 2 x , x ，且 1 2 x x ”的理解） 教学过程 一、由特殊到一般，引入课题 学生画图 y = x 与 y = −x ，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否 借助函数定义中 x 和 y 的对应来表达这种变化的规律？ 二、新课教学 老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数 无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左 往右看意即我们规定自变量 x 越来越大的情况下，上升意味着函数值 y 越来越大，下降意 味着函数值 y 越来越小.） 一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I ： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 1 2 x , x ，当 1 2 x x 时，都有 ( ) ( ) 1 2 f x f x ，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是增函数； 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 1 2 x , x ，当 1 2 x x 时，都有
f(x1)>f(x2),那么就说函数∫(x)在区间D上是减函数 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间 增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势;减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势 、重点强调1——单调区间 老师板书函数图象y=x2,提问学生说出单调区间,指出同一函数在不同区间上单调 性是不一致的,即单调性是一个区间概念. 例1图1.3-4是定义在区间[-55]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一个单调区间上,它是增函数还是减函数? y=far) 2 图1.3-4 注记: ①单调性是一个区间概念,在端点处的单独一点的函数值是确定的常数,体现不出函数 值的增减变化,因此,写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理 ②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号∪、“或”字,加一个逗号就行了 (因为[-2,1)U[3代表的是一个集合,任取x1x2的时候有可能是x1∈[35]而 x2∈[-21),进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识) ③单调性是定义域内的局部概念,是依据区间而言的,类似于这样的定义域{13,5,7}是 不谈单调性的 练习y=-的单调区间是什么
( ) ( ) 1 2 f x f x ，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数. 如果函数 y = f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间 具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y = f (x) 的单调区间. 增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势. 三、重点强调 1——单调区间 老师板书函数图象 2 y = x ，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调 性是不一致的，即单调性是一个区间概念. 例 1 图 1.3-4 是定义在区间 [−5,5] 上的函数 y = f (x) ，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？ 注记： ①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数 值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理. ②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号 、“或”字，加一个逗号就行了. （因为 [−2,1) [3,5] 代 表 的 是 一 个集 合 ， 任取 1 2 x , x 的时候有可能是 [3,5] x1 而 [ 2,1) x2 − ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）. ③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域 {1,3,5,7} 是 不谈单调性的. 练习 x y 1 = 的单调区间是什么
四、重点强调2—任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例2物理学中的玻意尔定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当 其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之 由于k为正常数,画出图像,可以看到函数是下降的,是减函数,那么就任意取两个自 变量x1,x2,比较他们相应的函数值的大小关系,提示方法,比较两个数大小关系常用的方 法就是作差法.通过本例,第一,要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法(任取自 变量一—做差变形一一判断符号),第二,要启发研究函数性质的常用方法:观察—一猜想 逻辑证明 五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤 结合单调性的概念,要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降,即利用作差法比 较函数值的大小关系 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势,就不能取特殊值, 必须是任意选取(可以代表所有);另一个重要点是约定统一从左往右看(自变量越来越大), 在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系,这才是单调性判别的重要工作 第一,在指定区间任意取x1x2,并且x1<x2 第二,做差y1-y2=…,为了便于判断符号必须变形至①出现x-x2,②出现多项式 乘除的形式 第三,判别符号,总结函数在指定区间是增函数、减函数,注意,判别符号一定要注意 逻辑! 六、课堂回顾 本节课学习了单调性的概念,利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意,在区间上 任意取自变量,并写出函数值并做差来比较函数值大小,最终确定是增函数还是减函数 单调区间的写法 七、作业
四、重点强调 2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例 2 物理学中的玻意尔定律 V k p = （ k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当 其体积 V 减小时，压强 p 将增大.试用函数的单调性证明之 由于 k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自 变量 1 2 x , x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方 法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自 变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想 ——逻辑证明. 五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤 结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比 较函数值的大小关系. 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值， 必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大）， 在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作. 第一，在指定区间任意取 1 2 x , x ，并且 1 2 x x . 第二，做差 y1 − y2 = ，为了便于判断符号必须变形至①出现 1 2 x − x ，②出现多项式 乘除的形式. 第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意 逻辑！ 六、课堂回顾 本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上 任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数. 单调区间的写法 七、作业 P39 T1-3
八、板书设计 单调性 单调性的概念 例1 小结 例 九、教后记 第二课时最大(小)值 教学重点 (1)进一步复习巩固单调性的概念 (2)最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题 教学难点 最值定义的数学语言表述的抽象过程 教学过程 、复习旧日知 学生画图y=x与y=x2+1,请学生说出两个函数的单调性与单调区间,提问,能否 在两个图中找出最低点和最高点?如果找到最低点,如何用数学中的数学符号表示出这个最 低点? 对任意的x∈R,都有f(x)≥1,那么函数值1就是函数y=x2+1的所有函数值中最 小值 对于函数y=-x2+1容易找出最高点,即所有函数值当中的最大值 定义
八、板书设计 九、教后记 第二课时 最大（小）值 教学重点 （1）进一步复习巩固单调性的概念 （2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题 教学难点 最值定义的数学语言表述的抽象过程 教学过程 一、复习旧知 学生画图 y = x 与 1 2 y = x + ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否 在两个图中找出最低点和最高点？如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最 低点？ 对任意的 xR ，都有 f (x) 1 ，那么函数值 1 就是函数 1 2 y = x + 的所有函数值中最 小值. 对于函数 1 2 y = −x + 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值. 二、定义 单调性 单调性的概念 例 1 小结 注： ① 例 2 ②